SECTION SECONDE
DÉTERMINATIO DE L.V PROBABILITÉ \ POSTERIORI, C'eST-A-DIRE LORSQUE LE NOMBRE TOTAL DES CHANCES EST ILLIMITÉ, ET QUE SES RAPPORTS AVEC LE NOMBRE DES CHANCES DE CHAQUE ESPÈCE SONT ASSIGNABLES.
86. Quand on ne connaît point la forme du dé ou la condition de l'urne f{ui produit les événements observés, il faut, pour remonter à leur probabilité, considérer toutes les formes ou les conditions dont ils peuvent résulter, afin d'en déduire une sorte de probabilité moyenne qui approchera d'autant plus d'être la véritable que le nombre des observations sera plus grand (IS).
Si, par exemple, on a tiré successivement d'une urne 3 boules blanches et i noire, en ayant soin de remettre chaque fois la boule sortie, qu'on sache que le nombre total des boules est 4? l^nt blanches que noires, mais qu'on ignore combien il v eu a de chaque sorte, on pourra faire, sur la condition de cette urne, les trois hypothèses ci-dessous :
3 boules blanches, i iioirc, d'où <• = -. /= —:
2 boules blanclies, i noires, d'où r = ^- /"=r— :
I boule l)lanclic, 3 noires, d'où f'z=— , /"=;-:
e désignant la probabililé de l'arrivée d'une boule blanche, y celle de 1 arrivée dune boule noire. La probabililé de révénement composé de la sortie de 3 boules blanches et de 1 boule noire, étant exprimée par 4<'V (--); ^^'
OKS rnoiiABiLiits. l35
N iciidia succcssivciiu'iii
27 ifi 3 ()4 o-i '>f
La dernière liypolhèse, qui domie la plus pclile pi'obabilité pour CCI évcncmenl composé, est aussi en elle-même beaucoup moins probable que les deux autres liypolbèscs; car si l'urne ne contenait qu'une seule boule blanche, il faudrait que cette même boule fût sortie trois fois de suite : ou conçoit qu'il y aurait moins de difOculté s il v avait a boules blanches, et encore moins s'il y en avait 3. La facilité avec laquelle chaque liTpolhèse amènerait les événements observés donne nalurellement la probabilité de cette hypothèse; car, plus elle offre de combinaisons favorables à la production de ces événements, plus on a occasion d'en répéter le jugem<înt de possibilité (o et 6). C'est ainsi qu'on a posé pour principe que les probabilités des causes [ou des hypothèses) sont proportionnelles aux probabilités que ces causes donnent pour les événements observées {*).
Dans l'exemple actuel, les probabilités des trois hypothèses établies sont proportionnelles aux nombres 27, 16, 3; leur somme doit être d'ailleurs égale à l'unité, puisque l'une de ces hypothèses a nécessairement lieu (8) : il suit donc de là que chacune des probabilités dont il s'agit est égale au nombre qui lui correspond, divisé par la somme des trois nombres, ce c[ui donne les fractions
( * ) Cet énoncé se trouve dans le tome VI des Savants étrangert{p. GiVj. lîayes, dans les Transactions philosophiques de 1763 (p. 370), et Frice, dans celles de 1764 (p. 296% s'étaient déjà occupés de ce sujet; mais Laplace l'a réduit le premier à la forme analytique sous laquelle on le traite maintenant, qui en facilite et en généralise beaucoup les applicalioHb.
1 3 6 T r. A 1 1 r. t L É M I-. is r A I n i.
On pciil (lircr aussi (|U(', sui- les cfunbinalsoiis foiiruics par l'ensemble des hypoihèses, les 27 -f- i6 -f- 3 =: 4^ ^ui s'accordent avec les événements arrivés sont les seules possibles, et que la probabilité de chaque hypothèse se détermine comme celle d'un événement, en divisant le nombre de cas où elle peut avoir lieu par celui de tous les cas possibles, ce (|ui donne les mêmes fractions (jue ci- dessus.
Enfin, il faut remarquer encore que ces fractions, ou les prohahilitès des rlwei.u-s Itypollièses, se forment en divisant la probabilité de V événement composé, calculée dans chaque hypothèse, par la somme de ses probabilités dans toutes les hjpothèses (*).
Il est facile de voir que cette règle est générale; car si l'on désigne par h, h\ h", h"' les probabilités des diverses hypothèses d'amener l'événement composé qui a eu lieu, et parrt, a\ a" ^ a" les probabilités (jue chaque hypothèse donne pour ces événements, on aura
d'où il résulte
T représentant a -f- «' H- ce' H- a"^
87, Quand on a déterminé la probabiliié de clxaquc hypothèse possible, on en déduit facilement la probabilité
(*) En traitant l'exemple ci-dessus, Condorcel, île qui je l'ai cn\pnxnté {Elénifiils du Calcul des Probabilités, p. Gô), fait cinq hypothèses, c'est-à-dire toutes celles qui peuvent se présenter quand on n'a pas égard aux événements observés. En elVet, on peut alors supposer i|ue les/) bouler sont blanches, ou qu'elles sont noires ; mais comme ni l'une ni l'autre de ces dernières hypothèses ne saurait amener les événements observés, elles donnent zéro pour leur probal)ilité, ce qui ne change rien au rettiillat olitonu l'i-dessus.
1)1. s l'IUill MIIJJIKS. 1^7
fies cvcnemeiils (|ui peuvent nrriver niix lira^<'S suivants; dans noire exemple, celh; d'amener au 5'' lira£;e une l)Oulc hianclie ou une boule noire. II n'esl pas difficile de voir (pie ce problème revient à cekii du n" 18, et se résout par les probabilités composées. Les trois hypolbèses établies peuvent être considérées comme trois urnes dilïérentes, de l'une desquelles doit nécessairement sortir l'événenient attendu. La probabilité de cet événement se composera doni' de celle qu'il a dans chaque hypotlièse, multipliée par celle de l'hypothèse : ainsi l'on, aura pour la sortie d'une boule blanche, au 5'' tirage,
et pour celle de la sortie d'une bonle noire,
On trouverait de même, pour tout autre exemple, que hi prohahilité (1^111 nouvel éi^énemeiit simple s'obtient en calculant, d'après les événements passés, la prohahilité des dii'erses hypothèses possibles, et faisant la somme des produits de ces probabilités par celles de r événement, prises dans chaque hypothèse.
88. Pour construire des formules générales sur les principes énoncés précédemment, il faut d'abord observer que, dans les événements naturels, le nombre total des chances doit être regardé comme infini, et toutes les probabilités simples, c'est-à-dire tous les rapports compris entre o et i, comme possibles tant qu'on est dans l'ignorance absolue du véritalde ou de limites plus étroites entre lesquelles il se trouve renfermé. C'est donc dans un nombre d'hypothèses considéré comme infini qu'il faut déterminer les probabilités de révéncmenl composé qui a eu lieu, et voici de (jucllc manière on y parvient.
l38 IRAIIT. i:LÉMEM AlUE
Soient A (Jl H deux événcincnls contradictoires, doiii l'un est arrivé m fois et l'autre n fois. Supposons lunilé divisée en parties Irès-pclites représentées par a, et concevons que la probabilité simple de l'événement A puisse être l'un quelconque des termes de la série
a, 2 a, 3a, /[ v., etc. ;
enfin, pour abréger, désignons par C le coefficient du terme atiecté de e"'f" dans le développement de (e-|-/)"'+". Cela posé, les diverses probabilités de révénement composé de m fois A et de // fois B formeront la suite
Ca'"(l — a)", C(2a)'"(l — 2a}", C(3a^i'"fl — 3a)",..., C(l— a)''a",
dont un terme quelconque peut être représenté par
Cj"'"(i — x)" \ la somme
C[a"'(l — a)«+(2a)'"(l — 2a)"-H(3a)"'(l — 3ay'-f-... + (i — a)"'a"] = C/
sera le dénominateur de la probabilité particulière de chaque bvpollièse (86). La somme J" augmente à mesure que a diminue, et tend à devenir infinie j mais si on la divise par le nombre des termes dont elle se compose, et
qui est -•) le quotient af reste fini, et devient susceptible d'une limite assignable, ainsi qu'on peut s en assurer par la considération des courbes et le calcul intégral [voyez Note III); de plus, le sujet étant trèsimportant, je vais exposer, pour les lecteurs qui ne connaissent point ce calcul, le procédé par lequel Condorcet y a suppléé dans cette occasion (*).
Lelermegénéral étant alors représenté par xx"'[i — x)", on suppose que la somme de tous ceux qui le précèdent,
(*) Élémenls du Calcul des Probabilités, p. 70. Ce procédé n'est, dans le lait, quiinc vérification du résultat donné par le calcul intégral; mais il est utile de ramènera l'Algèbre ordinaire la démonstration d'une formule sur lanuellc repose toute celte jiartie du calcul des probabilités.
i>i:s iMiOBUui.iri^.s. l'^c)
cl dont le nombre; est - — i, soil exprimée par
A.r'"+' ( 1 — x)" -h B.r'"+=( i — x}"-' -+- Cx'"-*-^ ( i — a-)"-= + . . . ,
A, lî, C, etc., clésii;iianl des coeiricicnts indélermiiiés, liypolhèsc que le calcul jusliiie. Si Von fait croître x de la (juanlilé a, celle somme deviendra
et si roii en retranche la valeur précédente, il restera 1 accroissement qu'elle a reçu, et qui est précisément le terme ocx'" [i — .r)" : on aura donc cette équation
A[(x + a)"'+'(i— ,r — a)" — jc"'+'(i — x)" ] B[(.r4-a)'"+'(l— a: — a)""' — .r"'+=(i — ,r)«-'] C[{x + a.)"'+^{l—x — y.)"-' — .r"'+3( , .^y.-2j^. . ::= cr..r"' ( i — .r)".
Pour développer commodément cette équation^ on fera i — .r = s, et l'on observera que la seconde ligne peut se tirer de la première en changeant A en B , mH- I en m H- ?., n en n — i, et ainsi des autres. En ne s'occupant donc que de celle-ci, on obtiendra les expressions
A (JT H- a)"'+' ( z — a;" z= A [.r'"+' + [m -\- i) ax'" + . . . ] [z" — n y.z"-- + . . . = A x"'+'z" -\-{m -\- i) A y.x"'z" — «Aajc'"+'z''-' -f- A'a' -h A^a' + .. . ,
où les termes contenant les puissances de a supérieures à la première sont seulement indiqués. Retranchant du dernier résultat le terme Ax"'+^ (i — .r)" = Ax'""''*^", il restera, pour la première ligne de l'équation (I),
(m -f- i) Aa.r"'z" — « Aa"'+'.3"-' + A'a= -h . . . . On voit par là ([ue lous les termes de celte é(jiiation sont
l4'> ÏUAITÉ l'XF.MEMAIKE
divisibles par a, cii sorte qu'elle se réduit à
H- B[(w +'2)x"'+'z"-' — (rt— i)x"+'z'— '] -h B'y. -+-. . . 4- C[( w + 3)x'"+'z"-' — {n — 2)x™+V-»J -+- C'y. -f- . . .
Cette même équation subsistant toujours, quelque petite que soit la valeur de a, s'étend, lorsqu'on y fait a = o. au
cas où le nombre -des termes de la suite devient infij)i ; a
et comme elle doit avoir lieu quel que soit x, il faudra
l'ordonner par rapport aux quantités x et z, ce qui lui
fera prendre la forme
[(w+i) A — i]x"'z" — [riA — {m -j- 2)B] .r"+' z'—' — [(«— i)B — (w-j-3)C]a.-"+'z''-' — . . . = 0.
Alors, en égalant séparément à zéro les coefficients de chaque terme, on aura
(w 4- I ) A — I =: o, d'où A = 1
/Il -+- I
fiA — (ni + i)'B = Oy B =:
La suite
a[a"' ( I — a)" -|- (•>. a)'" (i — •>. a)" . . . ^ (x — x)'\i — .r -\- a)"] a donc pour limite
x">+' ( I —.r)" n.i:"'+- 1 1 — jrV'-' // (,i — i l.r'"^-- ( i — x)"- -
(/// H- I ){rn -h 2^ (/// -h 3) . . .(///-+-// 4- r,
car la valeur de celle expression nail avec la série, puis-
nKS PROD.\UILITI^:S. i4i
t|irolle s'anéantit lorstjuc x = o, ainsi (|iic le icrnic! i^a'-iic-ral cix'" {i — x)" [*).
11 faut remarquer que celle série s'arrête à x — a ; pour la pousser jusqu'.à .r, il faudrait y ajouter le tt-rme général a.i'" (i — x)'\ qui d(!vienl d'autant plus petit que a diminue, puis([ue d'ailleurs x ne saurait jamais passer i : on peut donc, à la limite qui répond h a = o, comprendre ce terme dans la série, et substituer pour x sa dernière valeur. C'est ainsi que pour avoir la série complète, il faut faire .r = i, ce ([ui donnera
// (« — \) (n — 2) ... I (/« -\- i){in-\- 2) [m + 3) . . . {rfi -H « + l ) '
telle est la limite des valeurs de af.
89, Devant faire nn fréquent usage de l'expression de la limite considérée ci-dessus, je représenterai cette limite par S^"'" , lorsque j'y regarderai x comme indéterminé; mais dans les autres cas, j'indiquerai la valeur qui répond au dernier terme. Ainsi l'cNpression S,"'' désignera la limite de la série prise depuis le terme où x = o jusqu'au dernier terme où .r = i ; sa valeur est la formule qui termine l'article précédent, s','"'"^ désignerait la limite
de la même série, arrêtée au terme où x = \. Il suit de Là que
donne la limite de la somme de tous les termes de la série af^ à partir de celui où x = \ jusqu'à celui où X = 1.
Les valeurs de ces expressions se simplifient beaucoup lorsque ?i = o:\e développement général de la page précé-
(*) Ceux qui savent les règles du calcul intégral verront bien que l'observation ci-dessus a pour but de montrer qu'il ne faut pns ajouter de constante arbitraire à l'expression trouvée.
1/|2 TUAITÉ ÉLÉMENTMP.E
clcnle se réduit à son premier terme : cl ;i
'■ ni-h i
cause de (i — x)'^ = i, on a
s , = î et b , — ,
ni + 1
quand on a fait x =:^ i .
90. Ces préliminaires étant bien compris, il est facile de s'élever <à la probabilité des événements futurs. Suivant ce qui a été dit au u° 86, la probabilité d'une livpothèse ou d'un rapport (j[uelcon(jue x est
En la multipliant par x (87), on en déduira la probabilih-
d'obtenir un événement A de plus, -^ ; —■> dOù
'■'■J l'on tirera ce qui convient à cliaque bypotbèse en particulier, en y mettant successivement a, 2a, Sa, etc., à la place de x \ la limite de la somme de ces résultats sera par
g("' -»-<,") conséquent—!-; , et la valeur du numérateur se dé-
duira de celle de S,"'"\ par le changement de /// en ///-}- 1 . En substituant ces valeurs, il viendra
(m -\- •x)ljn H- 3; .
[m -\- \)(in -\-i\ . . .{m -
après la suppression des fadeurs communs au iIi\itl(Mulc et au diviseur.
Si Ton demandait la probabilité de l'arrivée d'un nouvel évén(>ment B, la probabilité particulière de cet événement, dans riiypotbèse coiicspondanle à .7", étant i — .r.
ni:s pnoii\»iLiTi':s. i43
«III aiii'.iil les ixpressioiis
Au liou divs iirobabilites et , on
'■ m -{- n -\- z ni -f- « -f- 2
aurait, suivant 1 usage commun, les expressions
1 formées en divisant le nombre de fois ciue chaque •
événement a paru par le nombre total des événements
observés, et rpii ne s'accordent avec les précédentes que
lorsque m = //, auquel cas les quatre fractions ci-dessus
deviennent Y 5 clans toute autre circonstance, la première
évaluation diffère de la seconde. Si, par exemple, m = 3
et /i = 2, l'une donne t et |, l'autre f et I5 mais ce qu'il
faut bien remarquer, c'est que l'évaluation rigoureuse
s'approche sans cesse de l'autre. Cela se voit en divisant
par /« -f- Il les deux termes des premières probabilités 5
elles prennent alors les formes
et
qui ne deviennent et (lU en supposant iniini
le nombre m -\- n.
La diiférence
étant positive lorsque m^ n^ montre que celui des deux événements qui est arrivé le plus souvent augmente sans
l44 IRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
cesse de prol)al)ililé lorscjue les nombres /« et // ronservent la même subordinalion dans leurs accroissements. Le contraire a lieu quand m <^ n. Ces changements sont remarquables parce qxi'iis sont produits par la seule répétition des faits 5 ainsi la tliéoi ie des probaLliilcs à posteriori s'accorde bien avec celle de Bernoulli sur les épreuves successives (34), puisqu il résulte de Tune comme de l'autre que le rapport du nombre des événements A ou B, au nombre total des événements observés, a pour limite leur probabilité simple.
9i. La probabilité que, sur un nombre p de rcnou- ■ vellements du mêjnc hasard, il arrivera un nombre p — q d'événements A, et un nouibre q d'événements 13, s obtient aussi sans difficulté, par les principes exposés précédemment. Dans rhypolhèse correspondante à j:, la probabilité de cet événement composé est exprimée par xP~'i [i — x)'i , si la successio)! des événements simples est déterminée, et par
'—i '- — '- :rP-l(\—x\1 — CxP-1[l —XT,
dans le cas contraire (20) . Cette probabilité élaul iiuilli-
pliée par — j -, probabilité de riiypothèse, on aura
pour celle qu'on cherche,
a.r'"+/'-î(i — .r)"+7 Ca J:'"-^''-? (l — x)"-^1 ; 1 on ; ;
prenant la liuiile de la somme, depuis .r = o jusijU à a: = I , et faisant abstraction du coellicient C <pn est inih'"jXMulanl di; x, il viendra
j^i'"' "' [ni-Jrp—fj-j- i ){ni+p — 7+?) . . . {ni-\-/i-\-p-\~ 1 ^
DKS vnOltMJII.lTÉS. I.^r»
expression que ) on peut siniplilier \^a^' la suppicssion des facteurs depuis // |ustpi';"i i, cpii mulliplienl et (|ui divisent eu même tcnii)S, ce ([ui domieia
(« + f/){n-hq — i)...{n-\-i)
Lorsque n^ p — q^ on peut encore €upprinier de même les facteurs depuis rn-i-p — 7 + 1 jusqu'à m -h// 4- i inclusivement, et la formule ci-dessus devient
{m-\r 1) (ffl + 2)- . •(/« -\-p— g) jn-^'l) («4-2j. . .{n-irq \ [m -\- n + 1) [m -\- n -\- Z) . . .{m -\- n -{- p -\- i)
Si 1 on prend pour exemple p = 3, </= i, l'expression précédente donnera la probabilité de l'événement composé AAB, égale à
{m-^i)[m-^i){n-hi)
cl si l'on divise par m -\- n chacun des facteurs du numérateur et du dénominateur de cette fraction, on reconnaî-
ira aisément qu elle tend sans cesse vers -, inol).!
^ [m -{- ny
bilité composée qui résulterait des probabilités simples
m ''/OINT ^ • T
, (-i)- L^ même circonstance a Jieu ])onr
m -\- n m -h fi
l'expression générale, et se prouve en développant cette expression avec le secours des formules qui servent à calculer par approximation les produits formés d'un grand nombre de facteurs : ou trouve alors que si les nombres /// et n sont très-grands par rapport aux nombres p et r/.
,1 1- . mP~in'i , ^. 1 TVT T \
elle a pour limite ; -• ( y oyez la INotel.
Ainsi, plus le nombre des événements observés augmente, moins les probabilités, soit simples, soit composées, déduites des formules précédentes, difl'èrent des
4*^ rdition . 1 <>
l46" TRAITÉ KI.lî'.MENTAIBE
probabilités (l«-lerminées à priori, ou plus les rapports donnés par la succession des événements représentent avec exactitude les probabilités simples. La possibilité de prendre les uns pour les autres s'est olFerte si naturellement à ceux qui les premiers ont médité sur ce sujet, qu'ils Tout regardée comme évidente par elle-même \ mais on ne pouvait s'en rendre compte sans le secours du calcul, qui montre qu'au lieu de 1 égalité conjecturée il y a une approximation continuelle et de plus en plus rapide.
92. Au moyen de la formule que nous venons de construire, on réunit dans une expression toutes les probabilités des événements composés auxquels peut donner lieu un nombre p de renouvellements du même basard : il sulllt pour cela de faire successivement q ■= o, q = \ ^ q =z 1^ qr=?)^ etc. En conservant les coefficients désignés par C, pour laisser indéterminé l'ordre de succession des événements simples, on formera la suite
qui tient ici la place c[ue le développement du liinùme («+/")'' occupe dans la détermination à pilori îles probabilités pour les épreuves réitérées (22). La somme des termes, depuis le premier jusqu'au terme général
p(p-l)...{p — rf^l) S\
inclusivement, dunncia la probabilité qu il n'arrivera i)as moins de p — q événements A, et pas plus de q événements B.
Quand /i = o et r/ = o. S;"*"*""' devient S;"' == — ~ (89).
Diîs i'r,()iiAnii.iTr:s. 14?
l'I. la foniiulc [)i'(''(t''(l(Mitc se rt'diiit au seul Icrnic
r'csl la probabilité qu'on auia /> fois de suite révéne-
nient A, loiS([u'il a été observé m fois sans iiitenuplion.
Si l'on partage le nombre/.» en parties proportionnelles
aux nombres m et n. savoir : et — - — i lu somme
(les termes de la suite précédente, à partir de relui qui est aflbcté de
»!/' np
jusqu'à celui qui l'csl de
exprimera la probabilité que, sur p renouvellemculs du même liasard, le nombre des événements A ne s'écartera pas, au delà de s, en plus ou en moins, du nombre proportionnel à ni.
93. Avant de passer aux applications, je dois encore montrer, comme je Tai annoncé en commençant cette section, que les probabilités déterminées h posteriori sont une sorte de probabilités moyennes : cela suit en effet de la manière de les obtenir, et jette un nouveau jour sur leur nature. L'expression Cx'" (i — x)" (22) étant la probabilité d'amener m événeineiits A cln événements f?, lorsque leurs probabilités simples sont x et i — x, la somme de ses valeurs calculées dans toutes les bvpolbèses possibles, divisée par leur nombre, en donnera la valeur moyenne [Traité élcnientaire d Arithmétique, règle d'alliage). Mais, faire la divisioiî d'une somme de quantités, c'est la même chose que de diviser séparément chacune de ces quantités, et dajoulcr ensuite les quo-
lO.
l48 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
lients: ot quand on divise l'unilé en parties égales à a, le nombre de ces païUcs est c\idemment -; or
l'expression CS^,'"'"^ (89) peut donc être regardée comme (elle d'une valeur moyenne prise entre les diverses probabilités qu'aurait, dans toutes les hypothèses possibles, révéuement composé qui a eu lieu.
Toutes les expressions subséquentes se déduisent également de ce point de vue. S'agit-il de la probabilité d'obtenir un nouvel événement A, la probabilité simple de celui-ci étant désignée par x, celle du nouvel événement composé sera
Cx"'{\—nY.x=Q.x'''+'[i — xY (S^),
expression dont la valeur moyenne, prise comme ci-dessus, est CS',""^'' "^5 mais cette valeur moyenne, considérée comme la probabilité du nouvel événement composé, doit aussi se former en multipliant celle de l'événement composé qui a eu lieu, par celle d obtenir un événement A de plus (16) : celle-ci est donc égale au quotient de la première divisée par la seconde, ce qui donne
es
