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— et — '>r.

3!2. Si, d'après ce qui précède, la probabilité relative de l'événement qui répond au plus grand terme dn développement de (ni 4-")'' augmente avec /7, il n'en est pas ainsi de la probabilité absolue de cet événement : celle-ci diminue, au contraire, à mesure (juc le nombre des épreuves augmente, ainsi qu on la déjà vu par des exemples dans le n'^ !2() ^ mais pour s'as.surer de la chose en général, il faut avoir recours à la fornuilc de Slirling, citée à la page4o", c'est ce (ju'on verra dans la Note I. Admeltani ici le fait (|ue rcMfe ]nobabililé j^eul être ren-

(Ino .mssi [x-lilc (jn'oii K- \(ni(lr;i, c;ii [jrcriaiil r .siiKisaïuuuMit Jurande, il s'ensuivra la menu; conclusion pour les autres probabilités, qui sont toujours nioindrcs que relle-là.

Ceci prouve encore que la piobai)ilité d'obtenir mi nombre d'événements A plus grand ou moindre que //// d'une (piantité constante q diminue sans cesse cl peut devenir aussi petite qu'on voudra; car celte probabilité se compose des termes commençant à celui qui esi adeclé de ///""+'' /i"'~'' et finissant à ///"""''//'"+/ inclusivement, dont le nombre est i(/ -j- i et dont cliacun peut devenir aussi petit qu'on voudia.

33. Mais, par suite de la réunion des termes dont la valeur est la plus considérable dans les environs du plus grand de lous, /'/ y a une prohahili/é qui vu toujours croissant, ccsL celle que les nombres qui marquent les répétitions des événements simples A et lî, étant comparés au nombre des épreuves, formeront des rapports qui ne s'écarteront pas des probabilités de ces événements au delii d'une limite donnée.

Considérons d'abord, pour plus de simplicité, le cas où il y a le même nombre de chances en faveur de chacun des événements simples, et cberchons la probabilité d en obtenir d'une composition telle, que le nombre des A ne suipasse pas les ^ du nombre d'épreuves et ne soit pas moindre que les |, fractions entre lesquelles se trouve compris -^^ probabilité particulière des événements A et B, et dont elle ne dillere que de -^ en plus ou en nzoins. Si nous ne considérons d'abord que 5 épreiives, la proba^ bililé de ne pas obtenir plus de 3 et moins de 2 événements A se trouvera en prenant, dans le développement {c -{-J )% la partie

ioe^/=+ ioe=/^ (22);

en y faisant e =/"= y. elle donnera 7!= *-.

4*' édidon. I

5o TRUTÉ T'.i.(!:Mi..\TAir.t:

Passons inaiiilcnaiil au cas où Ion cnibi asst rail lo épreuves, et où il faudra il par ronsécpienl ohlenir an plus 6 et au moins 4 cvcneme7Us A-, nous pientlroti-alors, dans le développement de (eH-/)'", la partie

2 I O t^f -t- ?.52 àf" -f- 2 I O 6''/%

dont on trouvera la valeur égale à -r^T^ 7' M^" •''^i'-'"'

L'aceroisseuienl de la probabilité elierehée est encore fort petite mais il devient plus rapide à mesure (ju'on augmente le no!id)re des épreuves. Lorsqu'on en < onsidère loo, nombre dont les -^ = 6o et les |= 4o, on doit prendre, dans le développement de (e -f-/)"***, la partie qui commence au terme adVclé de e^^y*" et finit au terme allecté de d^^f^^ : l'opération s'abrège un peu lorsqu'on part du terme du milieu rapporté dans le n"27.

En représentant par C le coefTicient de ce terme, par C, celui du terme qui vient apiès, par C^ celui du terme qui vient après ce dernier, et ainsi des antres, on formera l'expression

C^^»/^o + C I- r'^/-" -{- c, ^ ^-/^' -H . . . 4- C:, ^ r'» P\ 5i ■ 5?. oo

où l'on voit comment cbacjue terme se forme du j>récedent, et où il faut observer qu'à cause de c, =y"=-^,

^so /-50 ^,4'./'ii .z= e"'/"'^^ — •

Quant aux lo termes (jui précèdent Ce^°f^^, coninn^ ils sont les mêmes que ceux qui les suivent, il suffira de doubler les derniers pour tenir compte des piemiers. cl en s'aidant des logaiitlimes, on trouvera sans peine (|ne la somme clierchée est enxlron --/,, probabilité furl a[)procliante de l'unité.

Si l'on avait assigné au rapport du n(>nd>re des événe-

Tii-i vnon MJii.iTf.s. ai

iiicnls A ;iM'c le iinmhrc (Us ('jjrcuvcs, des limites |)ln,s irsscrixVs, on aurait Iroiivé uiio prohabiiitc' nioindic. lui n\;l('iul;ml, pnr cxi'mplc, l'cxprcssifui priTcdciitc (iiic depuis \i'. liiiiu; aH'cclc' d«; r-"'/ "'* jus([u'à celui qui cstaffedé il'. e'"J'\ on aurait pour limites i^„={i et tW = tV. <!()ul la dilli-rcMice avec [■ est seulement -5^; mais on n'obtiendrait qu'une prohabilité égale à —■•

Ces résultats ne pourraient être que pressentis par le raisonnement seul ; il faut le secours du calcul pour en déteiminer avec exactitude la valeur et même la nature,. On peut bien voir aussi par ces exemples que l'augnientalioti de probabililé, h mesure qu'on end)rass(; un plus grand nombre d épreuves, n'a lieu (jun pour les limites du ia[)]>ort de ce nombre avec celui des événcnu iits d'une espè<e donnée, et non pas pour un nombre déterminé (] événements composés.

Si l'on cherchait, par exemple, la prohabilité de n'obtenir qu'un événement A de plus ou de moins que la moitié du nombre des épreuves, en prenant ce nombre égal à lo, la probabilité demandée se composerait de la somme des termes affectés de e"/*, e''/^, e*/^ dans le développement de {eH-y')'°, et s'élèverait à -j^envii'onj tandis ({ue pour 100 épreuves la mèuie probabililé, formée encore de trois termes, savoir, des termes affectés de e'^ *", f.-'Oj-so^ ^,49ysi clans le développement de (e-hyy^, ne serait plus ([ue d'environ -^. ce qui s'accorde bien avec ce qu'on a vu dans le n*^ 3'2.

Au contraire, quand il s'est agi des limites ^ et | dans le rapport du nombre des épreuves à celui des événements A, le nombre des termes composant la probabilité cherchée a toujours été en croissant : il y en avait 2 pour 5 épreuves, 3 pour 10 et 21 pour 100.

34'. Ce qu'on vient de voir sur des exemples particuliers lésulte d'une proposition de la plus hante impor-

Sa IRAnii ÉLKME>ÏAIRE

laiicc, déinonliée, pour la première fois, par Jacques Bcriioulli, et qui s'énonce ainsi :

On peut toujours assigner un nombre d'épreuves tel, quil donne une probabilité aussi approchante de la certitude quon le 'voudra, que le rapport du nombre de répétitions du même événement à celui des épreuves ne s'écarleia pas de la probabilité simple de cet événement, au delà de limiter données^ quelque resserrées qu'on supj)ose ces limites.

Pour le prouver, soit la probabilité d un événe-

ment A, w le nombre des épreuves, qui fournirait — '■ —

événements de cette espèce, s'ils se répétaient exactement d'après leur probabilité simple; mais supposons que le

rapport, au heu d cire précisément ecal a ■■> soit scu-

lement compris entre les tractions et ? en

sorte que, sur le nombre p dépreuves, il n'v ait pas plus

de • />, m moins ac p événements A: et

pour que ces derniers nombres soient entiers, faisons y; = /(^/f -h //). Ils deviendront respectivement rm -\- r^ rm — / ; ainsi dans le développement de (m -h //)'''"+'"'■. les 2 /■ H- I ternies pris depuis celui où l'exposant de la lettre m est rm -+- r, jusqu'au terme où cet exposant est rm — /' inclusivement, donneront toutes les chances pour les événements dont la composition est renfermée entre les limites assignées ci-dessus. Le plus grand terme du développement se trouvera placé au milieu de ceux que je viens d'indiquer -, car leui- ensemble pourra être représenté par

Cela posé, il suit de la prnjiosiiion dénioiuiée dans le

OES l'IlOUAUILlTÉS. 53

ji" IM , (|iic la somme 'les /• lermes Cfimpris ciilrc M cl L iiicliisivcun'iil peut ôlrc ri'iuluo aussi gi-ande (juc l'on Aoiidra [)ar rapport à la somme des r termes, pris sur la i^auche de L, ou en allant vers le premier terme du développement. En effet, si l'on désigne par F, G, H, etc., les termes compiis entre M et L, en allant de M à L, j>uis par P, Q, II., etc., les termes qui précèdent L en allant vers le premier terme m""+''", comme le rapport des termes consécutifs du développement dont il s'agit croit en allant vers la gauche, à partir de M (29), on aura

d où

mais il est évident que

en substituant donc à —■> dans le second membre, les rap-