IX

et X z=

Celle valeur est la même que celle qui résulte de 1 liy- ])Otlièse de Bullbn, quoique d'ailleurs cette hypothèse fasse croître bien plus rapidement que celle de lîernoulli rinq)orlance des pertes. Ainsi deux hypothèses, fort éloignées l'une de l'autre, satisfont doue aux seules conditions que le sujet impose au premier coup d'oeil, savoir: celle de diminuer le prix des sommes éventuelles, à mesure que le bien antérieur est plus considérable, et de donner plus d'importance à la perte qu'au gain. On pourrait trouver une infinité d'autres hypothèses qui en feraient autant; mais celle de Bernoulli paraît la plus plausible, parce qu'elle descend aux éléments mêmes dont se forment les capitaux, et que c'est en effet par les trèspetites sommes qu'on peut perdre ou gagner avec indifférence, que le sentiment commun fait apprécier les divers états de fortune. « Il s'embarrasse, dit-on, de perdre un » écu, comme moi de perdre un sou. » C'est comme si l'on disait : « Un écu est à sa fortune ce qu'un sou est à » la mienne. »

78. Aux valeui's absolues des sommes attachées à des événements incertains, Daniel Bernoulli substitue les valeurs morales, ou l'importance des capitaux résultant des modifications que ces événements apportent à la fortune du joueur. Si, par exemple, des événements dont les probabilités sont c, y, i,', doivent produire des sommes «,

120 TRAITÉ ÉLli.MEMTAlKE

|3, y, et que (t désigne le bien antérieur, au lien de l'espérance mathématique

ca-^-f'^-^g-l (6C), on prendra

\ ei a a

pour la valeur morale de la fortune du joueur qui attend ces événements. C'est là ce que BernouUi nomme la tncsure du sort [mensura sortis)^ et ce que Laplace appelle JoJtune uiorale (*), par opposition à Xhl fortune physique^ c'est-à-dire à la valeur absolue du capital ayant une importance équivalente. En désignant ce capital par X. on aura

Y = À1 — , d'où X = (a-+-a)'(rt + p)/(«-i-7)^,

à cause que e -f- y -h i,' = I (12).

Si Ton cherchait l'équivalent du gain, ou ce que Laplace appelle espérance morale^ il faudrait faire X = a H- x, ee qui donnerait

En développant les puissances et les multiplications indiquées dans le second membre, et se bornant aux termes où les sommes éventuelles a, 16, y ne s élèvent qu'à la première puissance, on trouvera

X = a^+J+s -h a'-^f+s~' [ ex -4-/îi -f- i^v ) — « ,

ce qui se réduit à

x=cac-h/p-^ gy,

puisque e -+-f-\- g= ^^ e -{-/■+■ g — 1 = 0.

Ce résidtat, le même que Vespérance niathi'rnaliquej montre que Y espérance morale a sensiblement la même valeur, lorsque les sommes éventuelles sont très-pelites

( *■ ) Thcoric anah ti(iuc ties Pi obtibiliU-s, p. 43 >•

MES ruOlîAlIILI 1 r.s. 121

par rapport au h'w.w aiiuhiour; c()iisé(|ucncc qu'il ne faut pas ])<.'r(lrc de vue, et (pii suit cgah^nient de toutes les liypollièscs qu'on pourrait faire sur l'iniportauce des sommes éventuelles.

Voici les principales ap[)lications f[uc Daniel Bernoulii fait de sa formule.

79. Premièrenu.Mit, il cherche le sort dun joueur possédant loo pièces, et ayant la probabilité \ d'en gagner ou d'eu perdre 5o. Dans ce cas,

f=-i y=r-, g^ = o, aT=yoo, y. = 5o, fi = — 5o ;

il vient

X = (loo -h 5o)' (5o)'' =: y/5o. i5o = 87 :

ce joueur aurait donc i3 de perte sur son état primitif; elle se réduirait à 6", si Ion faisait a = 200.

80. Dans la seconde question, Bernoulii suppose c[Uori demande à un négociant une somme de 800 pièces pour lui garanti]- (oa assurer) le prix de marchandises dont la valeur s'élève à ïoooo pièces, et (pii, devant élrc transportées par mer^ seront exposées à un risque de perle dont la prohabilité est yj ; convient-il à ce négociant d accepter le marché qu'on lui propose P Pour en juger, comparons les valeurs physiques de la fortune de ce négociant, lorsqu'il court les risques du transport, et lorsqu'il accepte la garantie (ou Vassurcuice) qui lui est offerte. Désignons toujours par a le bien qu'il possède, outre les marchandises énoucées dans la question, et faisons

l'expression générale de X donnera, pour le premier cas,

122 TRAITÉ ÉLÉME^T.Vll;E

Cl a -t- 9200 pour lo second, dans lequel il v a une peile certaine de 800 pièces. Donc, selon que

(fl -f- 10000)'" a^" <Cou^ « -f- 9200,

la garantie proposée donnera un avantage ou un désavantage moral au négociant.

De là résulte une détermination de a ou du bien qu'il doit posséder pour pouvoir rejeter cette assurance, et ce sera la valeur de a qui satisfera à l'équation

-Ll I

(a + 10000)"'" rt" " = a -+- 9200,

puisqu'elle est la limite qui sépare l'avantage du désavantage. Cette équation, traitée par rapport à la lettre r/, suivant les procédés indiqués pour résoudre par approximation les équations numériques, donnera a = 5o43. Tant que le négociant possède moins que cetle somme, la formule de Bernoulli lui prescrit de faire assurer ses marchandises.

11 n'en est pas de cetle formule comme de celle de l'espérance raathémaiique 5 les conditions n'y sont pas les mêmes pour chacun des joueurs ; aussi, pour compléter la solution du problème qui nous occupe, Bernoulli cherche-t-il le bien que doit posséder celui qui offre la garantie (ou V assureur). En désignant ce bien par b, on trouvera que la valeur physique de la fortune de l'assureur est, par suite de sa spéculation,

(^-^ 800)^(^ — 9200)^; el l'égalant à ^, on aura l'équation

{b — Soo)'"'b —9200) = " = b,

qui doit déterminer la valeur de /^ au-dessous di' laquelle l'assureur aurait tort de se livrer à la spéculation qu'il a entreprise : celle somme est ij ^43 pièces.

11 fiudiait (piil en pos6C(.làl au moins 29878. pour

DF.S IMiOllAlUhlTF.S, 1 C.3

pouvoir ne dciuancli.'r au iR'gociiiiil que 600 pièces au Heu de 800, les riscpies demeurant les mêmes 5 cl eelui-el aurait tort de rejeter l'offre, tant que son bien ne s'élèverait pas à 20478 pièces. Ces nombres se déterminent comme les précédents, en subsliluaiil seulement Goo à 800.

81. En se bornant à chercher la valeur de l'espérance mathémati(pie, on lrou\e qu'il est indifférent de risquer une somme dans un seul hasard, ou de la partai^^er entre plusieurs hasards ayant la même probabilité que celui-ci.; par exeuiple, de la placer sur un seul vaisseau, ou de la répartir entre plusieurs, lorsque le risque de perte est le même pour tous ces vaisseaux. En effet, a désignant cette somme, /' le nombre des vaisseaux, dont, sur m -f- «, il s'en perd //, toutes les chances de leur arrivée seront comprisi;s dans la formule

[m -\- ny^ m'' -\ 111''''^ n H ^ m''~^ iv

la juise a étant partagée entre les r vaisseaux, l'arrivée de

tous ces vaisseaux vaudra une somme — ; celle de /• — i,

une sonmie (r — i) ~ ' ^^ ainsi de suite. Multipliant donc

par ces sommes les termes qui leur correspondent, on

verra sans peine que le produit revient à ma m''~'

mai m

et divisant par [m-{-ny, il en résultera pour

l'espérance mathématique, de même que si l'on n'avait considéré qu'un seul vaisseau.

124 TRAITÉ ÉLÉME.NTAIRE

Oiiand on s'en ûcul à ce premier aperçu, sans taire entrer en considération la plus ou moins grande possibilité de répéter les épreuves, la formule de BcrnouUi ])araît plus d'accord avec l'opinion commune, qui porte à diviser les sommes aventurées. Pour le montrer, il détermine successivement le sort d'un marchand qui, possédant 4000 pièces, et attendant par mer pour 8000 pièces de marchandises, fait charger ces marchandises, soit sur un, soit sur deux vaisseaux, dont la probabilité d arriver est ~. Dans le premier cas, la valeur pliysique de la forlune de ce négociant est

(12000)' " (4ooo)' " = lo^Si.

Le second, offrant trois événements composés dont les probabilités sont (7^)^, a-^.-pj-, [j^)- (20), ce qui donne a = 8000, |5 = 4000, y = o, conduit à

(12000)""' (8000)'"" (4000)"'" = iio33.

En retranchant de ces sommes les 4ooo pièces, bien antérieur que possède le négociant, on aura ôjSi et joSS pour les valeurs morales des sommes éventuelles qu'il attend. Par la formule de l'espérance mathématique, on trouvera 8000X77^=7200, somme plus forte, mais dont les résultats, tirés de la formule de Bernoulli, s'approcheront d'autant plus ({ue les marchandises seront réparties sur un plus grand nombre de vaisseaux.

82. Ce géomètre termine le Mémoire dont je donne l'extrait par la solution du problème qui lit nailrc les premiers doutes sur lévalualion de l'espérance mathématique, adoptée sans discussion par les inventeurs du calcul des probabilités. Il fut proposé à jMoutmort par Kicolas Bernoulli (*), cl reçut le nom de problème de Pctcrsbourg , à cause sans doute de la mention qu'en a

(") Analyse des jeux de hiistirJ, p. '|(v.!, .'i^' prolilénu'.

DES l'ROBABlLITr':S, I ?,[)

l'aile Daniel lîcmoulli dans les Mémoires académiques de celle ville. Voici l'énoncé qu'on y trouve : Pierre, se proposant, de jeter en Vair une pièce de monnaie, promet de donner à Paul i ducat si, dès le premier coup, cette pièce étant tombée montre la face; i , si cela n\irrive qu au deuxième coup ; 4, si ce nest qu'au troisième, et ainsi de suite, en doublant à chaque coup. On demande la sort de Paul. Celle soiie de jeu se nomme en français croix ou pile, pile désignanl la face qui doit paraître : il revient au jet d'un tlé qui n'aurait que deux faces .

En appliquant le calcul aux conditions indiquées cidessus, on trouve pour Paul les probabilités

de gagner

I, 2, 4 >• • • > '?'""' ducats,

selon que pile n'arrivera qu'au

i*""", '.>,", ^''j . . . , n" coiq) :

son espérance malhématique de gain vaudra donc III, I n

Or, puisqu'il n'est pas impossible que pile n'arrive qu'après un nombre de coups plus grand que tel nombre qu'il plaira d'assigner, ne s' ensuit-il pas qu'avant de commencer le jeu il faut supposer ce nombre infini? La mise de Paul doit donc être infinie 5 mais quel homme sensé voudra risquer à ce jeu, non pas une somme infinie, ce qui est absurde, mais même une somme tant soit peu forte? \oilà le paradoxe que les géomètres ont clierché à expliquer ou à éviter.

Quelques-uns ont pensé qu'où lèverait toute difticulté, soit en fixant pour le maximum de gain un somme telle-

12(3 TRAITi: ÉLÉMEISTAir.E

mont grande, qu'on dût regarder comme absolument inutile tout ce qu'on pourrait y ajouter, puisqu'on n'en saurait faire aucun emploi , ou bien en fixant une probabilité assez petite pour qu'on pût la considérer comme nulle, et regarder comme inq:)ossiblc révénemenl auquel elle répond. Par la première considération, on place le terme du jeu au coup dont le gain rapporterait la somme prise pour limite de celles qu'il est utile de posséder. Cramer proposait pour cette limite le nombre marqué par

en prenant l'écu pour l'unité. Si Ton y substituait le ducat, employé dans l'énoncé du problème, le jeu finirait au 25" coup, et la mise de Paul se réduirait à 12^. Mais si l'on regarde comme superflue toute augmentation faite à la somme 2^'*, pourquoi ne se bornerait-on pas aussi bien à la somme 2^^ — i , qui en diffère si peu ; et, continuant ainsi de proche en proche, où s'arrèterait-on.'

Si Ton voulait terminer le jeu lorsqu'il y a une probabilité tiès-voisine de l'unité que pile a dû arriver, et une probabilité contraire aussi petite que celle qu'on est convenu de regarder comme nulle, en prenant 77-^77 pour celle-ci, le jeu devrait finir au iS*" coup, puisque la probabilité de n'amener pile qu'au 14*^ est- , ^ls\ . Dans cette détermination, la mise de Paul ne serait que de 6^ ducats ; mais si l'on regarde comme nulle la probabilité 77^77, et la fraction -^j~ comme la cerliliule morale, ainsi que le voulait lîuffou, que fera-t-on pour les probabilités ~^^ et 77777, qui diffèrent trèsqicu de la précédente? 11 est donc impossible d'assignei- des limites aussi fixes à des évaluations qui conservent toujours quelque chose de vague. Je reprendrai ces considérations dans la suite; mais ce que je viens de dire suffit pour conclure, avec Daniel Bernoulli et Condorcot, qtu^ les explications précédentes sont ]^('U fondées.

DIvS l'KOliADILlTÉS. \0.n

8t{. La foriuiilc de lîornoulli cnlre mieux dans la diflicullé, parce qu'elle ne met aucuu terme à la durée flu jeu. Kii désignant par a le bien de Paul, et par x ce qu'il doit iiiclire au jeu, son avoir sera, si pile arrive au

i'"" coup, (i — x-)-i; au î'', a — .j-f-2; au 3", n — x-{-\...,

correspondant à des probabilités

ce qui donne pour la valeur physique de la fortune,d'après les eoudiliousdu jeu,

X = (rt — .r -j- i)-^ (fl — j; + 2)^ (« — j:-+- 4)\ . . ,

(ju'il faudra égaler au bien anléricur «7, pour exprimer que le sort de ce joueur n'est pas changé : on aiua donc l'équation

(i = (a — .r + i)- (rt — or -f- 2)' (rt — x -\- ^)\ . . ,

dont le second membre doit renfermer un nombre inllni de facteurs.

On ne tirerait pas aisément d'une semblable équation les valeurs de x; mais en faisante — ■j!: = rt', elle devient

« = («'+ i)^ («'-f- -îY («' + 4)^ (n'+ 8)"^. . . ,

et conduit à la valeur de a par celle de «', d'où Ton déduit ensuite celle de x. On peut la mettre sous la forme

«=rI^2^4^8'^..

où l'on voit que les facteurs du second nombre décroissent toujours, et ont pour limite l'uni lé, puisque dans leurs

1^8 TRAITr': ÉLÉME^TAIRE

expressions générales

" — ' ■X ' et H

lexposanL tend à s'auéanlir.

Si l'on prend les logarithmes de chaque nienil>ic, il viendra

La série qui niulliplle 1 2 se décompose en

la première partie du second membre a donc pour limite I2. Quant à la seconde partie, elle devient assez convergente lorsque a' n'est pas considérable, et finit par décroître plus ra})idement que la progression par quotient Y, 7, etc., parce que le logarithme de i-\-z approche de plus en plus d'être proportionnel h z, lorsque celle quantité est une fraction qui décroit sans cesse; et comme alors 1 (i 4- 2) <^ 0,434^5 il est facile de s'assurer que la valeur de a reste finie tant que a' est iini , ce qui détruit le paradoxe.

Quand on fait a' = 0, on obtient a= 2 ; cela veut dire que si Paul ne possédait que 2 ducats, et qu'il les mît à ce jeu, la valeur morale de son avoir ne changerait pas.

Si 1 on pose a — x= 100, et (pi on emploie 10 termes, on trouvera (jue a = io4,38, à moins de -—-ô V^'*^^ '■> ^^^^^ .r = 4,38 (*).

(*) Après des calculs un peu ililTorenls des précédents, on lit dans la Théorie anal) tique d.is Prohubililrs (p. /|'|i), rt= 107,89; mais la dilïercncc ne vient que de la diveisilé dos données : Laplace suppose que si la face est amenée au premier coup, Pic rre domu^ ■>, nu lieu de 1 que porte l'c-nonec' lie la pa;;e 1 '.').

DKS piioiuniin f:.s. 129

8i. De cv qiu; la lorimilc de Daniel ncnioiilli paraît satisfaire assez bien aux diverses éjneuves où nous l'avons mise, s'ensuil-il cjn'il faille la suhsliliuîr à eelle de l'espi'ranee matliémali(|ue? Condoreel ne le pensait pas, et, avant lui, Nieolas Bernoulli (neveu de Jean) était du nu^'uie avis. Voici Texjjosé de leurs motifs : jNi(olas Bernoulli ne voyait dans les résultats de la première de ces formules que des conseils propres à éclairer les personnes qui voudraieut se livrer à des spéculations sur h; hasard, et non pas des règles pour établir un partage équitable entre les joueurs. Daniel Bernoulli , qui nous fait connaître cette opinion de Nicolas, déclare lui-même, au commencement de son Mémoire, qu'un tribunal devrait suivre d'autres principes (juc ceux qui servent de fondement à sa formule. P/acer deux joueurs dans une siluation telle, qu aucun d'eux n'ait V avantage s urV autre, ce que fait la règle des paris, est aussi ce que prescrit la justice rigoureuse (*). La formule de Bernoulli, qui met nu contraire une dilférence entre les deux joueurs, en favorisant celui qui a le moins de fortune, est destructive de toute convention de jeu. L'une des pariies, en consultant

(*) Qnod cùin nulla sit ralio, cur expectanti plus Iribui debeat «ni quàin alteri, unicuique a?qiia3 sint adjiidicandte partes; raiioncs autem nullas considerari, quœ personarum stalum respiciant, solasque illas perpendi, quœ ad conditiones sortis prrtineant. Taleni senlentiain fi-ranl judiccs supicmi publicd auctorilate conslituti, at l'ero hoc loco non judicia sed consilia danda sunt ; regulœ nempl-, quibus quisque suam sibimet œslimarc deher.l sorlrm pro diversà reiuin suaiuin conslitulione. Voilà sous quel point do vue Daniel HernouUi présente ses principes fp. 175-17G du IMénioire cité p. 117).

Voyons à présent ce qu'il rapporte de la lettre de Nicolas Rernonlli : Is verb teslalus est nequaquam sibi displiccre nieam de wensurd sorlium scn~ tenliam, si modo quivis sua: soi lis œsiimator sit; aliter verb se rem habere, si terlius instar judicis secundùm œquitatem et justitiam unicuique coUusorum sorlein assignare debeat. Et il ajoute : Id ipse pariler in § 2 erposui (p. 189-190 du Mémoire cité).

4'' cdiliori. q

l3o THAITÉ ÉLÉMEMTAIRE

ses intérêts et sa situation particulière, peut bien sentir que la perle lui portant un plus grand dommage, il lui serait avantageux de diminuer sa mise et d augmenter son gain : mais l'autre partie peut-elle consentir à un pareil arrangement? Le mal ne serait pas grand, sans doute, s'il résultait de cette difficulté de s'entendre un affaiblissement dans le goût du jeu ; mais, pour prononcer sur le mérite de la formule de Bernoulli, il faut examiner si la théorie ordinaire des probabilités ne motive pas aussi bien les conseils donnés par le seul emploi de la raison.

Cette théorie établissant la nécessité de répéter Tépreuve du hasard un nombre de fois de plus en plus considérable, pour atteindre à des probabilités un peu fortes de ne pas perdre au delà d'une certaine portion, non de la première mise, mais de la somme de toutes ((j8, 71), somme qui va toujours croissant, n'en résulte-t-il pas naturellement le conseil de ne pas aventurer des sommes considérables dans lui jeu même égal, lorsqu'on ne peut pas en répéter souvent l'épreuve, et par conséquent de n'exposer chaque fois qu'une très-petite partie de ce que l'on possède? La formule de bernoulli, dira-l-on, fait plus : elle donne une mesure précise de l'inlluence que ce conseil doit exercer sur le joueur. A cela on peut répondre, d'après ce (jui a dc^à été dit dans le n" 7o, ({u'il ne faut pas attacher à des valeurs numériques déduites d hvpothèses qu'on peut varier de bien des manières plus d'importance qu'elles n'en ont réellement ^ et Daniel Bernoulli m'en foui'nira lui-même la preuve. 11 observe (ju'uu homme dénué de fortune, n'ayant que la probabilité ^ de gagner une somme de 20000 francs, par exemple, aurait tort de ne pas céder celte espérance pour qooo francs, quoique la valeur en soit 10 000 francs, suivant la règle ordinaire. Voyons ce que donne celle de Bernoulli. Soit toujours a le bien antérieur; I.1 fortune phvsique du pos-

nr.s l'UdiiAr.ii.iTKS. i ,t i

scsscur (l(î rcspéraiHc (loin il s'.igll sor.'iil

I I (« -h 9.0 noo)'rt'.

Souvenons-nous c[uc a ne peut jamais être nul (76), ei faisons a= 5ou francs, ce qui est l)ien au-tlessons du capital le plus faible auquel puisse répondre le prix annuel de l'industrie d'un homme-, nous irouveions

y/5oo.2o5oo = 3202 environ,

d'où retranchant 5oo, il restera 2702 francs, somme trèsinférieure à 10000 francs 5 mais pouvons-nous dire que c'est bien là le minimum de ce qu'on peut accepter en échange de l'espérance proposée? Ne peut-on pas se trouver dans une situation ([ui impose l'obligation de se contenter à moins? JN 'est-ce pas avec raison que Bernoulli lui-même dit que 2400 pièces, pour un homme qui en possède déjà aulanl,mais qui en a besoin de 4800 pour racheter sa liberté, ont beaucoup plus de prix que pour celui qui ne possède rien, mais qui est libre? De semblables circonstances ne peuvent être soumises au calcul, et c'est abuser des formules que de les employer à une telle évaluation. N'oublions pas que c'est seulement comme valeur moyenne, comme ayant la plus grande probabilité relativement à toutes les autres, que Vespérance nialhcniatiqiie est prise pour mesure du sort.

85. Considérée ainsi, la formule de l'espérance mathématique ne peut être employée qu'autant qu'il peut exister une valeur moyenne propre à ix^mplacer la valeui léelle, qui est inconnue; or cela n'a pas lieu pour le jiroblème de Pétersbourg (82). Un jeu dont la décision embrasse un nombre infini de coups successifs, et qui, paiconséquent, ne saurait être considéré comme devant se répéter, ne comporte point, par cette raison, de valeur moyenne des événements divers qu'il peut amener. Il nv faut pas même en reculer la limite à l'infini pour sentir

l32 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

l'absurdité qu'il y aurait à faire usage d'une valeur moyenne. On a déjà vu que Paul ne doit mettre au jeu que 6 Y ducats, si 1 on borne le jeu à 1 3 coups ; mais alors si pile n'arrive pas, Pierre devrait donner '2^-=4^g6 ducats, somme dont la perte ne serait réparée que par le gain d'un nombre de parties trop grand pour (ju on puisse en concevoir une espérance raisonnable. Si Ion allait jusqu'à 27 coups, l'unité étant i centime seulement, la mise de Paul ne serait que de i^j centimes, et Pierre pourrait perdre i 34^ i77*'^,285 la probabilité de celte

perte étant — serait extrêmement petite, mais non pas

encore nulle.

La formule de l'espérance mathématique, entendue comme elle doit l'être (G6), paraît donc d accord avec les notions les plus saines sur le jeu, admet les conséquences de ces notions et fortifie les leçons de la prudence, en conduisant toujours à la nécessité de ne risquer que de petites sommes à la fois, ce qui ne permet de faire du jeu qu'un amusement sans conséquence. Si 1 ou s'écarte de cette sage réserve, la règle ne peut plus que mettre une parité exacte de danger entre des hommes avides, dont chacun spécule sur la ruine de l'autre : c'est une sorte de duel dans lequel il faut égaliser les armes-, car, suivant Tobservaiion très-jusie de Condorcet, le but de Tappréciatiou des événements livrés au hasard est atteint quand les joueurs sont placés dans le même état j mais on ne saurait faire que celui d'un homme qui joue soit le même que s il ne jouait pas.

Si donc la prudence permet de se livrer à des spéculations sur les hasards, ce ne peut être qu'à celles qui, par leur nature, doivent rapporter au delà de ce que les probabilités assignent pour l'espérance mathématique. Alors, suivant l'observation du n" 09, plus l'entreprise est répétée, plus la probabilité du succès augmente. De pareilles

DI'.S 1M\0B\B1MTI^S. I 33i

spi'culalioiis, dans les jeux proprement dits, blessent les lois de la probité, et si des considérations particulières engagent les gouvernements à les tolérer, l'opinion publique, plus sévère, doit les llétrir; mais il en est tout autrement des spéculations de commerce, des assurances et de toutes les entreprises où le bénéfice est acquis comme salaiie d'un travail utile et en échange de valeurs réelles.

l34 THAITÉ ÉL1':ME>TAIRE