F G H . RI
ports p> TT' p ' t-'tc., (jui surpassent tous ■—■> il en résultera
.1 p-^ + qQ-^r^ + - •
t csi-à-dire
Il suit de là que la valeur de r qui lend y ^ ^^ "'*^'
dra à. plus forte raison
54 Xr.AlTI^. ÉLÉMENTAIRH
F f G 4- H + . . . > r ( P -h Q ^ Il ^ . j.
Or. le terme M, alï'eclé de /«""«'", en a m nvani lui : L, pris /• [)lac('.s avanl M, a par celle raison ru — /• ou /■ (/^ — i) Icrnuîs avant lui, qui pourront être partagés en /f — 1 groupes composés < hacun (h; /' termes dont la subordination sera la même que celle (jui vient d être indiquée entre les t(;rmes F, G, etc., placés sur la gauche de M jusqu'à L, et les termes P. Q, etc., placés à la gauche de L, dans le groupe qui précède ce dernier. Si donc on prend c = i {ii — i), ce ([ui donnera
le premier groupe surpassera /fois le second pris [n — i) lois, c'est-à-dire autant de fois qu'il y a de groupes, des- (piels chacun est plus petit que celui qui le précède à partir de M : il est donc vrai que ce premier groupe surpassei'a au moins / fois la somme de tous les autres.
On prouverait de même, en posant c =^ i [ni — i). que la somme des termes pris depuis iM exclusivement jusqu'à L' surpasserait / fois les /// — i groupes de /• termes compris depuis 1/ jusqu'au dernier teime sur la droite
du développement, si — '^ i {/n — i) : la somme des
Uirmes compiis depuis L jusquà L' inclusiveiuent ^sans même y faire entrer le ternie Mj surpassera donc plus de / fois le reste du dévclopj.ement de [m -+- //)""+'■". En désignant ce reste par R, et posant sculenu lU i\\ pi)ur la somme des leiiîics depuis L jusipià !;' iiiclMsivemciii. on aura
{m +„-("'+" ^ /R-(-R /-ri .
Iraclion (pii ,i[)proclie cl aulaul plus de lunilr. ipie / est plus giantl. Ain.^i la |)! chalMlile de n'axoir pis plu-
i)i:s l'iioisAiiii.i I i;s. L)j
«le / (/// -f- i) i:l j);is iiioiiis de /(///--- i) cvéiiL'iiu;iils A, c csl-;i-tlii(: (jikî It; ia[)[)i>il ilii iiomhtr! des iôj)élilloiis (li; A au nombre lolal dtrs ôpreuves dcmoiiro leiircnuc l'iilro les 11 miles
i/i -\- n III H- n
appioehera de riiiiilt3 aussi près qu'on voudra.
3o. Ces fraelions , (juoicpu; déterminées en appaicnee , peuvent l'cprésenlcr des limites aussi resserrées qu on voudra-, il suffît pour cela de mettre à la place de m et de n des nombres de plus en plus grands, ce qui est permis, pourvu qu'ils soient dans le même rapport que ceux des chances primitives (O); c'est-à-dire que, si l'on désigne par )t! et m' ces derniers, on pourra faire m = s///, // = su' : les limites ci-dessus deviendront
s{m' -f- // ) m' -H n' s{m' -(- n' ) m' + n' on aura en même temps
r{m -\- n) = rs [m' + n' ) .
On passerait, au contraire, à des limites moins resser-
ni' n' ,, , ., , ,
rees, en posant in = ---, n = —■> a ou j1 résulterait
et
36. Jacques Bernoulli applique ces formules au cas où m' =3, /i' = 2 -, il pose d'abord 77i = 3o, « = 20, et . herciie le nombre d'épreuves nécessaire pour avoir une probabililé, nu nioins égale à ^^, que le rapport du nom-
56 ïr.AnÉ ÉJ.ÉME^TA1RE
bie (le Kîpt'iilions df vV au iioDibre des épreuves sera renferme dans les limites ^ et ||. Dans eet exemple, il faut faire /=: looo; subsliluanl alors, dans les formules du 11" 31, / (// — i) à c, pour les termes de M à L. il en
résulte
!/(„,) 42787536 ^, "7- !(„, + ,)!„,- ,4o4oj <-^'^''
/•(/// -\- n)=^fj [m -h «) H [m -\- n) <^ 24728 ;
et posant r == / (/?/ — i), poui' (eux de -M à L'. il vient
'i = 1 („+,) I« = 21 1893 < ^ " ' r[m ->(- n)=z ciiiii -\- n \ -\ /// + «) = 25500 :
ce dernier nombre étant le plus fort est relui cpi'il faut adopter \ ainsi, en embrassant 2555o épreuves, la probabilité des limites 77 et fj surpassera -ff^.
Jacques Bernoulli a déterminé aussi les nombres d'épreuves correspondants à des probabilités au moins égales - '0000 Loofoo . lh pour ces nombres, qui s'obtiennent
100 oi'iu 0001" 'I II
en faisant
/ =r lOOOO, /= lOOOOO,
il trouve
3 1 258 et 36966 ;
ce qui fait voir déjà que la probabilité augmente plus rapidement que le nombre dos épreuves : celui-ci croit, dans l'exemple actuel, par des différences constantes et
égales à fi^oS. '
37. L'accroissement de la probabilité avec celui du nombre des épreuves , tenant à celui du nombre des termes dont se compose Texprcàsiou rapportée sur la page 54 , à mesure que l'on embrasse un plus grand nombre d ('-pi cuves, dépend du fai teur / . Si 1 on snp-
DIS rROliAlHLITl^.S. 5"^
posait ce faclcui' constant, cl (jii\)n fît croilre 1 e\[)icssit)n rs [m' -i- n') p.ir le laclciu- .v, ce qui rcssernM-ait (Je j)lus cil plus li'S limites assignées à la distribution des événcnicnls simples, alors l'expression de la probabilité, ne renfermant toujours que le même nombre de termes , diminuerait de valeui-, ainsi (ju'on l'a dit dans le n" 3^. Entre ce cas et le précédent, il en doit exister un dans lequel /• et .v variant à la fois, et chacun de ces nombres croissant moins rapidement que celui des épreuves, la probabilité demeure constante.
38. Si la probabilité que le rapport du nombre des répétitions de révénement A au nombre des épreuves sera renfermé entre les limites
m -\- ^ m — i sm -i- i et ou — — ; — et
peut être rendue aussi approcliantc qu'on \oudra de l'unité, à plus forte raison eu sera-t-il de même de la probabilité que ce rapport ne sera pas moindre que
s[Tn' -Jr n')
puisque, pour obtenir la dernière de ces probabilités, il faudra joindre aux termes employés à former la première tous ceux qui précèdent / ///""+'■/^'""~' . c'est-à-dire comparer avec le développement de (r7i + 7^ )""+'" la somme de tous ses termes, depuis le premier, m""+"', jusqu'à )//n'""'~'7i'^"+' inclusivement.
Conséquences rie la Probabilité niatJicniatique.
39. J'ai exposé dans les Notions préliminaires comment celle de la probabilité s'établissait dans notre esprit, par rintlucuce de la répétition des jugements favorables à
58 TRAm': KLÉ.MtAXAiaE
]a produclion du uièiue événenu-nt, influence à laquelle il est impossible d'échapper lorsque ccLle répélitioii a lieu un grand nombre de fois, en sorte qu'il en résulte une probabilité nialhéinalique très-voisine de Tunité ; et j'ai dit en même lomps que le calcul raltachait à ce cas celui d'une probabilité beaucoup plus faible (o). C'est en ellet où conduit la proposition de Jacques Bernoulli (34). ainsi que l'a lait voir Condorcel, eji discutant avec beaucoup tle sagacité, cl des intentions bien louables, dans l'excellent Discours préliminaire de son Essai sur /^/pp/icalion tic Vylualyse à la prohahilité des décisions, la nature de la probabilité. Il a réduit cette théorie aux trois propositions suivantes :
i*' Si la probabilité f l'un événement surpasse \, il } a lieu de croire que cet éué/ienicnt arrivera, plutôt que de croire qu il n'arrivera pas.
2*^ Plus cette probabilité augmente, plus le motif de croire augmente.
3" // croit proportion/iellemcnt ii cette probabilité. [Foyez p. vij du Discours cité plus haut.)
40. La première découle immédiatement de la proposition de Bernoulli; car, puisqu'en multipliant autant (ju'il sera nécessaire le nondire des épreuves, on peut atteindre à une probal)ililé aussi voisine de l'uniié (pi'on voudra, que le rapport du nombre des répétitions d ini événement au nombre des épreuves sera renfermé dans des limites aussi voisines qu'on voudra de sa probabilité, il est démontré par là <jue si cette dernière (;st tant soit peu au dessus de -!;, il deviendra aussi probable qu'on le voudra que le non)bie de répétitions de cet évenenu'ut surpassera la moitié du nombre des épreuves : ses répétitions seront donc plus Iréquenies que celles de l'événement conlraiie : on sera donc forcé de lui assi|;ner une plus grande possibilité: el le i aliul, en la faisant dériM-r de la possibilité sinqile île I c'v en» 'ment . iii qq^iie la
DES l'UOIl MillITl'.S. :m)
conscqucnco, ( "c.si-;i-(lirclafr(''(|iitnU: rcpcliliou du iiirmc événeinonl, sur une probabilité (ju'on pint rendre de plus en pîus £;raiKle.
Concevons, par exemple, un événenienl donl la proba])ilité soil yI~ : en la iranslorniant dans la fraelion é(juiv;denlc -777^, on pourra, [)ar le n" 'Aij, calculer le jioinbre d'épreuves sullisant pour porter à \ ° " ° l] -^ la probabilité que cet cvéncnieni n'arrivera pas moins de 1009 fois sur 2000. Sa supériorité sur révéuemenl contraire, quoique fort petite en elle-même, puis([u'il n"a qu'une cbance de plus en sa faveur dans un nombre total de 200, sera néanmoins établie sur une probabilité éi|;ale à celle de tirer une boule blancbe d'une urne qui on contiendrait un million de cette couleur, et une seule noire.
C'est donc sur un calcul rigoureux que sont fondées l'assertion par laquelle se termine le n" o, et l'acception donnée, dans le n" 9, au mot probable, i.a circonsianc<; que ce mot exprime est en eliel bien digue de reniai que, puisqvie tout partage inégal dans le nonibie des cbaiices d'un hasard quelconque établit dans la répétition des deux événements conti'adictoires vme inégalité dont, à la longue, la probabilité peut approrlicr aussi près qu'on le voudra de la certitude.
La croyance commandée par une telle probabilité établit donc la nécessité de croire à une probabilité beaucoup moindre, et fixe en même temps le sens et la valeur du motif. Si, dans chaque épreuve considérée à part, la probabilité d'un événement l'emporte peu sur celle de son contraire, le motif de croire quil arrivera, plutôt que de croire qu'il n'arrivera pas, demeure très-faible; mais lorsque Ion considère d'avance un grand nombre d'épreuves, le développement de toutes les combinaisons qu'elles produisent donne de plus en plus aux combinaisons où les événements simples sont distribués dans des rapports ap.prorhanl de leurs prciliabiiitcs. la sup.érioiitc
6o TRAITÉ ÉLÉME.^TAIRE
sur loules h-s autres. Le nombre des épreuves, et par tonséquenl pres(|ue toujours le temps, entrent donc nécessaiiemenl dans révaluatlon du degré de confiance qu on doit attacher à la probalulité mathématique. De là vient qu il est contre la prudence de s'exposer sans nécessité aux chances d'un hasard qu'on ne peut tenter un trèsgrand nombre de fois. Cette règle, indiquée par le simple bon sens, prend ici le caractère d'une vérité mathématique dont l'importance est fixée par le calcul, et fournira dans la suite les moyens d'apj)récier numériquement, et selon nos vrais intérêts, les diverses spéculations qu on peut faire sur les événements incertains.
•41. La seconde proposition (39) suit naturel kmeni de ce qui vient d'être dit. Le motif de croire à la production d'un événement doit augmenter avec la probabilité de cet événement-, car lorsque celle-ci croîtra, il faudra moins d'épreuves pour obtenir une très-grande probabilité que le rapport du nombre des répétitions de l'événement au nombre total des épreuves ne tombera pas au-dessous d'une limite donnée; ou, si l'on considère le même nombre d'épieuves et la même limite, on obtiendra une plusgrandeprobabililédeceUelimile 5 ou enfin, lenombre des épreuves restant le même, la même probabilité répondra à une limite ])lus élevée, c'est-à-dire qu'elle indiquera vui plus grand nombre de répétitions de ré\énement désigné, et par conséquent une plus grande possibilité dans sa production, par suite de rjuignientaiion de sa piobabilité simple.
i2. Quant à la troisième proposition (39), elle semble assez évidente par elle-même dès (ju'on a reconnu que le motif de croire à la production d'un événement augmente avec sa probabilité, et (ju'on admet (jue ce motif est fondé sur la rc'pc'iilioM <les ///j;v7//r7//s i/c i>o.ss/f>ilifv (0,7) ril<'
DF.s PUonvnii.iTi.s. (îi
|n.;iil aussi si; clrclniic iiiitnc'<iialciiiciil dvs tahuls de Jacques lîtMnoiilli ; car i" puisque, dans un nombre quelconque d'épreuves, le plus probable des événeinenls (oiuposés esl celui où chaque événement simple se Irouve répété proporlionniîilemenl à sa pioljabiiiié : a" (|n'eii multipliant les épreuves on peut rapprocher autant (pion le voudra de l'nnilé la probabilité que le rappoi t du nombre des répétitions de cet événement au nombie des épreuves s'écartera de moins en moins de sa probabilité, c'est-à-dire du rapport du nombre des jugements favorables à sa production au nombre total des jugements portés sur tout ce que peut amener le hasard dont il s'agit (6), il est naturel de prendre ce dernier rappoit pour mesurer la possibilité de l'événement désigné, ou pour évaluer le motif de croire à sa production 5 et on y est forcé dès qu'on accorde l'influence qu'une probabilité très-grande doit exercer sur notre opinion.
13. C'est en considérant la liaison mathématique établie par les lois des combinaisons, entre la probabilité d'un événement et le nombre de ses répétitions à mesure qu'on en multiplie les épreuves, que Jacques BernouUi conçut le premier la possibilité de faire servir, d'une manière incontestable, Tobservatioii des événements passés à la détermination des événements futurs, et de donner ainsi au calcul des probabilités un but bien autrement important que celui de régler la conduite des joueurs, pour lequel il avait d'abord été inventé [*). Benioulli compara les événenTcnts dont la cause est inconnue, aux tirages répétés dans une urne contenant un nombre
(*) C'est l'objet de la W^ Partie de VAis conjectandi. Cet oiivraf;e posthume, imprimé en 1713, contient déjà les principaux fondements de ta philosophie du calcul des piobaLililés ; mais elle y est demeurée presque ensevelie, jusqu'à ce que Condorcet l'ait rappelée, perfectionnée et étendue.
G2 TllAlTK l!:LÉME>TAir.I::
iiicniiiiii di' l)illcts blaix-s cl i\r. billets noirs, mais qui dcinciirail le même, yinyve qu'apivs cliaqne épreuve on leniellail clans l'uriH' !r l)i]l(i (jui en avait été tiré, hypollu'su fondée sur (e que le nombre total des événements naturels, pouvant èlic legaidé comme infini, ne diminue pas sensiblement par l'arrivée duu petit nombre de ces événements. Il se proposa en eonsé(juence celte question ; Charclier si, en augmentant sans cesse le nombre des obseivations, on faisait croître la probabilité d'obtenir le vrai rapport entre le nombre de cas dans lesquels un événement peut arriver, et les cas contraires ; en sorte que cette probabilité surpassât un degré de certitude donné (*). Il retint pendant vingt ans dans son portefeuille îa solution de ce problème qu'il rci^ardait comme le plus difficile et le plus important de ceux qu'on pouvait se proposer sur cette matière. Quant à son utilité, les considérations précédentes me semblent déjà suffire pour la mettre liojs de doute; mais l^ernoulli la portait encore plus loin, puisqu'il avait pour but, comme le montre l'énoncé ci-dessus, d'arriver à connaître la .probabilité des faits d'après les observations seulement, c'est-à-dire ii posteriori, afin d'appuyer sur 1 autorité du calcul les inductions qu'on peut tirer de la répétition des phénomènes. A la vérité, il confondait, ainsi qu'on le verra dans la seconde section de ce Traité, la manière d'évaluer les probabilités à posteriori, avec leur détermination à priori, ou parla connaissance des combinaisons : mais la dilVérence des résultats de ces deux procédés diminuant d'aulanl plus que le nombre des observations est plus grand, on pc ut se servir de ceux de l'un pour faire entrevoir ceux de l'autre.
(* ) L'expression un dfi;ic df certitude, reçue tlaiis le langage ordinaire, ne me parait pas très-exaclc; mais BernouUi s'en est servi comme équivalant ii la i)robabilité, qui, étant exprimée par une fraction, ta?î»li» qi;e l'unité repréfcnU" !;'. cerliluilo, cet pour ainsi ùiic une portion île tclle-ci.
i)i:s l'itoiniiii.rri^.s. G.\
!,ii t'Hi'l, li'S rormulcs (le nciiioulli, inoiilraiil (jiic dans une loiij^iie suile d l'-prcuvcs du nièiiu' liosaid, la dislribulioii thîs cvt'iieinculs simples iciul sans cesse à se rapproelierdu rapporl indi({né par leur probabilité, déleiuiinenl ainsi avec une probabilité déplus en plus grant'cî la condition de l'urne d'où sortent les événements observés, el lient à des probabilités très-voisines de l'unité les nombreuses répétitions du même événement; en sorte (pie la croyance au retour de cet événement est commandée par le calcul comme [)ar l'iiabitude, mais alois sur des motiis de valeurs comparables.
Aï. En insistant, comme je viens de le faire, sur les notions précédentes de la probabilité, Condorcct crut devoir rappeler qu'il n'y a pourtant « aucun rapport » direct et nécessaire entre la probabilité d'un événe- » ment cl sa réalité » {'voy. p. x du Discours cité, p. 58); et pour le prouver il observe que, cpioique le sort eût déjà prononcé sur un événement, il ne sortirait pas du domaine de la probabilité à l'égard de toute personne qui ne connaîtrait que la condition du jeu qui l'a produit, et qui serait resiée dans l'ignorance du fait arrivé. Si, par exemple, d'une urne contenant loooo billets blancs et 1 noir, on extrait un billet, et qu'après en avoir reconnu la couleur on le replie pour le montrer à quelqu'un qui n'était pas présent au tirage, cette personne ne pourrait affirmer autre chose sur ce billet, sinon qu'il y a une probabilité ', ° ° ° ° qu'il est blanc, et seulement une probabilité Y~T qu'il est noir; néanmoins l'un de ces deux événements est certain pour les personnes qui ont déployé le billet en le sortant de l'urne : ainsi un événement certain pour ces personnes peut n'avoir qu'une trèspetite probabilité pour la première. L'ignorance du fait introduit ici la probabilité à la place de la certitude, et, laissant Icsprit dans le même état où il se trouvait avant
C4 TIlAlTÉ ÉLÉMENTAIRE
la (léiision du suri, le juf^enient ne saurait élie poi lé fjue sur la connaissance des conditions de Turne. Mais ce que Condorcet n'a point fait remarquer, c'est que, soit qu on fasse prononcer ce jugement avant ou après les tirages, s'ils sont exécutés avec fidélité, la personne (jui ne les aura pas vus aura toujours la même probabilité de ne pas se tromper sur un nombre donné de jugements, dans un nombre donné de tirages-, en sorte cjue la liaison de la probabilité avec la répétition des événements conserve toute sa force dans ce cas comme dans les autres, et c'est vraiment sur cette liaison que reposent toutes les applications légitimes du calcul des probabilités.
45. Avant de terminer ces remarques, je r-appellerai que lorsque les diverses chances d'un jeu sont rigoureusement d'une égale possibilité, tant par la construction des instruments aléatoires c[ue par la manière de s'en servir, les événements passés ne sauraient avoir aucune influence sur les événements futurs. Si, cependant, d'après des épreuves réitérées, on aperçoit une fréquence marquée dans l'apparition de certaines chances, il y a lieu de penser que la constitution de 1 instrument, ou l'habitude de celui qui l'emploie, détermine cette fréquence; mais la recherche de sa probabilité rentre dans celle des probabilités à posicriori.
Lorsqu'on a lieu de soupçonner d'avance quelque inégalité de ce genre, il est tout naïuicl dattendio plutôt la répétition de l'événement qui sest olfert le premier, puisqu'on doit croire plutôt à l'arrivée du plus probable (|u'à celle de l'autre. Il n'est pas plus difficile d'apercevoir (|ue toute inégalité entre les probabilités doit favoriser les répétitions du même : ce n'est là (piune consétjnence de la proposition de Bernoulli. i|ue le bon sens indicpie suflisanunenl ; mais l'apprécialion do leirel tle celle inégalité sciait d nue manièic tiès-sinqdc, ainsi qu il suit.
DES l'UoliAllll.n I^.S. 65
Soil e la jn'obabililé cxaclc qu'aïuail un t'\ riiciiiciit A, d'apiès les coudllious <lii \v.u (jui le produit, cl c' la dillércuce en plus ou eu moins outre cette probabilité el celle qui a lieu réellement-, la ])robabililé d'amener n lois cet événement étante", deviendra (e + r')", si l'erreur est ])ar excès, et [e — e')", si c'est par défaut 5 mais si l'on sait seulement(jue l'inégalité existe, sans savoir dans quel sens elle se trouve, et qu'on regarde comme également ])robable qu'elle soit addilive ou souslraclive, on aura pour la répétition de l'événenienl A dans la première liypothèse -j-le+e')", dans la seconde \[e — e')", et pour la probabilité totale
développement dont tous les termes sont additifs. Ainsi cette probabilité sur[)asse la probabilité primitive e". On trouverait un semblable résultat pour la probabilité de la répétition de l'événement contraire, exprimée alors par le développement de-^{f — e')" H- 4 (/ -H e')".
L'augmentation qui a lieu dans ce cas pour l'une et pour l'antre de ces probabilités est prise sur celles des événements composés du mélange des deux événements contradictoires : cela peut se voir aisément. Dans le cas de deux épreuves, par exemple, la probabilité 2ef à' amener la combinaison AB se cliange en
^.■2{c+e') {f-e')^^.o[e-c'){/-hc') = 2cf—cte'^ {*).
( " ) Cos dernières remarques sont tiiccs de la Throiic anajj lique d< s Pi obahililcs, par I.aplace, p. i.S5-i8(i.
4*" cdition, 5
06 TI'.AITÉ ÉLÉMliNXAII'.t
Questions pour servir cC exemples de la dvlerminalivn h priori des Probabilités.
46. JMoiitmort, dans son yinal) se des Jeux de hasard. eL ensuite Aloivre, dans sa Doctrine of Chances (*), ont résolu un grand nombre de problèmes sur les jeux de hasard; mais il n'entre point dans le plan que je me suis tracé de m'arrèter beaucoup sur ce genre de questions, parce que la plupart exigeraient d'assez giands détails pour faire connaître les conditions des jeux qu elles concernent, et (jue d'ailleurs une partie de ces jeux est passée de mode, ou inconnue à presque toutes les personnes qui consacrent leur temps à l'étude. Les exemples que je crois nécessaire d oflVir à mes lecteurs seront donc des problèmes tenant à des combinaisons simples ou susceptibles d'être énoncés en termes généiaux, et choisis pour donner une idée des divers procédés de calcul employés dans celte branche des Mathématiques.
Soit proposé d'abord de déterminer la probabilité nu en prenant au hasard dans un tas composé de m pièces, on en ôtcra un nombre pair ou un nombre impair. Celle question peut être donnée en exemple de la nécessité de se délier d'un premier aperçu. ?se serait-il pas naturel en eirel de penser que sa solution ne dépend que de la quantité de nombres pairs et de nombres impairs compris entre i cl m inclusivement? Si m était 5, parexemple, comme il y aurait 3 nombres impairs i, 3, 5, et seulement 2 nombrqs pairs 2, 4? on dirait que les probabilités soutj pour les premiers et | pour les seconds ; et si m était éga là 4i comme on aurait alors 2 nombres impairs et autant de pairs, les deux probabilités seraient éirales à - ou ^ .
(*) Le premier de ces ouvrajjes a ou iloux cililioiis : la ileniiére est (le 1713 ; le second ouvrage, écrit eu nu);lais, a eu trois éditions, dont la
dernière est de 1 -,')<!.
DES mODAÎHLITÉS. 67
Il II Cil csl pouilaiit [)as ainsi; oai', en considérant Ja chose avec aiteniion, on voit que c'est suivant les diverses manières dont elles peuvent se combiner les unes avec les autres que les pièces d'un tas viennent sous la main, et non pas d'après les diverses manières de partager en deux parties le nombre des pièces de ce tas. Pour le montrer, nous désignerons ces pièces par les lettres «, /.», c, d; elles pourront se combiner en nombre impair, soit i à i ou 3 à !^, ce qui fournira les 8 combinaisons
a, h, r, ([, abc, ahd, acd, icd,
et en nombre pair, soit 2 à 1 ou les 4 ensemble, ce qui fournira les 7 combinaisons
nb, ac, «(-/, bf, bd^ cd, abcd.
Chacune de ces combinaisons pouvant tomber également sous la main, il en résulte que la probabilité pour prendre un nombre impair de pièces est -^^ et seulement ^V pour un nombre pair.
Maintenant, si Ton se rappelle que les coefficients des termes du développement de [x -h a)"\ à partir du second terme , donnent le nombre des combinaisons de /« cboses prises i à i, 2à2,3à 3, etc., on aura
pour la totalité des combinaisons en nombre impair, et
pour celle des combinaisons eu nombre pair. Après avoir ajouté ces deux expressions, il sera facile de reconnaître dans leur somme tous les termes du développement de (i + i)"', à l'excention du premier; --.l \\ i! !é.':r:l!i
(!ue
68 TRAITÉ i:LÉMENT\ir.E
Imi rc'lraiK liaiii la première do la seconde, on aura
p — 1 = (i — ir — I = — t.
d'où Ton conclura sans peine
et par conséquent, si l'on représente par e la probabilité d'ôler du tas un nombre impair de pièces, et par y celle d'en ôter un nombre pair, on aura
La première de ces probabilités surpasse toujours la seconde, mais leur limite commune est ^, lorsque le nombre m est supposé inlini. Les calculs précédents sont tirés d'un Mémoire que feu Bertrand, de Genève, a présenté, en 1786, à l'Académie des Sciences de Paris, et qui n'a pas été imprimé; la question se résout aussi par le calcul des dijjércnces. T'oyez la Note U, à la fin du présent ouvrage.
47. Les probabilités simples des chances de la lotciie de Finance ne dépendent que des coclficients des 2^-6^ termes du développement de la puissance du binôme; et le calcul en est si aisé, que je ne m'y arrêterai pas ici, devant d'ailleurs y revenir pour comparer les mises avec les gains : voici sur la même loterie un problème dont la solution est un peu moins facile.
ji chaque tirage il sort 5 des 90 numcros contenus dans la roue : la probabilité de la sortie d'un numéro donné est donc -^^ ou j-^-^ on a mis sur 1 numéros , on demande la probabilité qiC il en sortira au moins i . La réponse n'est pas -pj ] car sur ce pied, en ne prenant que i8 numéros, on arriverait à ^l, ou à la certitude (juil en sortirait i des 18, ce qui est absurde: mais un tirage, étant une combinaison de 5 quelconques dos 90 nimiéros de la
vus l'KOI5A15ILlTÉS. C'y
loleiie, pcul avoir lieu du
qo.8c).H.S.87.8r>
— — - — ;-— manières,
£)ariiii Jcsqucllcs on a en sa laveur toutes celles c|ui lenferment 1 un des numéros sur lesquels on a mis, ou tous les deux.
Pour former les ])rcinières, il faut prendre les coml)inaisons 4 à 4 Jes 88 numéros dillérenis de ceux sur lesquels on a mis, et y joindre alternativement chacun de <es derniers, ce qui donnera
