BB, -^ ^; BA

Au S*" tirage,

pourAAA, — ^ ^V '-; AAB, , ^ ,, ^ — , etc.

i»n {ni — i)

ABA, BAA,

nm [m — i)

L'cxamcu atteniif de ce petit nombre de formules suffit pour faire connaître la loi suivant laquelle se composent toutes les probabilités des diverses successions des événements A et B. Ici, comme dans le n°21, les coelîiclciUs s'introduisent dans les successions mélangées, dès qu'on fait abstraction de l'ordre des événements : la probabilité d'obtenir a événements A et i événement B, par exemple,

m (m — \)n sera 5 — — ^ — — — ^ :•

t[t- lj(r— 2)

D'après celle observation, on verra facilement que la probabilité d'obtenir, dans un nombre /^ d'épreuves, p — n événements A et «y événements B, sans distinction d'ordre, sera exprimée par

t[t — ij... [t — }) H- I ;

(* ) Cette formule a été indiquée par Laplace, dans les Mcmoires des Savants élranf;ers, t. IV, p. CaS.

y6 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

52. La théorie des peimutalions et des combinaisons est. comme on l'a dû voir dans la plus grande partie de ce qui précède, un des moyens les plus féconds pour résoudre les problèmes concernant le calcul des probabilités. Cette théorie, servant de fondement à la démonstration la plus élémentaire de la formule du binôme de Newton, se trouve dans les Ehhnents d'algèbre ; mais on n'y partage qu'en deux groupes la totalité des lettres dont on cherche les arrangements divers, et, pour s'élever à toute la généralité que le sujet comporte, il faut déterminer ce qui doit arriver lorsqu'on partage en un nombre quelconque de groupes le nombre de lettres donné. Les formules propres à cette détermination se trouvent dans le développement des puissances des polynômes.

En raisonnant sur les produits des trinômes

n'-^b'-\-c', a" -\- b" -\- c" , a'" -^ h'" -\- c" , etc.,

comme on Ta fait dans le n" 21 sur ceux des binômes

m' -\- Ti' , m" -\- n'\ in"-\-7i\ etc.,

on verra, par les lois de la multiplication, que ces produits comprennent tous les ariangements qu on peut faire des lettres

a\ //, r', a", h", r", n" , b"' , c'", rtc,

en en prenant une dans chaque fadeur du produit. Il suit de là que si les lettres a' b', c', a", etc., désignent respectivement le nombre de chances qui amènent les événements A, B, C à la i", à la 2^, à la 3"", etc., épreuve, un produit partiel a' b"c"'b^''^ par exemple, fera connaître le nombre de chances qui répond à la succession d'événements simples désignée par ABCH.

Quand on supposera (jue

a'=n" = n"'=...=zn, b'=b"=b"' = ...= b,

f // Jff ,

DI-.S l'UonAniI.ITîts. nn

le |)ro(.luit

se changera dans le triDÙinc a -{- h -\- c élevé à une puissance marquée par le nombre des facteurs, ou, ce qui est la même chose, par celui des épreuves; un terme quelconque de ce produit a' h" c'" b'"^ devenant ah'^c^ se trouvera répété autant de fois qu'il est possible de former des produits diflerenls contenant les lettres a et c i fois chacune, la lettre b i fois, et soumises alternativement aux accents ', ", '", "^,-.-5 portés jusqu'au nombre marqué par celui des épreuves.

Soit n ce dernier nombre: Texpression du terme général du développement de [a -\- b -\- c)" étant

al' bief, SI p-\-q+r=in ( ),