BAB

ABBB BAAA BAAB BABA BABB

En cherchant dans ce tableau, dont la continuation ne présente aucune diflîculté, les arrangements où le nombre des répétitions d'une môme lettre surpasse de 2 (elui des répétitions de l'autre lettre, et qui terminent le jeu, on en trouvera 2 au 2" coup, savoir, AA et BB; 4 au 4*^ coup, savoir,

ABAA, ABBB, BAAA, BABB,

et ainsi de suite. Les probabilités étant j pour chaque événement du i'^ coup, ^ pour ceux du S'', jj poiu' ceux du 4*^7 etc., on aura la probabilité a..j = \ que la partie se terminera au 2*^ coup, 4-77 = 7 qu elle finira précisément au 4*" coup, et par conséquent la probabilité ^ -f- 7 cju'elle ne se prolongera pas au delà de 4 coups : on trouverait 74-7 + 7 pour le 6^ coup, et ainsi de suite; car il est d'ailleurs évident c[ue la partie ne peut se terminer qu'à un nombre pair de coups.

Si le gain de la partie dépendait d'obtenir une supériorité de 3 points," le tableau des événements possibles à chaque coup deviendrait beaucoup plus compliqué; mais Moivre a bien simplifié le problème, en cherchant,

92 TRAITÉ ÉLÉMEiNTAlRE

Cil prcmlor lieu, Ja probabilité qu à un coup déterminé la partie ne sera pas finie (*).

60. Quand la supériorité demandée est seulement de deux points, comme dans l'exemple ci-dessus, la partie ne pouvant pas être décidée en moins de deux coups, il faudra considérer d'abord la formule

dans laquelle les termes e^ <^^f' indiquent la probabilité du gain de deux points de suite, soit par A, soit par H, et 7.ef celle que la partie ne sera pas finie. Maintenant, pour aller plus loin, il faut, d'après les règles concernant les probabilités composées (17), multiplier lef par e -\-f't ce qui donnera, pour le 3" coup, les termes

répondant aux événements

AAB, ABB,

dont aucun ne peut décider la partie : passant donc au coup suivant, on multipliera encore ie^J'-{- lej- par G -\-fi ce qui donnera

dont le terme du milieu \e^f- répond au cas où la partie n'est pas finie. Déjà l'on voit que cette partie ne pouvant finir que dans un coup d'ordre pair, il est plus simple de prendre pour multiplicateur e' + 2 q/^+y - ; et Ton reconnaît sans peine que les probabilités clicrcliées forment la progression par quotient

2ç/, 4.'y% 86-'/% etc.

En supposant, comme dans notre exemple, que les probabilités simples soient égales à |, on aura

C) Docli iiic of Clinncrs, p. 'joa

DKs l'UoHAiiiLn rî:s. (j!i

iiour la probabililé (jiic la partie ne sera pas finie au oy ^ au 4*^1 '"lU 6'', Ole, COU}) 5 cl en relianchant do l'unitô ces fVaclions, il viendra

pour les probabilités de la terminaison de la partie.

Lorsque le i;ain do la ])arlie dépend de plus de doux points, ou ne tombe plus sur une progression par quotient; mais en suivant la même marclie, on parvient aisément à cette règle donnée par Moivre :

Pour trouver la prohahilitc que la partie dans la-quelle le joueur A doit enlever q jetons au joueur B, ou celui-ci p jetons au joueur A, ne sera pas finie dans un nojuhre r de coups, vndlipliez le binôme e + f par luiniênie, autant de fois quil y a d'unités dans r — i, en observant, après chaque multiplication, d'effacer les termes dans lesquels l'exposant de la lettre e surpasse de q l'exposant de la lettre f, ainsi que les ternies oii V exposant de la lettre {surpasse de p celui de la lettre e (parce que ces termes répondent à des événements qui terminent la parlio) ; les tenues restants composeront la probabilité demandée.

Si Ton avait

/p = 3, 7 = 2, r=zn,

en suivant la règle ci-dessus on arriverait à

et si l'on faisait e=:f=^ t, il en résulterait

et I T-z=i%Jr pour la probabilité contraire, c'est-à-

dire que la partie soit finie en 7 coups. On arriverait immédiatement à cette dernière on formant la somme de tous les termes rejelés dans le cours des multiplications

f)4 TUAITÉ ÉLÉMENTAIRE

indiquées ci-dessus, et l'on obtiendrait la probabililé qui se rapporte à chaque joueur, en prenant les termes où celle des lettres e,/qui le concerne aie plus fort exposant. Il resterait à trouver la loi de ces termes, de manière à former la probabililé relative à un coup quelconque, sans passer par les précédentes : jMoivre a seulement indiqué cette loi: mais la recherche en est trop longue pour trouver place dans ce Traité ( vojez la Note II ) (*).

De la Règle des paris, et de V espérance uinlhcmaliqne.

01. Jusqu'ici je n'ai encore considéré les probabilités qu'en elles-mêmes 5 mais le plus souvent on ne les calcule que pour régler la mise et le gain dans les joux, et en général pour apprécier l'avantage ou le désavantage pécuniaire des spéculations fondées sur des événements incertains. Avant ([u'aucune théorie mathématique eût éclairé celle des hasards, on s'était déjà entendu pour regarder comme équitable tout pari dans lequel les parieuj's déposent des sommes proportionnelles au nombre des chances qui les feraient gagne/'. Celui qui, dans le jet d'un dé à 6 faces, parierait d'amener une face désignée, ne devrait déposer au jeu que la 5*^ partie de ce qu'y mettrait son adversaire, puisqu'il n'aurait en sa faveur que 1 chance, tandis (jue l'autre en aurait 5.

Quelque naturelle que soit cette conclusion, on la rendra peut-être encore plus évidente eu concevant d abord (Uie chaque face du dé soit assignée à un parieur dilî'érent, et (lue la somme mise au jeu doive échoir à celui (]ui aura

(*) M. Ampère, dans ses Considérations sur la théorie mathènialitfuc du jeu, est parvenu à cette loi par un i)rocciIé purement algébrique.

Les jeux offrent beaucoup d'autres questions difficiles à résoudre; l'une «les plus remarquables est celle de la probabilité du refait de 3i, au trente cl ijuaranle. M. Poisson l'a traitée le premier par l'analyse transcenilante, et en a donne une solution précise. (\'oyc2 les Annales de Mjihcmaiiqucs pures et applii/ucrs, publiées i>ar M. Gerponnc, t. \\ I, p. 17^».'

DKS l'ROBABlLlTÉS. ()5

clôsigiié la (ace ameiiét; par le jt'l. 11 n v a pas di: raison alors pour <|uo la mise de l'un de ces joueurs soil plus considérable (pie celle de tout anlre. Sou i,'aiu sera donc ([uintuple de celle mise; el si (picl<ju'uu voulait se substituer aux j auiics, avanl (pie le sort eût prouoncé, il devrait iiécessaircnient leur rendre leur mise : il déposerait donc 5 fois autant que le premier, c'est-à-dire précisément en laison du nombre des chances qui sont en sa faveur.

Ce que je viens de dire sur l'exemple précédent s'appliquerait également à de plus compliqués ; on peut" concevoir de nièuie que 36 parieurs se sont distribué toutes les chances comprises dans le tableau de la page 1 1 ^ chacun de ces parieuis doit déposer la même somme au jeu, et la totalité des mises formerait le gain d'un seul, si la condition à remplir était l'arrivée de la chance dont il a fait choix. Mais si cette condition est seulement d'amener avec les deux dés un point désigné, tous ceux des jouexirs qui ont pris une des chances formant ce poiiit ont un droit égal au gain : ils devront donc le prendre en commun, pour se le partager également. Si le point dont il s'agit est 8, par exemple, il y aura 5 gagnants, puisque ce point résulte de 5 chances; et le fonds du jeu, composé de 36 mises particulières, sera acquis par 5. Si donc on rcPîiplace par un seul individu ceux qui ont les chances favorables au point 8, et par un second ceux qui ont toutes les autres, on voit que leurs mises respectives seront dans le rapport de 5 à 3i, c'est-à-dire proportionnelles au nombre de chances qui les font gagner.

Ces considérations, dont Moivre parait avoir fait usage le premier (*), justifient suffisamment, ce me semble, le principe posé ci-dessus, d'après lequel, si deux joueurs, ayant en leur faveur les probabilités e et/", déposent des

(*) Doclii Jie qf Chances, p. 3.

96 THAITÉ ÉLÉMENTAIRE

sommes a et />, il faut, pour former un pari équitable, (|u'il y ait la proportion

fi \ h \\ c : f, d'où «/"= hc.

62. Ce principe suffit pour tous les cas où le hasard décide en une seule épreuve, parce qu'alors la condition des joueurs ne change que par la conclusion de Févénement; eu sorte que si la volonté des joueurs ou un empêchement quelconque s'opposait à ce que le hasard, d'où dépend le jeu, fût tenté, cliacun d'eux, renonçant aux chances qu'il avait acquises par sa mise au jeu, la reprendrait en entier. Il n'en est pas de même quand, pour terminer le jeu, il faut des épreuves répétées, et que quelques-unes ayant déjà eu lieu ont modifié le nombre des chances favorables aux divers joueurs : leur espérance a changé, et avec elle leur droit sur le fonds du jeu. C'est sur ce nouveau pied qu'il faut régler le partage entre eux, en s'appuyant sur la convention généralement établie dans tous les jeux, d'après laquelle tout joueur perd la propriété de l'argent quil dépose, mais acquiert en rcs'atiche, sur le fonds du jeu, un droit proportionnel à la probabilité qu'il a de gagner ce fonds.

Par exemple, une personne parie d'amener deux fois le même point dans deux jets consécutifs dun dé à 6 faces ; la probabilité de cet événement étant seulement -;^, et celle de l'événement contraire ||, cette personne ne doit mettre au jeu c|ue i franc et son adversaire 35. Posons que. Icpremier jet ayant eu lieu, le point désigné ait paru, et qu'alors les joueurs veuillent se séparer; celui qui a parié d'amener le point désigné aurait encore au second jet 1 chance pour lui et seulement 5 coïilre : sou espérance est donc irès-dilîércnte de ce qu elle était avant le pieniier jet. Datis ce cas. la mise totale étant considérée comme appartenant au ji u, toutes les chances également possibles ont un droit égal au partage de cette somme, et

DKS VUOTIAUIMTI'.S. O^

celui (jui iciinil pliisicnis iliaiiccs ilt)il avoir les paris correspondantes : ainsi le premier joueur prendra - de la mise tolal(% on (i (Vnncs, et son adveis;)ire les ^. on 3o francs.

G3. Sous cette (iernièie fuiuie, la règle des paris servant à partager la somme déposée par les joueurs, avant que le sort ait prononcé entre eux, prend le nom de règle des partis (*). L'application que Pascal en a faite aux questions que lui proposait le chevalier de Méré, déjà cité (24), a donné naissance au calcul des probabilités. Voici l'une des plus sinqjlcs de ces cpieslions : Deux joueurs ont formé un J'onds destiné à celui qui aura le plus tôt gagné trois parties; ils se séparent lorsque le premier en a gngné deux et le second une ; on demande la part que chacun doit avoir sur le fonds du jeu, en supposant que la probabilité de gagner isolément une partie soit j pour chaque joueur.

La considération des [)robabilités composées résoulbien facilement celle question. S'il était joué une partie de plus et que le premier joueur la gagnât, il aurait la mise totale 5 la probabilité de cet événement est 4- S'il n'arrivait pas, chacun des joueurs ayant alors gagné deux parties, la suivante déciderait nécessairement leur sort; mais la probabilité qu'elle serait jouée étant -j, on aui a ~ pour la probabilité (ju'elle serait gagnée par le prejiiier joueur, et de même pour le second. Or cette dernière probabilité est la seule que le second joueur ait de gagner, tandis que le premier avait ^dès la partie précédente : les probabilités totales sont par conséquent

pour le i*^"^ joueur, — [--:=-, et pour le ■i'- , -■

2 /| .|. Zj.

( ^) Le mot parti étant pris dans le sens de distribution. De là est veni.e cette façon de parler ■.faire à qucltju'un un lion parti ; ce serait une fanie que de dire la règle def. partifs. (\'oycz Œmrcf de l'/ncal, t. V. p. 32.) 4" cditioti, "j

98 xnAlTK ÉLÉMENTAIRE

Si (Joiulo fuiids du j<'u ôlail (le 64 pistolcs, comme Jtsuppose Pascal. If prrmicr joueur devrait en piendre les j, ou 48 pistolcs, cl Tautrcj sculemcui, ou 16. Quelr|uc simple qu'il soit, cet exemple peutsuflire j)0ur montrer ce qu'il faut faire dans tous ceux qui pourront se présenter, et réduit la difficuhé au développement de tous les événements possibles, jusqu'à celui qui amène la décision du sort.

Pascal ne poussait pas le calcul si loin, dans l'exemple ci-dessus; il se bornait à clierclier ce c[ui arriverait si la 4*^ partie était jouée. Dans le cas où le premier joueur la perdrait, les deux ayant gagné chacun le même nombre de parties auraient droit à la moitié des 64 pistoles : (( Donc, s'ils ne veulent point hasarder cette partie..., le » premier doit dire : Je suis sur d'avoir Sa pistoles, car 1) la perte même me les donne; mais pour les Sa autres, » peut-être je les aurai, peut-être vous les aurez ; le haî) sard est égal : partageons donc ces Sa pistoles par la » moitié, et donnez-moi, outre cela, mes Sa pistoles qui ') me sont sûres. Il aura donc 48 pistoles etl'autre 16 (*). » Ce résultat est le même que celui du calcul des probabilités composées, et le raisonnement parait ici beaucoup plus simple-, mais il perd cet avantage dans les cas plus compliqués, qu'il ne résout qu'en les faisant dépendi-e les uns des autres, jusqu'à ce qu'ils retombent dans celui-ci.

Fermât, qui s'occupait du problème des partis en même temps (pie Pascal, y appliqua d'abord la méthode des combinaisons, dont celui-ci eut quelque peine à concevoir l'emploi, lorsqu'il s'agissait de trois joueurs ; et pour lever ses doutes, Fermai fil usage des probabilités composées (**).

(*) Œuvres de Pascal, l. IV, p. .\\\\.

(**) Ibid., p. /|39. On voit à la page /|',î.'| que P;iscal avait aiis^i ri-sdii le cas do trois joueurs, par sa méllunlo geiu'raic qu'il cito encore p. .127

i)r:s i>iu>i!\i!iLiri';s. {)()

(ii. La si'paialioii cl(;s ioiicui's .ivatil la dccisioii du sort, qui peut iTtîtrc ([iriin ()l)jfl dr convfMiaiicc ou seulement de spéculalion, dcvuMil néeessaire dans le cas où le leruKî du jeu cesse dèlK! assii^MiaMe, comme cela est possible, du moins malhc'maii(|uemenl, dans les parties jouées en rabatta/it (o9).

En ellet, si les joueurs voulaient se séparer avant la décision du sort, comme l'époque de celle décision est indéterminée, il faudrait qu'ils convinssent préalablement du nombre de coups sur lequel ils se proposent de régler leur partage. Je supposerai que dans l'exemple du numéro cité, le joueur A, ayant gagné un point au i'"' coup, propose alors la cessation du jeu ; le tableau de la page gi montre que le i*"^ coup ayant amené l'événement A, il ne reste au second coup que les événements AA et AH, dont la probabilité est j. Le premier fait gagner le joueur A ; le second, réduisant les deux joueurs à l'égalité, donne à chacun la probabilité ~ de gagner, la même qu'il avait en se mettant au jeu. Suivant ces remarques, les probabilités sont, pour le i*^'" joueur, î- + 7-7 = 7, pour le a'', [.-- = -j. Si donc ils prennent le second coup pour régler leur séparation, le joueur A aura les | de la somme déposée, et le joueur B seulement -^5 ce qui est d'ailleurs évident, ])uisque le point A arrivé au i*"^ coup, excluant les arrangements BA et BB du 2*^ coup, ne laisse à ce joueur que la part assignée par l'événement AB.

60. La considération des sommes êvenliieUcs, c'està-dire dépendantes du hasard, a introduit dans le calcul des probabilités une expression qui mérite un examen particulier, celle à' espérance mathématique , par laquelle on désigne le produit (Vune somme éventuelle par la prohabilité de l'obtenir. C'est dans la règle des partis qu'on en saisit le mieux la raison. Lorsque des joueurs consentent à partager le fonds du jeu avant que le sort en ait

lOO IRAlTli ÉLÉMEKTAIRE

disposé, ils 110111 encore que dos espérances; elcelle règle accord.'iiit à rliacun dV'Ux. sur la somme déposée, une partie indiquée par la probabilité qu'il a de gagner le tout, il était assez naturel de prendre cette partie pour la valeur de son attente. On pourrait aussi la considérer comme ce que devrait lui payer quelqu'un qui voudrait prendre sa place si le jeu continuait. On va retrouver ces divers points de vue dans la règle des paris.

66. Premièrement, l'équation af=be{Q\) exprime légalité des produits formés en multipliant le gain qu espère chaque joueur par la probabilité de l'obtenir : on peut donc dire que dans un pari équitable^ les espérances mathé/natiques ries deux parieurs doivent être égales.

Secondement, si l'on regarde les mises de ces joueurs comme ne leur appartenant plus, dès qu'elles sont déposées, et qu'on évalue l'espérance sur la rentrée de la somme de ces mises, que produit le gain du pari, on aura

(rt -f- è)e pour le i*"" joueur, (a + i»)/" pour le 2^;

et à cause que be = aj" ci e -+-f = i, ces valeurs sont respectivement égales aux mises a et b. On voit donc que la mise de chaque joueur doit être égale à son espérance mathématique sur la somnie déposée pour former le fonds du jeu : elle peut être considérée comme le prix qu'il donne pour ac(juérir celle espérance; et en observant que la certitude est représentée par i, on aura les équations remarquables

[a + b)cz=a.\, [b-\- a)f = b.\.

Troisièmement, si l'on met l'équaliou (f^ be sous la

forme

bc — af— o,

el qu on regarde les pertes commodes sommes négatives, le produit — ^/dela somme — a. parla probabilili'ydu gain du second joueur, pourra enlroi (.latis 1 c\alualion de-

DES l'UOnAHILlTI^S. lOI

l\:spèraiua innllii'ni(ili<jni' i\\\ [)i('micr, laquelle iVî^b/incra alors eu ninllipliant. ic profit ou la perte que lui apporte chacun des événements possibles, par la probabilité de ces évene/nents^ et donnant aux pertes le signe — . Elle sera égale à xéro, dans le cas du pari équitable; ce qui veut diie que l'état du joueur doit être envi^ai;é comme n'étant pas changé par son entrée au jeu.

Ce dernier point de vue semble présenter une contradiction dans les termes; car l'état indiqué par l'espérance matliémati(|ue du joueur est fictif : il n'est point celui qui a lieu dans la léalilé. Après la décision du sort, l'argent du joueui- sera augmenté de b ou dimiimé de a, selon (pi'il aura gagné ou perdu. Dans fuu et faulre cas, son état sera dilïérent de ce qu'il était avant le jeu. Comment dou(^ interpréter une conclusion dans lacjuelle deux événements qui s'excluent 1 uni autre semblent se compenser.^ Par les conséquences des épreuves répétées, dont la multiplication tend sans cesse à rapprocher la dislribuiiou des événements simples du rapport de leurs probabilités.

67. Cette explication, donnée par Condorcet, qui a le premier remarqué la difficulté, s'appuie sur des propositions démontrées par le calcul. D'abord, dans un nombre quelconque d'épreuves, le plus probable des événeiuenls composés est précisément celui où le gain égale la pcite. En effet, si les événements A et B, dont Tun fait gagner b et l'autre perdre a, ont respectivement les probabilités

nt ■+ n on aura

be — nf=i

et, par conséquent.

bm — an

bm — rt« = o, quand be — a/=o.

Mais, dans un nombre r {ni -\- fi) d'épreuves, l'événc-

I02 IKAITÉ ÉLLMENTAinE

menl le [jIus probable, étant composé de rm événements A

(!t de /■// événements W (29), donnera au joueur ([ui parie

pour A la somme

hnir — fifir,

qui s'évanouit (juand on a l'équation

but — an=o, ou la pinportion a \ b :\ m ; n ,

c'est-à-diie lorsqu{î les mises sont en laison des probabilités (01).

68. A la vérité, ce résultat précis ne repose que sui' une probabilité relative; mais on peut obtenir une probabilité absolue, de plus en plus grande, d'en approcher, dans uu certain sens, aussi près qu'on le voudra, savoir : la probabilité que le rapport du nombre dos événements A au nombre des épreuves sera compris entre les limites

I m — I - et —

lorsqu'on embrassera /• [m -h n) épreuves {3i).

Eciivons dans ces lormules sni et sn à la place de vi et de //, suivant l'observation dun'^So; les limites ci-dessus,

devenant

sin -\- I sm — i

.s yni -ir II) s[m -\- n)

se rapporteront à des événements composés dans lesquels il en entrera au plus mii -f- /' de T espèce A avec rsn — /• de l'espèce B, et au moins rsni — r de l'espèce A avec rsn -\- r de l'espèce lî. Dans le premier cas, le joueur qui parie pour A recevra [rsjn-\-r)h^ et donnera [^vsn — i)a : la valeur de cet événement composé sera donc

( rsm + r) b — ( rsn — /•) d = rs irub — i/n -\ ] •

Si elle est positive, ce ipii airivera (juand

/ f' -h b nib H ^ rin ,

DF.S PROBAlULITl^.S, Io!î

<;lle exprimera le gain du joueur ([ui parifî pour A el la perle de celui (pil parie pour lî.

Dans le second cas, au lieu de ia valeur ci-dessus, ou a u ra

( rsm — r)b — ( rsn -\- r)(i = rs inib — na j >

valeur cpii sera négative si

> >nb.

et qui alors exprimera une perle pour le premier joueur, un gain pour le second.

Quand bin — an = <j, tout devient égal entre eux : ils ont la même probaLiliic de ne pas gagner et de ne pas perdre au delà de la somme

rs[ — j =r[a + b).

C'est une partie déterminée de la mise tolaU; de clia<pic

. ,, , - , an . ,

joueur 5 car si 1 on y remplace b par sa valeur — •> tirée

de l'équation

bm — an = o,

^, , J ra(rn-+-n} , . i i •

elle deviendra — ^^ ^ et la mise totale du joueur qui

parie pour A étant rsn (^ni -|- /i) = M, on aura

fia -hZ» = — :

Sl/l

la somme gagnée ou perdue a donc avec la mise totale le

rapport — • ■^ ^ sm

Eq désignant par N la mise du joueur qui parie pour H et chassant a au lieu de b, on trouverait

N r{a-h b j =z— , sn

ce qui donne, pour le second joueur, le ra[)p(»ri — •

Io4 THA1TÉ ÉLÉMENTAIRE

Il suit de là que, comme on peut assigner d'abord au

nombre s telle valeur qu ou veut, ou pourra supposer aussi