on aura donc en tout un nombre

ip-h^~hr){p-h<J-{-r—i)...{r

de manières d ùlcr de la totalité des p -+- q -h f choses, denx groupes, le premier contenant un nombre /» et le second un nombre q de ces choses, Si l'on écrit au numérateur et au dénominateur de l'expression ci-dessus les facteurs i . 2 . 3 .../", et qu'on y change p-{-q -\- r en n, on retombera sur la formule du numéro précédent.

On aurait les arrangements au lieu des conihinaiso/is, si Ton supprimait les dénominateurs.

o4. En général, tout ce (|ui regarde les épreuves répétées pour un nombre quelconcjue dévéïuMiienls simples est compris dans le développenuMit des puissances d'un

iiKs l'aor. MUMTi.s. jy

|)(ilyiiùiuc lormé de la soiiiUK! ilcs iionil>i cb (|iii c\|)S iriicnl les tliamos d'où rcsulic ( luu'uii de ces é\éiieiiieiils.

Si l'on pose p -i- (j -\- i -\- s -\- t := //, le icrme géiicial du développcinenl de { a -\- l> -h c ■+- d -{- e)", claiit

aPb'U'-d'r',

\ .•!... p.l .?.... fj . l .•>... r. \ .1 .. s .1 .-?.... t

tioiiue le iiouibrc des cliaiices qui peuvent amener ré\éncmont composé d'un noudjie /? d événements A,

La probabilité decel événement composé s'obtiendra donc en divisant Texpression ci-dessus par [a-\-h-\-c-\-d-{-e)" , nombre total descliances.

11 suit de là que pour avoir immédiatement cette prol»abiliié, on peut substituer aux lettres û, b^ c, d, e, qui marquent le nombre des diverses espèces de chances dans une épreuve, les probabilités simples qui en dérivent.

Le plus probable des événements composés que peut amener le même nombre d'épreuves est encore celui dans lequel les événements simples entrent proportionnellement à leurs probabilités respectives. Si, par exemple, on ne considère que 3 événements simples, et qu'on Tasse n^= vi[a-{-b -\-c) ^ il sera facile devoir que le plus grand terme du développement de (rt-|-Z>-|-c)"''^+''+''', est le terme affecté de a'"" b'"'' c'"" -^ car en faisant d"abord ^-j-c' = |3, et développant (a-f-jS)""'"^'"' , on aura pour le plus grand terme celui qui est affecté de rt"'" j3'"'' (29) -, mais il peut se développer à son tour, en substituant à ^"''^ le développement de (^ + c)"'*+"", don t le plus grand terme est celui qui est affecté de b'"'' c'"" : ainsi le plus grand terme du produit a"'" 6'"- sera celui qui est affecté de a""' b'"'' c"" .

8o TRMTl'. ÉLUME>TAIRE

55. Pour donner une idée de la multitude à laquelle peut s'élever le nombre des combinaisons, lors même que les éléments n'en sont pas très-nombreux, je vais «îhercher en combien de manières les 32 cartes d'un jeu de piquet peuvent se distribuer entre les deux joueurs, f[ui, comme 1 on sait, en prennent d abord chacun 12, et entre les deux paquets qui forment le talon, dont l'un contient 5 cartes et l'autre 3. Le nombre demandé, étant le coefficient de a^'b'^^c'^d^ dans le développement de [n -\-b ~{- c-{- dy-, a pour expression

Eu y supprimant par ordre dans le numérateur tous les facteurs qui composent le dénominateur, elle sera réduite au produit

Si l'on suppose ([ue sur le nombre de 1^0 000 ooo d'individus, auquel on évalue la population de l'Europe, il v en ait la 100'' partie qui sache le jeu de piquet, et qu elle se partage en couples pour s'y livrer exclusivement, on trouvera que chacun des 85oooo couples devrait jouer, pour sa part, plus de 18-3899937 coups. On fait saus peine 24 coups dans i heure, ce qui en donne 5^6 pour 1 jour, et 2io384 pour 365 jours -^ (ou i an) 5 si, par conséquent, on divise i 873899937 par 2io384s le quotient, qui surpasse 8907, indiquera le nombre d'années pendant lequel chacpie couple devrait jouer sans interruption, pour épuiser tous les arrangements possibles, sous la condition, toutefois, qu'aucun ai'rangemenl ne serait répété. Lusai^e des cartes à jouer ^\c parait pas remonter plus haut qu à l'année 1392, où ou le voit servir à l'amusement du roi de France Charles M, pendant sa maladie : on doit donc rci^arder comme certain que

DES PllOBAUILITÉS. Hl

toutes les coiubiii;iisons (jiie peut fournir te jeu ne se sont pas encore piésenlees. Au reste, ceux qui le contiaisscnt savent bien (ju'il ne faut pas confondre le nombre de combinaisons avec celui des coups essentiellement différents, qui est beaucoup moindre (*).

KO, C'est au développement des polynômes (|ue Moivre [Misccllnnea analylica, p. 196) réduit la ijueslion de délerniincr la probabilité d^ amener un point donné, avec un nond>re donné de dés. Pour suivre sa marche, représentons par n le nombre de ces dés, par /// celui des numéros dont chacun est marqué, en commençant à I, par p-\- i le numéro qu'on désire amener, et considérons la formation du développement de

(/4-/^ +/^ + ... + /'" )" par la multiplication des n facteurs égaux à

(pi'il contient. D'après ce procédé, il est la réunion de produits partiels composés de facteurs de la forme

Z"^» / '^ f'^,...,en nombre n ;

et pour l'ordonner suivant les puissances de f^ il faut rassembler tous les termes où la somme des exposants est la même. Il suit de là que le coeflicient du terme pour lequel on aura

indique le nombre de manières de former le point /? -f- i avec n nombres pris depuis i jusqu'à //;, et donnera la solution du problème proposé.

La recherche de ce coefficient, qui serait assez difficile par la formule rapportée dans le n° 5-4, se simj)litie beaucoup à cause de la forme particulière du polynôme à

C) Voyez Doctrine of Chances, p. 184.

4^ édition. 6

82 TRAITÉ ÉLÉMENT A mr

dcvtlopjjer. En tiii'el. comme

et qu'on a vu clans les Élcmc.nts tV Algèbre que

il s'ensuit que le développement (ju'il faut elVecluer revient à celui de

J \^ J i fnf, fm 'f, ! , f -11.

or

n ^ nin — i)^ n{n—i){n — i)^

Eu mettant à part le premier facteur J", il restera à trouver dans le produit des deux autres, développés cidessus, les termes qui sont affectés do f'"^^~" ; pour cela on prendra d'abord dans la série inférieure le terme affecté dey^''"''*"", pour multiplier le premier terme i de la série supérieure 5 puis on reculera dans la seconde série jusqu'au terme affecté de/''+'~"~'", pour multiplier le terme affecté dcj'"' dans la première série; et continuant ainsi de rétrograder de lu ternies dans la série inférieure, pour avancer de i terme dans la série supérieure, on obtiendra, pour le coefficient cherché,

série qu'il faudra continuer tant qu on ne rcnconlreia, dans les produits indiqués, aucun facteur qui soit nul ou négatif.

On lui fait prendre une forme plus clégante. en obser-

IIKS l'IKjliABlLITÉS. S'S

vanl que si />-[- i — n];> n — i , ou poiil suppriniei' dans le premi»!!' tonne, comme se iiouvant à la lois au numérateur et au dénominateur, tous les facteurs depuis /' H- 1 — n jus({u'à // — I, c'i les introduire, au contraire, si /> 4- I — iK^n — I, Av(c celte attention et en renversant l'ordre des facteurs, le premier lernu; devient

ce qui met sur la voie des changements analogues à faire dans les autres; et si, pour abréger, on pose

p — m^p', j) — om-=p", ]) — 3 /« = /-»'",... , on obtient la formule

semblable à celle de Moivre. En l'appliquant, comme lui, à chercher le nombre de manières d'amener le point i6 avec 4 dés ordinaires, on doit prendre

ce qui donne

Ce nombre étant divisé par 6'= 1296, qui marque celui de toutes les chances possibles dans le jet simultané de 4 dés, on aura la probabilité de -~^, environ ~-^, d'amener avec ces dés le point 16.

En ne supposant que 3 dés, et cherchant le nombre de

84 xnAlTÉ ÉLÉMF.KTAIRE

manières d'amenoi- les points 3, 4-> 5: 6? 7- 8. 9 el 10, on prendra successivement ])Our p chacun des uombres

et, par ces valeurs, on trouvera les suivantes :

dont la somme 108 est moitié de 6' = 216, nombre total des chances : il est donc également probable, avec 3 dés, d'amener dans un seul jet un point inférieur à 1 1 ou supérieur à 10. Celte remarque est le fondement du jeu nommé passe-dix.

57. La recherche de la probabilité que tous les numéros d'une loterie seront sortis après un nombre donné de tirages, problème qu Euler et Laplace ont résolu par des moyens dilïérents, otlVe, dans un énoncé simple, une question curieuse.

La considération du polynôme y serait applicable aussi ; mais ne me paraissant pas devoir mener facilement à la solution générale, je vais passer à 1 explication de la formule donnée par Euler [Opuscitla auah lieu, t. II, p. 333). On iiouvera dans la Note II la solution de Laplace.

Soit m le nombre des numéros dont se compose la loterie, et dont il en sort i à chaque tirage ^ on demande la probabilité que tous seront sortis dans n tirages.

Les chances également possibles dans un tirage sont toutes les combinaisons qu on peut faire des m numéros, pris en nombre / : celui de ces chances aura donc pour expression

Désignons-le, pour abréger, par P,„, afin de pouvoir repré-^entcr par P„,i, P„,s. t'I»"-- ce qu'il devient quand on y change /// en m — i, ru — a, etc.: et pour éviter

DES rnODABILlTÉS. 85

toute confusion, subsliluons les lettres «, />, t-, d, c, «-le, aux numéros de la loterie. Cela posé, n lirai:;es donueronl (P,„)" = P" {irrangemenls des premières chances prises // à //, parmi lesquels se trouveront compris tant ceux qui conlicMinenl toutes les lettres que ceux ou il en manque <|iu;l(|iu's-unes-, la question se réduit évidemment à soustraire ces derniers du nombre total, pour arriver à rexpression du nombre de ceux qui remplissent la condition du problème.

II est d'abord évident que les arrangements qui ne contiennent pas une lettre désignée, a par exemple, se trouveraient tous dans une loterie formée des m — i lettres restantes 5 qu'ils sont par conséquent au nombre de P" et qu'en exceptant ainsi chaque lettie à son tour, on aura déjà A«P", arrangements à ôler de P", ce (pii donnera

Mais il faut observer cpie parmi les arrangements qui ne contiennent point la lettre «, se trouvent ceux ({ui ne renferment en même temps ni <7, ni Z>, qui de môme se trouvent aussi parmi les arrangements ne renfermant point Z> : chacun de ceux où il manque 2 lettres a donc été retranché 2 fois, lorst[u'on a ôlé deP" les arrangements où il manque une lettre; or, les premiers, qui sont au

nombre de r" n auraient du être retranches

qu'une seule fois : il faut donc les ajouter une fois à l'expression formée ci-dessus, et l'on aux'a

/Il m [m — I )

Lçs arrangements où il manque 3 lettres, rt, b, c, par exemple, ont été retranchés d'abord 3 fois, savoir, avec ceux où «manque, où h manque, où c manque; ils ont

8Ô TRAITÉ ÉI.ÉMEKTAlRi:

Clé ensuite ajoutés 3 fois, savoir, avec les arrangements où a cl b manquent en môme temps, ou bien a et c, ou bien h et c. Si on les a ôtés d'un côté 3 fois, on les a remis autant de l'autre: il faut donc les soustraire de nou-

1 ' 1 ' m (m — i) {m — 2) ^ veau, et leur nombre étant — ^ ;r Jr" on

aura, après cette opération,

^ m ^ m (m — i) ^ m (m — i)(rn — 2) „ P" p" i ^ i p" __i Ll L p^'

Passant aux arrangements où il manque 4 lettres, on verra de même qu'ils ont été retranchés 4 fois avec ceux où il manque une lettre, ajoutés 6 fois avec ceux où il manque

2 lettres, et retranchés 4 fois avec ceux où il manque

3 lettres : ayant donc été retranchés 2 fois de plus qu ils

n'ont été ajoutés, il faut les ajouter encore une fois, et

1 1 , Jii ( m — i\ {m — ^) ( m — 3 ) . . ,

leur nombre étant — ^ ^ ^ . P" il en

résultera

La loi de cette expression est maintenant assez évidente pour qu'on puisse la pousser aussi loin qu'on le voudra ; mais pour en constater la vérité indépendamment de toute induction, il suflit d'observer qu'un arrangement où il

manque un nombre p de lettres est retranché - fois avec

• • 1 ' P ip — " • • .

ceux on il en manque i, aioute -^ avec ceux ou il

1 ■ P (p — ' Hp — -] r •

«■n iiianque 2. rciranclie -^-^ A: lois avec ceux

où il en manque 3, cl ainsi de suite; <e qui donne pour

i)i:s i'kobAbilités. H^

lésullal l'expression

p^ pjr— pjp — i) (/^ — a) ^ j />^

renferiuant ions les termes du clévcloppeiucnt de (i — i)'', à Texeeplion du premier terme, qui est •+• i, et du dernier, qui est ± I, selon que p est inipair ou pair. L'expression ci-dessus est donc égale à o dans le premier cas, et à — 2 dans le second 5 ainsi, dans l'un on aura encore à retrancher les combinaisons où il manque p lettres, et dans l'autre ces combinaisons auront éié soustraites •2 fois au lieu d'une : il faudia par conséquent joindre à l'expression du nombre des arrangements clierchés le terme

avec le signe — si j) est impair, et le signe + si ce nombre est pair.

Le problème proposé est donc complètement résolu par la formule

^ 77/ „ . mim — I ) . . . [m — p -h 1 )

p» pn I , . . — |— __J ' '■ ' ' P"

tant qu'on se borne aux considérations algébriques, puisque cette formule donne le nombre de chances favorables à l'événement désiré, et qu'en la divisant par P" , nombre total des chances, on aura la probabilité demandée, que tous les numéros de la loterie seront sortis dans un nombre il de tirages.

On voit que la question suppose 7i ^ — ; et Euler remarque, en effet, que la formule ci-dessus demeure nulle tant que n <^—- De plus, il faut, dans les valeurs de P, s'arrêter à p = m — / numéros, parce qu'alors il ne reste

daii3 la loterie que m — (/// — /) = i numéros, et que tous les tirages sont les mêmes; aussi irouve-l-on P" = i . Il est à propos d'observer aussi que P" se réduirait à

m", s'il ne sortait qu'un numéro à chaque tirage, c està-dire si l'on avait / = i .

58. Euler a montré que pour mettre facilement en nombres la formule ci-dessus, lorsque les valeurs de m et de n étaient considérables, il suffisait de calculer le logarithme du rapport de chaque terme avec celui qui le précède.

En effet, si, pour abréger, on pose

-iip'. =B,

= C, etc.,

on aura

etc. J

puis, remonlanl aux valeurs de P" , P" P" etc., on obtiendra

d'où Ton conclura

A ni (m — / \ " B m — i / /;/ — / — i \ "

C /// — 2 f ni — I — 2 \ "

lî 3 \ m — 2

DES l'UOUAUILIlÉS. 8f)

Passant niix lo^aiillnncs, on aura

, li , m — I , m — I

C ru — 2 . PI — 2

cl cil observant que

rn ni m m

on déterminera, par une suite d'autant plus convergente que le nombre ?i sera grand, le rapport de chaque terme de la formule proposée, comparé au premier, ce qui donnera la probabilité demandée; car cette formule élanl divisée par P" devient, par les dénominations employées ci-dessus,

En prenant m=zgo^ i= 5, u = loo, on obtient, au moyen des six premiers termes de la formule, pour la probabilité de la sortie des 90 numéros de la loterie de France, la fraction o,7Jio, exacte à moins de yToTô , et qui surpasse beaucoup^ (*)• H ne serait pas diflicile, en rétrogradant, de s'assurer que c'est du 85*^ au 86" tirage que cette probabilité passe au delà de -. En portant le nombre des tirages à 200, il suOit des deux premiers termes de la formule, qui donnent 0,9990, probabilité très-peu diOérente de i .

(*) Euler trouve 0,7/(19; mais Trcmblcy, qui est revenu sur ccUe question dans les Mémoires de l'Académie de Berlin, années 1794 et 1793 (p. 76), ayant mis plus d'exacliludo dans les calculs, est parvenu au nombre rapporté ci-dessus.

go TRAITÉ ÉLÉ.MENTAIUE

Dans le Mémoire cité, Euler ne se borne [us au problème donl je viens de donner la soluiion : il cherche aussi les probabilités pour la sortie de m — i,m — 2, etc., numéros, et parvient à des expressions très-remarquables. J'indiquerai également aux lecteurs un Mémoire inséré dans ceux de l'Académie de Berlin pour Tannée i^Si (p. 255), où il détermine les probabilités dans le jeu de caries appelé y'e// rie rencontre. Le seul emploi de la théorie des permutations le conduit à des résultats Irès-élégants et très-curieux (*).

59. Je terminerai cette suite de questions en donnant une idée de celles qui concernent les parties jouées eu rabattant, c'esl-à-dirc en ne comptant jamais que l'excès du nombre de coups gagnés par un joueur, sur le nombre de ceux que l'autre a gagnés, de sorte que le gain total, ou la fin de la partie, dépende d'obtenir, non pas un nombre donné de points, mais un nombre qui surpasse d'un excès donné celui des points gagnés par l'autre joueur.

Pour éclaircir ceci par un exemple, montrons d'abord ce qu'il peut ariiver lorsque l'excès de points qui fait gagnej" est égal à 2 ; désignons par A et B les joueurs, ainsi que les points qu'ils gagnent, et supposons que la probabilité d'obtenir un point soit ^. Il est évident que tous les arrangements, dans lesquels la même lettre se trouve aux deux premières places, doivent être exclus dès qu'il y a plus de deux places, puisqu'ils désignent un coup qui ne pourrait se présenter qu'après la terminaison du jeu 5 ainsi l'arrangement AA, faisant gagner le joueur A, exclut l'arrangement AAB. On voit aussi que la même lettre ne saurait se trouver plus de (rois fois de

(*) La même question, présentée sous un autre énoncé dans la Théorie analytique des Prohahililcs, par Laplacc, p. ai 7, a été traitée ilc nouveau par M. 'roileiiat, dans le tome XII des Annales lic Hlathcmaiiqucs pures ri aji/iliqiirrs, pnMiéos par M. Gcrçonne ( p. l'o).

nr.s l'uon.VBinTÉs. yi

suile après la première place; l'arrangement BAAAAB, par exemple, ne jxnil entrer dans ceux du 6" couj), puis- (]u il dérive de l'arrangement BAAA qui terminerait le jeu au .j*^ coup. D'après ces observations, on liouvera (pie les divers événcmeuls possibles sont,

coup,

au ?.*-■,

an 6'',

au ^^