r — ; — corabmaisons favorables

prenant ensuite les combinaisons '6 à 3 des 88 numéros déjà indiqués, pour y joindre à la fois les deux sur les- (juels on a mis, on aura encore

-. — combniaisons tavorabies;

divisant la somme des deux dernières expressions par la première, et supprimant les facteurs communs au dividende et au diviseur, on trouvera

48. En raisonnant de même sur une loterie compo.sée de/7 numéros, dont il en sort </ à chaque tirage, pour obtenir la probabilité que sur 5 numéros désignés il en sortira t, on formera d'abord l'expression du nombre des combinaisons des p — s uuméi'os restants, pris en nombre q — /, et qui sera

considérant ensuite que les s nuniéios désignés, pris en

yO TI'.AIXÉ ÉLÉMEMAIUE

nombre /, peuvent se combinef de

manières, on multipliera eelle dernière expression par la précédente, pour obtenir le nombre de chances favorables à révénemenl désiré. Quant au nombre total des chances, ce sera celui des combinaisons que donnent les /j numéros dont se compose la loterie, pris en nombre q, c'est-à-dire

la probabilité clierebéc sera donc

[p ~ s } ip — s — i) . . .[p — s — {g — t) -{- \] 1.2.3. . . ( 7 — t' s [S — I . . . ( .V — / + I ) 1 . 2 . 3 ... 7

formule qui peut se réduire, en supprimant les facteurs 1 .2..3. . . (<y — t) dans le diviseur et dans le dividende. Si la question ne portait pas sur la sortie d'un non)bre précis de numéros, mais seulement sur ce qu il n'en sortit pas moins d'un nombre donnée, il faudrait alors mettre successivement à la place de t les nombres

jusqu'à {j, si i\> <f^ ou juscju'à s, dans le cas contraire.

49. Supposons, par exemple, qu'on ait piis 18 numéros 5 en suivant la marche tracée précédemment, on trouvera &ans peine les probaliilités ci-dessous : dabord qu'il le sortira aucun de ces nnméroa,

-> / g X ô — ôo""c — UT — o . o 1 b^ ,

i)i:s vnoBAitii rn:s.

on (|ii'il cil ^01 tira

, oo5o,

la somme des cinc| dernières probabililds, on, ce qui est plus simple, Texc es de i'unilé sur la première, égal à 7V0Î1 1 donnera la probabilité qu'il sortira au moins i des iB numéros clioisis.

50. Huygens, l'un des premiers géomètres qui se soient tieeupés du calcul di-s probabilités, a terminé l'écrit intitulé rie Ratïocinù's in ludo aleœ {Opéra varia, t, IV, p. 727) par cinq problèmes, pour quatre desquels il n'a tait qu'indiquer les nombres de la solution, et dans le second il n'a rien ajouté à l'énoncé que voici : Trois joueurs A, B, C, ayant réuni 12 jetons, dont 4 sont blancs et 8 noirs, convietïiwni que celui d^enlrc eux qui, les yeux bandés, tirera le prcnner un jeton blanc gagnera. C'est A qui doit tirer le vrenn'er, B le second et C le troisième j on demande la j>robabilité que chacun a en sa faveur. Cet énoncé a présenté deux sens diflérenls à Montmort et à IMoivre (*). Le premier croyait que le jeton tiré devait être remis chaque fois au tas, afin que les probabilités restassent les mêmes dans tontes les

( " ) Voyez V Analyse des jmx de luisaid ite îMoiUmorl, p 'M'y\, les Hlisccl htiica analjlica de Muivrc, p . i()p, el VAis conjcclandi de J;ic<|ucs Bcr ni'iiUi, p. 5".

'Jl TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

épreuves. Moi vie pensait le contraire 5 et dans ce sens, qui complique un peu la question, il l'a résolue fort simplement au moyen des probabilités composées : c'est ce qu'on va voir.

Soit m le nombre de jetons blancs et n celui des jetons noirs. Au premier tirage, où le nombre des jetons de chaque espèce est complet, il y aura pour la sortie d'un

jeton blanc, ce qui fait gagner A, la piobabilité

vl pour la sortie d'un iclon noir, Cette dernière

probabilité sera aussi celle du second tirage, dans lequel le nombre des jetons noirs, diminué de celui qu'a tiré le joueur A, sera réduit à n — i. En conséquence, les probabilités dans ce tirage seront

(l'aïuener un jeton blanc, d'amener un jiton noir;

il faudra les mulliplier par la probabilité particulière du tirage pour avoir celles des deux événements qui en résultent (11)), et cela donnera les probabilités

ou celle du 3*^ tirage. Si B amène un jeton noir, il n'en restera plus au tas cjue « — 2. et en raisonnant pour ce tirage comme pour le précédent, on trouvera les probabilités

n ( // — I ) ni

1 m -ir II) {m -\- n — 1 ) m -{- n — ■?.

[ m -\- II) [m -\- Il — I ^ //; -+- // — 2

en faveur tie C, •■onliT r.

liES PUOli AUlI.ITl'.S. ^3

OU celle du 4' lir;»t^o. Si C n'amène (ju un jeton noir, A tirera de nouveau du tas où le ntjmbrc de jetons noirs sera réduit à n — 3 ; il aura donc la probabilité

n (n — i) frt — 9.) ni .

de gaijner ,

// ) [/Il -h fi — i) [m -\- n — "2 j m -{- n — 3 // (// — I ) (// — 0.) n — 3

de perd IV.

En continuant ainsi, et, pour abréger, faisant m-\-n=^t, on formera la suite

m mn mn{n — i )

mn [n — i) { n — 2) nui (n — 1) (/? — 2) (« — 3)

mn [n — i ) ( « — ?■ ) ( « — 3 ) ( /^ — 4 )

dans laquelle les i*^*^, 4"^ 7? etc., termes expriment les probabilités en faveur du joueur A, les 2*^, 5*^, 8^, etc., les probabilités en faveur du joueur B, enfin les 3*^, 6*^, 9'", etc., les probabilités en faveur du joueur C. Le jeu finit au plus tard lorsque le nombre des jetons noirs est épuisé, puisque alors il n'y a plus d'incertitude sur celui des joueurs qui doit gagner, et la probabilité totale pour chaque joueur se forme en ajoutant celles qu'il a dans chaque tirage. Le calcul des termes de la suite indiquée devient très-facile quand ou rapporte chaque terme à celui qui le précède, comme je l'ai fait dans le n° 33. Les nombres proposés par Huygens donnant

on trouvera pour le joueur A la probabilité

74 IRAITÉ élémektaihe

poui' le joueur 1). la probabilité

12 II 12 II. 10. 9. 8 12 I 1 . 10.9.8. 7 .<i.5 pour le joueur C, la probabilité 4 8.7 4 8. 7. G. 5. 4 , 4 8.7.6.5.4.3.2.1