II

I)elils qu ou le voudra les rapports — ? —5 et prenant en- ^ ' '^ ' xrn sn '■

suite pour rdes nombres déplus en plus considérables, on obtiendra une probabilité de plus en plus grande^ que la somme perdue par l'un quelconque des joueurs et gagnée par l'autre ne surpassera pas une fraction donnée, et aussi petite quon le voudra, de leur mise totale.

69. Supposons maintenant que l'équation bm — «/?=() n'ait pas lieu, mais que Tespérauce du second joueur l'emporte sur celle du premier-, posons, en couséquence, (t/i =r bm -t- c; il en résultera, dans le premier cas.

b\ { gain du i^"" joueur, perte du 2"^,

i perte du 1*'' joueur, ( gain du 2''.

et dans le second cas,

On voit par ces expressions que le gain du i*^*" joueur se

cbange en perle et la perte du 2® en gain, dès que c^ :

le I*''" joueur perdra donc dans toute r«'-tendue des limites assignées aux événements composés, taudis que le 2*^ gagnera toujours entre ces mêmes limites. Or le nombre .v pouvant être pris aussi grand qu'on voudra, il s ensuit ([ue, qucdquc petite que soit la dijffcrctice quon établisse entre les espérances mathématiques de deux joueurs, on pourra, en nndtipliant le /wmbre des cp/euyes, obtenir telle probabilité quon voudra que le joueur Javorisé sera toujours en gain et l'autre toujours en peite.

Celle dernière pioposiliou me parait bien suOisante pour fonder la règle du puii éipiitable et lixer le sens que Ion doit altaclier il 1 espérance mathématique; elle prouve la nécessité de Taire entrer In répétitiou des hasards daiK>

DKS PnOlUBILlTÉS. lo5

l'appréciation des portes cl des gains qu'ils amènent, et justifie coniplétement l'assertion qui termine le n*^ iO (*).

70. Je liai ciK oie considéré que deux événements possibles à chaque épreuve-, mais on applique V espérance, matliéniatique à révalualiou de tous les genres de hasard. Soit, par exemple, un dé à 6 faces, marquées depuis i jusnuà (), pour Vapparilion de chacune desquelles un joueur s'engage à donner à celui qui je/te le de autant de francs qu'elle contient de points ; on demande la somme que ce dernier doit, mettre au jeu. L'espérance malhémaii(|ue de celui-ci se forme eu ajoutant celles que donnent tous les événements possibles, et qui sont égales au produit du nombre de points marqués sur les diverses faces, par la probabilité \ d'en amener une quelconque : le résultat est

-T(i + 2 + 3-|-4-f-54-6) = 3-i francs,

et par conséquent la mise cherchée (66). Aucun événement ne rapportera précisément cette somme 5 mais elle est la moyenne (ou elle lient le milieu) entre celles que le second joueur relire par les gains et celles que lui lais-

C*) Condorcet ajoute encore les considérations suivantes, qui ne sont pas moins curieuses.

Dans le développement de (w? -4- n)''^'""*""^, la somme des termes qui précèdent le plus grand, celui qui est afTecté de m^'n™, comparée à la valeur totale du développement, tend sans cesse vers le rapport 4 ; il en est de même de la somme des termes qui suivent ce plus grand. Les pi-emiers répondent aux événements qui font gagner le joueur pariant pour A, les autres aux événements qui font gagner son adversaire, lorsque leurs espérances mathématiques sont égales, et seulement dans ce cas : il s'ensuit donc que, dans ce cas seulement, les probabilités de gain tendent à devenir égales pour chaque joueur, à mesure que les épreuves se multiplient. [Essai sur la probabilité des décisions, etc., p. i^S.) Les bornes dans lesquelles je me suis proposé de resserrer cet ouvrage ne me permettent pas de rapporter la démonstration de la proposition cidessus; mais on en trouvera du moins des exemples numériques dans la note de la page î^^.

lo6 TRAITf^. I-LÉMENTAIKE

sent les perles, c est-à-dire que les unes sont autant audessus que les autres sont au-dessous. En ellct, il éprouvera, sur les points

les pertes

2 { francs,

I i franc.

~ franc.

et sur les points

les gains

\ franc,

1 { franc.

2 7 francs:

les unes compensent les autres. Pour le premier joueur, ce serait la même chose, mais dans l'ordre inverse.

De plus, celle valeur moyenne est celle qui ne produit ni perte ni gain pour l'événement composé le plus prt)bable dans les épreuves répétées, puisque cet événement répond au terme dont les exposants sont proportionnels aux piobabilités des événements simples (54).

71, Celte compensation ne peut être considérée que comme un état fictif résultant de l'impossibilité d'assigner de quel côté sera le gain, lorsque le jeu est égal; car il faut bien remarquer que si le calcul montre que, dans ce cas, les rapports des pertes aux mises totales des joueurs sont renfermés dans des limites de plus en plus resserrées (08), il ne s'ensuit pas la diminution de la valeur absolue de ces pertes, mais, au contraire, son augmentation, puisque la somme r{a-\-b) croît sans cesse avec /•. Aussi, en ne considérant que le résultat général du jeu. sans s'arrêter au sort de l'un des joueurs en paiticulier. on trouve sans peine qu // j' a une prohahilitc toujours croissante que la perte surpassera une somme donnée, quelque considérable que soit cette somme.

Pour y parvenir, supposons d'abord que les probabilités des événements simples soient égales; prenons en conséquence le développenuMit de (' H-,/) '? repré^cn-

DES PUOBVBrLlTÉS. » oy

loiis par IJ('''J'' !«' Icrmc qui eu occupe le milieu; culiu, joif^uons à ce terme un iiombie /y de; ceux cpii le précèilcnt el ;uila?il de ceux (pii le suivent. iNous aurons une expression de la forme

"/ cl'^-'lfl- -7 -f- ... 4- u.(ffl' |- . . . 4- l' cf-Q/P+'l,

cl indiquant les événemcnls où la did'érence entre le nombre des parties gagnées et celui des parties perdues ne s'élèvera pas à plus de iq. Or, celte probabilité comprenant 2<7 -h I termes ira sans cesse en décroissant si le nombre q reste le mèirie, tandis que le nombre p augmente (32), et, [)ar conséquent, la probabilité contraire, qui est formée du reste des termes du développement de (e+y^)^'', s'approchera de plus en plus de l'unité.

Il suit évidemment fie là que, si l'on désigne la mise de chaque joueur par n et que sa fortune ne surpasse poifit iqa^ il existe xin nombre p, donnant une probabilité aussi grande que l'on voudra que la perte résultant du jeu s'élèvera à plus de iqa^ et qu'ainsi l'un des joueurs finira par être ruiné, quoique le jeu soit égal; seulement, la probabilité de celle ruine sera la même pour un joueur que pour l'autre, parce que les termes qui les expriment dans le développement de [c-k-fY'' sont identiques.

Quand les prol)abiliiés des événeuients simples soûl inégales, il faut employer l'expression

). ///'""'+? «'""-y + ...-+- y. /;?'■"'«'•"-[ . . . -f- V ni'''"-'i n"'+l

dont les termes extrêmes répondent à une perle marquée

par

{ rni -{- r/) l> — [m — q]a =i q [a -\- b),

à cause que i tnh — ma = o (07).

Prenant alois </ [a + h) pour l'expression de la fortune de chaque joueur, on pourra trouver encore, comme cidessus, à cause de l'invariabilité du nombre q^ une pro-

I08 TIIAITI^ ÉLÉME>TAIRE

babiliié de plus en plus grautle, que le jeu suffisarameul prolongé occasionuera à Tun des joueurs une perte égale à q{^a-i-b) et le ruinera par conséquent (*).

Lorsque le jeu est inégal, alors la répétition des épreuves tend sans cesse à l'accumulation des plus petits avantages, dont, comme on l'a vu dans le n" OU, la probabilité croît sans cesse et peut être portée aussi près de l'unité (ju'on le voudra. Aussi Texpérience prouve-t-elle chaque jour que les hanquicrs qui se chargent de tenir un jeu de pur hasard, moyennant certains avantages sur les chances, se procurent un bénéfice assuré dès (ju'ils ont des fonds suffisants pour faire face à quelques événemcnls trop défavorables qui peuvent arriver de temps à autre.

72. Le succès des loteries est de ce genre : il est fondé sur ce qu'elles ne rendent pas à ceux qui y mettent (ou aux pontes) le gain correspondant aux risques qu'ils courent 5 la disproportion est le plus souvent considérable et augmente à mesure que les probabilités de succès diminuent, ainsi qu on va le voir dans la loterie de Fiance.

Uexlrait sinij)le, ou la sortie dun seul numéro, ne rend que i5 fois la mise, quoique, sa probabilité n'étant

que — (i~), il devrait produire un gain égal à i- i'ois la

mise et rendre, par conséquent, 18 fois cette mise : l'espérance mathématicpie du banquier excède doue ici de

-77 = ^ celle des pontes.

IJextrait dètcnniné, ou la sortie d'un seul numéro, à une place marquée du tirage, la première, par exemple, ne rend que 70 fuis la mise pour une probabilité égale à

(*) Ici les prohabililcs iic sdiU )ias cxaclciiiciil les incmos pour chaque joueur; mais, suivant l'indication iloniiée dans la note de la page io5i, ••lies tendront sans cesse à devenir égales, en s'approclianl de J.

DES IM'.OTiAKII.ITLS. 1 OJj

- : l'avanlatc du h.iiKMiicr sur (;e liasard est iIoik;

\jainhc, on la sorlii: dans \q mcinc tirage de deux

numéros désignés, ne rend (pu! 270 l'ois la mise^ mais 90 numéros combinés 2 à 2 produisant " — ^— ^ = ^oo'S

ambcs, cl les 5 numéros d'un tirage — -^ = 10, la probabilité de la sortie d'un ambe est -, — -; la probabilité

SqqS 1 • 1 I • 1 A

contraire, .• : le gain du pou le devrait donc cire

- = 399,5 fois la mise; l'avantage du banquier esl, par conséquent,

\ ju^ ^' ^t^^i^ 4"C)5 89

Uainbe déterminé, ou la sortie de deux numéros désignés dans une place donnée du tirage, ne rend que 5 100 fois la mise. Comme il s'agit ici des arrangements 2 h 2 et non pas des combinaisons, les 90 numéros produisent 8oio ambes déterminés 5 de plus, la place étant fixée dans le tirage, la probabilité d'un ambe déterminé sera par

conséquent -r ? la probabilité contraire ^ — - : le gain

du ponte devrait donc êlre 8009 fois la mise 5 lavanlage

du banquier est, par conséquent,

(8009 — Sogq) ^ z= 5^.

Le terne, ou la sortie dans le môme tirage de trois numéros désignés, ne rend que 55oo fois la mise ; mais 90 numéros combinés 3 à 3 produisant ^ ' • .. = 1 1 74^" lei-

IIO fî TRVlTÉ ÉLÉMENTAIRE

lies, et les 5 numéros du lirace — — '-., =z lo, la probabi-

lilé de la sorlle d'un terne est — — ^^ = — , : la proba-

bilité contraire, — ^-^ : le gain dû ponte devrait donc

être 11747 fois la niise^ l'avantage du ])anf[uicr est, par conséquent,

!/n — n/inni — — —

Le quaternc, ou la sortie dans le même tirage de quatre numéros désignés, ne rend que jS 000 fois la mise: mais les 90 numéros combinés 4 " 4 produisant 90.89.88.87

= 2 555 190 quaternes, et les 5 numéros du

tirage — — ' ' = 5, la probabilité de la sortie d un qua- ^ 1 . 2 . 3 . . I ^ '■

icrno est ,,. =:: ~ ^-,: la probabilité contraire

25t)5i9o 5iio3o

5i io37 I . 1 1 -1 . ►. - ^ .

■p ~ : le gain du ponte devrait donc être :^)iio.l7 lois

5 I io3o o 1 j

la mise: l'avantage du banquier est, par consé(jucnt.

1 43''o38 :>i8oic)

On pouvait mettre autrefois sur le quine, ou sur la sortie dans le même tirage de 5 r.uméros désignés, qui ne rendait que i 000 000 de fois la mise \ mais les 90 numéros

. . , f, . ^ , . Qo. 89. 88. 87. 86 .., .

combines 5 a :> prociuisant = — : — y— = AS n4Q 200

quilles, et les 5 numéros du tirage 1, la probabilité de la sortie d'un quiue était donc -y^ — f—f>^^ '•• inobabilité

fonlraire ,^" , ,,A '• ^(^ gain du ponte auiait donc du etie 439^9268 ^

43949267- lois la mise: lavaniagedu liau(|uiir était, par

l)i:s l'IlOltAIllLITLS. 1 I I

( OMSl'CjMCnt,

cl suipassail —x- 4^

Oïl a supprimé celle inaiiièro de jouer, dans larjufllo la difficulté de gagner élail si grande, (piVIle devait rebuter prescjue tout le monde. Pour s'en faire l)icniôt une idée, il suffit de considérer qu'en faisant a tirages par mois dans 4 villes dilïérentes, ce qui donnerait 96 tirages dans un an, il faudrait plus de 437804 ans pour que tous les <|uines fussent sortis, en supposant encore qu'aucun ne se fût répété pendant cet immetisc intervalle. La sortie de tons les qualernes exigerait, dans la même hvpotlièse, plus de 5323 ans : on trouverait bien autre cliose encor(; si, par la formule du n"o7, on clierchaii le nombre de lirages qu'il faudrait embrasser pour obtenir la probabilité ^ de gagner un quine ou un quaterne.

73. 11 ne faut pas croire pourtant que le gain du banquier, à la loterie, soit aussi démesuré que le montrent les calculs précédents. Pour que la grande disproportion établie entre la mise et le gain produisît infailliblement son plein effet, il faudrait que toutes les combinaisons des numéros fussent jouées avec des mises égales; mais c'est ce qui est bien loin d'airiver. Les mises par extrait, qui sont les plus nombreuses, se distribuent très-inégalement entre les 90 numéros, selon la date de leur dernière sortie, ou d'après des rêveries superstitieuses : aussi l'administration de la loterie, qui craignait la sortie d'un numéro trop chargé de mises, s'était réservé le droit de le fermer, c'est-à-dire de ne pas recevoir les mises qui seraient faites sur ce numéro; mais une longue expérience l'ayant bien rassurée sur cette crainte, elle ne met plus h présent de restriction à la volonté des pontes; scu-

112 TTAITÉ ÉLÉMENTAIRE

leraenl, comme autrefois, elle fait vendre des billets arrangés d'avance, afin de répandre autant qu'il est possible les mises sur toutes les combinaisons, Cependaut il n'est pas nécessaire que le partage des mises approche beaucoup de l'égalité, pour mettre le banquier hors de perle : c'est ce dont on peut se convaincre en considérant ses avantages sous le rapport des recettes aux dépenses dans chaque tirage.

Si toutes les mises par extrait étaient les mêmes, un tirage lui coûterait 5xi5 mises, ou j5 mises; s'il en avait reçu 90, il aurait un bénéfice assuré de i5 mises, et il serait au pair s il y avait eu seulement ^5 numéros placés. Faisant le même calcul sur les autres manières de jouer les numéros, on verra l'excédant de la recette sur la dépense augmenter d'une manière si rapide, que le pair est atteint bien avant que toutes les combinaisons ou les arrangements soient remplis.

Au reste, les profits bien constatés de la loterie, pendant une longue suite d'années, les pertes et les désordres, malheureusement aussi bien constatés, dont elle a été la cause pour une multitude de gens de toute profession, enivrés par ses espérances trompeuses. parhMit encore plus haut que les calculs précédents contic la faiblesse qui fait hasardei' dans un jeu aussi inégal un argent dont on poiu'rait faire un usage profitable autant à l'amélioration des mœurs qu'aux avantages physiques des hommes, en le plaçant à des caisses d'épargne solidement établies, sagement administrées, où, recueillant les petites économies de l'ouvrier laborieux et du domestique fidèle, on leur prépare des ressources assurées pour le temps de la vieillesse et des infirmités.

Ceux qui veulent absohunent se bercer d espérances frivoles ont retourné de toutes les manières les combinaisons que présentent la c(>n>iiiulioii de la loieiie et les tableaux des numéros sortis depuis son établissement,

Dl.S PnOliAltlI.lTKS. I I 3

aTui d'y clicMcluM' un moyeu Je Irnuvcr sou cùk" faible. Ce (ju'ils cul pu faire ilc luoijis déiaisonuabJc revient à délcrmincr des progressions de mises croissant de manière (|u'uu évéuemeul heureux dont la piobabililé serait assez considérable pût couvrir la perle passée; mais par re moyen on ne saurait arriver à une probabilité un peu grande d'obtenir un gain même très-faible, qu'en exposant une somme assez forte pour que sa perle entraînât de bien plus graves inconvénients (jue le gain ne pourrait donner d'avantages, i.es pontes qui ont peu de fortune ne sauraient suivre de semblables jeux, ee qu'on appelle faire la martingale, sans se gêner ou s'obérer, et sont souvent forcés de les abandonner en perdant tout ce qu'ils y ont exposé. Quant aux gens riches, ils peuvent faire de leurs capitaux un emploi bien plus avantageux, en se livrant aux améliorations de l'agriculture, au perfectionnement des arts, au développement du commerce. Dans cette espèce de jeu, dont on peut dire que la nature est le banquier, parce que sa force reproductive en fait le fonds, les pontes sages et éclairés augmentent leur fortune, en procurant à la société un accroissement de bienêtre {*).

De respérance morale.

74. Ce n'est pas seulement à un jeu inégal qu'un homme sensé ne voudra point exposer une somme un peu forte, dans l'espérance d'un petit gain très-probable : il penserait encore ainsi, quand même les conditions du jeu seraient égales 5 mais il se déterminerait au contraire

C) Les jeux publies sont aussi une autre source de ruine, parce qu'ils sont tenus par des banquiers qui ont un avantage constant sur toutes les mises : tel est celui du trente et un ou trente et quarante, M. Poisson, dans le Mémoire déjà cité (p. g/j ), a donné, pour la première fois, l'expression exacte de l'avantage du banquier. Les principaux résultats de ce Mémoire se trouvent dans le tonio XIll des Annales de Chimie et de i'hysiijuc, p. 1 y!î.

4*^ rdition. 8

Il4 TRAITÉ ÉLÉMEKTAIUE

aisément à risquer une faible somme, pour obtenir un gain considérable et d'une probabilité fort petite. L'un et l'autre de ces cas peuvent néanmoins répondre à la même espérance malliémalique, puisque l'étjualion be =: af {C)Q) subsistera toujours, si, dans chacun de ses membres, l'un des facteurs diminue dans le même rapport que l'autre augmente. Par exemple, le paii dans lequel rt = 10 000, b = lo, c = f^,/=-n^, quoique équitable, serait-il tenu par un homme de bon sens, ne possédant qu'une trcs-petite fortune? Courrait-il le risque de perdre loooo francs pour gagner lo francs, quoi(pie les probabilités soient en raison inverse de ces sommes? Non sans doute : l'appréciation morale de l'événement diffère donc ici de son évaluation mathématique. La cause en est dans la disproportion entre les conséquences d'une perte qui diminuerait considérablement la fortune du joueur, et celles d'un gain qui n"y apporterait qu'une très-légère augmentation.

Il est incontestable que la valeur absolue d'une somme d'argent n'est pas toujours la mesure précise de son importance : elle doit le plus souvent s'estimer d après les privations que sa perte impose, ou les jouissances que son gain procure, ce qui dépend de l'état de la fortune de celui qui doit la perdre ou la gagner^ mais comment introduiie cette considération dans les calculs ? Quelle proportion convient-il d'établir entre le bien possédé et les sommes éventuelles ? Quelle formule, satisfaisant à toutes les conditions du sujet, doit être substituée à celles de l'espérance mathématique ? Enfin convient-il d'abandonner cette appréciation des événements incertains ? C'est ce que je vais examiner successivement.

75. Pour donner des bases à l'cstimalion relative des perles et des gains, il paraîtrait d abord indispensable de classer les objets de dépenses suivant leur degn" d'utilité;

DKS PROBADILITI^S. I I fj

mais il sérail bien didîcilc de foiiner de celle niaiiièie un tarif avoué par tout le monde. Les aises, le superflu môme, auxquels ou s'est liabiiué, seul souvent regardés comme faisant partie du nécessaire, et chacun en établit les rapports selon ses disposi lions et ses goûts. On ne voit donc dans l'idée de perte et de gain relatifs^ que le plus ou le moins, sentis d'une manière vague qui laisse absolument indéterminée la loi d'accroissement et de diminution de leurs rapports d'importance 5 en sorte qu'il n'y a d'autre moyen d'y appliquer le calcul, que d'établir une hypothèse, pour en faire l'épreuve par la comparaison de ses conséquences avec ce qu'indique le simple bon sens, procédé qui ne saurait mener à des résultats précis, mais conduit seulement à distinguer le plausible de l'absurde;.

Ce qui se présente de mieux, au premier coup d'oeil, est de prendre pour mesure de l'importance d'une somme ajoutée à un bien quelconque le rapport de l'une à l'autre, et d'admettre en conséquence c[ue l'homme qui possède 1000 francs, et qui gagne 100 francs, en i-eçoit un avantage égal à celui que procure un gain de lo 000 francs au possesseur de 100 000 francs, ou le gain de i franc à l'homme n'ayant que 10 francs.

Dès que l'on fait entrer dans l'appréciation des sommes éventuelles la considération du bien antérieurement possédé, la môme somme acquiert plus d'importance lorsqu'on la perd que lorsqu'on la gagne. En effet, le joueur qui, possédant 1000 francs, va risquer une somme de 100 francs, s'expose à perdre la 10*^ partie de son bien : liniportaivce de cette somme pour lui est représentée alors par -pj 5 mais s'il la gagne, comme il aura 1 100 francs, la même somme de 100 francs ne sera plus que jj de sa fortune : elle aura par conséquent diminué de valeur morale. Buffon, qui a proposé cette hypothèse^ en conclut que le jeu le plus simple et le plus égal, celui dans lequel

Il6 TRAITÉ ÉLÉMENTAinE

deux personnes qui possèdent autant de bien Tune que l'autre ont en leur faveur un nombre égal de chances, entraîne toujours une perte absolue d'aisance, puis(jue l'événement diminue plus le bien-être du perdant qu il n'augmente celui du gagnant. Dans l'exemple ci-dessus, l'estimation de cette perte serait -^ — -^ = Y77 •, dans celui de Buffon, la somme éventuelle étant la moitié de la fortune des joueurs, les valeurs morales de la perte et du gain sont exprimées par 7 et j, dont la différence

En général, soit a le bien antérieur, et a la somme éventuelle 5 l'importance de cette somme sera exprimée par

-» comme perte, 5 comme gain,

et la différence par

Ceci conduit naturellement à chercher la valeur de la perte d'une importance é(|uivalente au gain a. Soit x cette perte j on aura

d'où

ny

On voit par la dernière expression de x que sa vuleui

approchera d'autant plus de a , que la fraction - sera

plus petite; en sorte que le gain et la perte ne peuvent être d'égale importance que lorsqu'ils sont infiniment petits par rapport au bien antérieur.

76. C'est dans cet état (jue Daniel Bernoulli les considère d'abord, et suppose (jue leur valeur morale ou leur importance, qu'il désigne par le mot laliu cinohiiiienliun,

(*) Essais d'.iiilhrnélique morale, p. Gq du toiuc IV du Supplément de l'Histoire nalui-fl II', édition iii-î".

iiKs vnonAuiLiTÉs. 117

csl en raison inverse du bien antérieur (*). Il conçoit «•nsuilo (ju'un bii-n queleontjuc est produit par l'accumulalion d un nombre infini de petits accroissements dont chacun y ajoute nn dei^rt3 d'importance proportionnel à son rapport avec le capital déjà formé. La somme de tous ces degrés compose l'importance ou la valeur morale de la somme produite ainsi. En désignant par a les petits accroissements du capital, par <7. a', «", a"\. . . .r, ses valeurs successives, et par A un nombre constant, l'importance du capital x sera exprimée par la suite

/a k -X fi a. /"a k a

dont la somme, lorsqu'on suppose a infiniment petit, s'obtient avec la plus grande facilité par le calcul intégral.

{J oyez la Note III. ) Avec ce secours, on trouve Al - pour

la mesure de l'importance clierchée.

Pour s'assurer que cette mesure remplit la condition demandée, il suffit de connaître le développement du logarithme en série {voyez le Complément des Éléments d'Algèbre) ; car si l'on suppose que x se change en x-Ha,

l'expression 1-, devenant 1(" U s'accroilra de la

quantité

tandis que la suite posée plus haut s'augmentera du

koc. . 11'

terme — ; et ces accroissements approclieront a autant

plus de l'égalité, que a sera plus petit.

Le diviseur a désigne ici un bien primitif au-dessous

(*) Commcntaiii Àcademiœ PctiopolUaniv, t. V, p. 175.

Il8 TRAITÉ ÉLÉMEKTAIRE

duquel ne saurait lomber la valeur de X, qu'on ne peut pas supposer négative; car, comme le remarque BeruouUi, il n'y a que l'individu mourant actuellement de faim, duquel on puisse dire qu'il ne possède rien absolument. « Celui qui se procure en mendiant une somme » annuelle de lo pièces dor n'en accepterait pas 5o, » bOus la condition tle renoncer à ce moyen de gagner sa » vie, aussi bien qu'à tout autre. Il en est ainsi de ceux » qui ne vivent qu'en empruntant. Pourraient-ils s'in- » terdirc à jamais cette ressource, moyennant une somme » plus considérable même que celle qui les libérerait de » leurs dettes ? Si donc le mendiant et l'emprunteur ne )) veulent pas renoncer à cette sorte de profession, le pre- » mier, à moins d'un capital de loo pièces d'or, et le » second, à moins d'un capital de looo, nous regarde- » rons l'un comme riche de loo pièces et l'autre de looo, » quoique, dans le langage ordinaire, on dise que l'un » n'a rien, et l'autre moins que rien. » En général, le bien possédé par un individu est au moins représenté par la subsistance qu'il tire de l'emploi de sa force et de son industrie, et ne s'anéantit qu avec sa vie.

77. Si nous représentons par > liniportance du capital X, et par ) ' celle du capital x', nous aurons

Supposons maintenant, comme dans le n" 73, que a soil un bien et a une somme éventuelle quelconques ; en posant X = a^ x' = a -\- y. et .r'=: a — a, l'importance de la somme y. sera exprimée par

k 1 •, comme gam , k \ > comme i>erte,

et négative dans le dernier cas.

Pour déterminer la perle x dont liniportance serait

DES l'IlOII VlULl'l ES. I ig

«'gale à celle du f^ain a, nous considérci'ons qu'il s'ai^ii ici (le la valeur absoltu; de celle iinpoilaucc, indépcn-

dainmenldu siguc : et comme Al '- csi une ciuaulilé

négative, Jious poserons

, , fi — .'■ , , /•/ 4- a , , , a n -{- a.

— A I = /, 1 , d on z=