CS^'"' "^ S

comme on l'a trouvé dans le n" 90.

Les mêmes considérations donneraient, pour larrivéc d'un nouvel événement B, la probabilité

La somme ile ces deux proJjabilités est égale à limité.

DES rnOUABILlTÉS. 1 4()

comme cela doit êlre; car pour faire la somme Je ileiix suites de termes, on peut commencer par ajouter les termes (jui se correspondent dans chacune, et prendre la somme des termes de la nouvelle suite formée par ces additions : on aura donc ainsi

a.r"'-+-' (l — .r)" -f- ax'" (i — x)"+' = ax'" (l — x)''{x -{- l — x)=:</..r"' (i — x)",

et passant aux limites des séries ajoutées et à celle de leur, somme, il viendra

S(m-)-i,;i) „'ni,n-i-i) ^(m,n) ,

d'où

:("',") et"'.")

Sf"

\)i. On étendrait sans peine ces considérations aux formules générales des n*'^ 91 et 92. La somme des termes dont se compose la dernière, qui embrasse tous les événements possibles dans p renouvellements du môme hasard, doit être égale à l'unité, comme celle des termes du développement de (e +/)''• Il n'est pas difficile non plus de voir que toute cette théorie revient à prendre la probabilité moyenne de révénement composé (pii a eu lieu, pour l'unité à laquelle on compare les probabilités qui résultent des combinaisons de celui-ci avec les événements futurs. On peut donc envisager aussi ces probabilités comme relatives à la première. De là vient qu elles ne sont pas toujours les mêmes pour les mêmes combinaisons d'événements futurs, ce qui n'arrive pas aux probabilités déterminées à priori (22).

En effet, la formule du n" 91 change de valeur avec tti et //, quoique j) et q demeurent les mêmes; et puisque de nouveaux événements observés moditient celle valeur.

l5o THAITÉ ÉLÉMENTAIRE

il s'ensuit évidciniiieiU que pour tirer de ces torinulcs des résultats utiles, il faut toujours que le nombre j) des événements futurs soit fort petit à l'égard du nombre m ■+• n des événements passés, et aussi que ce dernier soit trèsconsidérable en lui-même, afin qu'il ne suffise pas de quelques nouvelles observations pour changer sensiblement les résultats déduits des précédentes. Avec ces resirjclions, et pour des recherclies dont la nature ne saurait exiger, ni même admettre, il faut le dire, une précision rigoureuse, on pourra presque toujours subsliiner aux formules de cette section celles de la première, ce qui est fort heureux 5 car les calculs, déjà très-longs par celles-ci, seraient le plus souvent impraticables par les auti'cs, sans le secours des formules approximatives citées au n" 27; aussi ne ferai-je qu'indiquer quelquesunes des questions curieuses ([ue Laplace a résolues sur cette matière.

95. Premièrement, il a donné l'expression approchée de la probabilité des résultats fournis par les Tables de mortalité, lorsqu'on connait le nombre d'observations sur lequel elles ont été construites. Ces Tables, dont j'exposerai plus loin la formation, font connaître combien, sur un nombre d'individus nés en même temps, il en reste à un âge donné. Soit îh -+- ?i le premier nombre, et ni le second; lorsqu'on veut étendie les conséquences de ces observations à un nombre/; d'enfants, on le divise en parties proportionnelles aux nombres /// et //, ce qui

donne i)Our celui îles survnanls et pour

m -j- fi ' /// -t- /i '■

celui des morts. Alors, jionr apprécier la conliance que méritent ces résultats, il fiut diercher les pic^babilités que l'erreur dont ils peuvent être susceptibles est renfermée dans des limites assez étroites, ce qui se fait en calculant la somme des termes de l'expression du n" 92, à

DK.S l'ItOJl.VBIl.lTÉS

partir do celui (jui osl affcclc do

/ l'iii

jusrju'à celui (jui l'est do

Quoique Laplace ait déterminé assex simplement la valeur approchée de cette somme, il n'en donne point le calcul numérique; on effet, on sent assez dès à pré-: sent, et l'on en sera tout à fait convaincu dans la suite, qu'un pareil examen devant être répété pour tous les âges, et sur des Tables très-mullipliées, est à peu près impraticable, et que c'est principalement la finesse des artifices de calcul qu'il exige qui en constitue le mérite, comme de la plus grande partie des recherches de ce genre.

96. La seconde question dont je rapporterai l'énoncé et les résultats a eu une application effective. Dès qu'on s'est aperçu du peu de variation qu'offraient le nombre des naissances et celui des décès, dans une population dont la marche n'était point troublée par les fléaux naturels ou politiques, on a cherché à déterminer les rapports de ces nombres avec le total de la population, en faisant le relevé des naissances et des morts dans diverses parties du même Etat, et pour plusieurs années, en même temps qu'on se procurerait un dénombrement exact de la population de ces parties. Le rapport moyen, obtenu ainsi, a paru propre à faire connaître la population de l'Etat entier, d'une manière à la fois plus prompte et plus sûre qu'un dénombrement total des habitants, qui entraîne toujours de grandes longueurs et souvent de grandes difficultés dans l'exécution. Celte idée, mise au jour d'abord par Moheau, a été suivie avec assiduité pendant six années par Dust^jour, Condarcet et La-

152 TRAITÉ itLÉME.NTAIUC

place {*). lis s'étaient proposé d'appliquer successivement leurs calculs à chacune des cent qualre-\ingt-dcux feuilles de la Carte de France, par Cassini : ce travail s'étendait à cent (juarante-neuf feuilles, lorsqu il a été suspendu. La révolution devait en avoir changé les éléments 5 c'est pourcjuoi Laplace l'a recommencé en 1799. Le gouvernement a ordonné, en conséquence, de faire avec soin, dans trente départements choisis parmi tous ceux qui composaient alors la France, le relevé exact des naissances, mariages et décès, depuis l'an Mil jusqu'à l'an XI (du 22 septembre 1799 au 22 septembi-e 1802), dans des communes de situations et de grandeurs variées 5 il en est résulté :

Naissances. IMariages. Décès.

1 10 3 12 garçons, 4^037, io3659 hommes,

105287 filles, 99 44^^ femmes,

et pour le montant de la population de ces mêmes communes, à la seconde époque, 2037 6i5 individus. Par ces nombres, les naissances des garçons sont à celles des filles dans le rapport de 22 à 21 -, les mariages aux naissances, dans celui de 3 à i4; enfin, celui de la population aux naissances annuelles est de 28,353 environ à i, ce qui portait à 42600000 le nombre des habitants dn territoire soumis alors au gouvernement français, et où le nombre des naissances annuelles s'élevait environ à 1 Sooooo (**). Laplace, voulant ensuite se rendre compte de la précision qu'il devait attendre de tous ses soins, a

(* ) Voyes les Recherches sur la population de la France, par Sloheau, édit. de 177S, p. 32, et les Mémoires de l'Aciutcniic d^s Sciences, années 178.1-1^89.

Dans son premier Mémoire sur ce sujet {^Académie des Sciences, 17S3, p. 696), Laplace prend 2G pour le rapport moyen sur toute la France. Le dénombrement efTectué à Paris, de 1S16 à 1817, montant à 718 yGt) individus, et le nombre des naissances à 2.i^-ii, il en résulte un rapport > que 3 1,8.

(*") Théorie iinul) li'/uc des Probubiliics, p. 3i)i.

i)i;.s vnniiAi!ii.rn^:s. i;).^

cliertlu- la pruhaMIitc- ([iir ci-llc ('•valiialion no sciail j)as c'ii erreur de 5()0 ooo : voit:i la Iraduclion de l'énoncé d<; ce proLlènic, au moyen des foimules analylitjues.

En leprésenlanl par ///-+- n le nombre des individus compris dans le premier dénombrement, par Ji celui des naissances annuelles, qui est le \ de la somme des naissances des deux sexes, rapportées plus haut pour trois années, par (/ le nombre des naissances dans toute l'éten-

1 • • 1 1 1 -. [1)1 -[- lAq

due du territoire de la France, p = — exprimera

la population de ce territoire, en y comprenant le nombre q de naissances-, et par conséquent

es} " ^

sera la probabilité que cette population se composera des

, . (m -\- n)f/ deux parties 7 et q.

Si donc on forme une suite de termes semblables au précédent, en donnant au premier exposant toutes les valeurs comprises entre

et rn + y-^^jrj-r^-z,

le second exposant demeurant toujours n + q, la somme de ces termes sera la probabilité que le déiiO!nl)remeiit total conclu des naissances ne s'écartera pas du véritable au delà du nombre z, soit en plus, soit en moins [*). En faisant s = 5ooooo, les formules approximatives de

Laplace lui donnent — jr- pour la valeur de cette proba-

(*) Les dénominations employées par Laplace sont un peu difi'érentes de celles-ci : m -+- n répond a />, n à q, '/ à 7' ; ^ doit être changé en i — a, et réciproquement. Laplace ne dcLciiuine p;is immédiatement la prolia-

1^4 Tn.UTlt f.LI^MKMAIUF.

bililcj et cil puilaiil zà juuooo, la coutraiic de celle même probabilité serait iiisoiisible.

97. Dans tout ce <[ui précèrle on a supposé fjiie. pour la même hypothèse, la probabilité simple demeurait constante, c'est-à-dire qu'on remettait chaque fois dans 1 urne la boule qui en était sortie. Cette supposition paraît applicable à la plupart des événements naturels, parce qu'on regarde leurs causes comme agissant toujours de la même manière, ou le rapport des nombres de chances également possibles comme constant. Condorcet, cependant, ne s'est pas restreint à ces considérations : il a fait Ténuméraiion des hypothèses que comporte le sujet et les a soumises à une discussion approfondie (*). Il en distingue trois : « i° celle » où la probabilité est constante, où 1 on suppose chacjue » événement (simple) également probable, ou du moins ') la probabilité moyenne pour chacun, déterminée d'une )) manière semblable (c'est celle dont nous nous sommes » occupé); '1^ celle où Ton suppose cette probabilité va- » riable, mais indépendante du temps où les événements » sont arrivés et de l'ordre dans lequel ils ont été obser- » vés; 3° celle où on les suppose dépendants, ou plutôt » pouvant dépendi'e de cet ordre. »

La troisième hypothèse, comme la plus générale, devrait être employée le plus souvent; car c'est un principe fondamental, dans le calcul des probabilités, de prendre en considération tout ce qui n'est pas reconnu impossible. Or, ne peut-il pas arriver que les forces qui produisent certains événements se modifient ou s'altèrent, et que, par cette raison, leur possibilité devienne plus grande ou moindre? que, s'ils résultent d'un développement successif, l'ordre de leur production, répoque à laipiclle ils

bilile iudiquëe ci-dcsiiis, mais sa contraire, en iireuanl - depuis jooooo jusqu'à rinfini, ol par un aitillee d'analyse dont je donnerai une idée dans la Note III.

C) Mémoires de V Académie da Sciences, 1783. |i. ôjg.

DES l'KOlUBII.ITl'.S. Ij;)

paraissent, iniliUMilsiirteUc possibililé;' r;ml(|uu rcs suppositions ne seronl pas l'orincllcment ocartces par des lois positives bien coiislaléos, les probabilités défluitcs de l;i preinièie liypotlièse ne pourront s'étendre cpi à un temps limité et devront être calculées souvent sur de nouvelles observations. On sent ])ien (pie les formules relatives aux dernières liypotlièses sont hors des bornes prescrites à un Traité élémentaire : je renverrai donc, ponr ce sujet, le lecteur au Mémoire cité dans la note et à la IIP partie de VEssai sur la probahililé des (Iccisioiis, etc.

Détermination de la prohahdilé des causes [ou des Jiypollicses^ par les observations.

98. Lors(|ue l'on regarde comme possibles, dans la probabilité des événements, tous les rapports compris entre o et i, la probabilité de l'hypothèse correspondante à x est exprimée par

Celte fraction, dont le dénominateur a pour limite la quantité finie S\"''"^ {^^)i ^^^ d'autant plus petite ipic a est moindre et que, par conséquent, le nombre des hypothèses établies est plus considérable. Si donc on suppose ce dernier nombre inlini, a sera inrinimcni petit, et chaque hypothèse n'aura cpi'une probabilité infininient petite; aussi n'est-ce point la probabilité absolue de l'une de ces hypothèses qu'on se propose de déterminer, mais les probabilités relatives, ce qui est très-facile, puisque, si Ion désigne par x' une autre hypothèse, on aura, suivant ce qui a été dit dans le n" 13, pour la probabilité de la première hypothèse par rapport à la seconde.

c/..r"' ( l — .?• j" 4- a Ju'"' [ I — .v' j" X'" (I — X.)" ->r x"'\\ — x' )"

expression où a disparait.

l5fi TlîAlTK ÉJ.ÉME^•ï.\IRE

La valc'uidc ccLlc expression dépend de celle des rapports r el x', et, en la meltant sous la forme

on verra qu'elle approclie d'autant plus de Tunité que X'" [i — x)" surpasse x''"(i — a/)" : elle atteindra donc la plus grande valeur dont elle soit susceptible, si, parmi

tous les termes de la suite

on prend le moindre pour x'"' (i — x')", et le plus considérable pour x"'(i — x)". Le premier ne peut jamais être nul, tant que Fun des nombres ni, n n'est pas nul.

Quant au plus grand terme, on trouve, par le calcul

différentiel, qu'il répond à x =: ■, c'est-à-dire que

cette valeur, doù il suit i — x = i rend le produit

X'" (i — x)" plus grand que toute autre valeur qu'on voudrait assignera x. Ce résultat est bien remarquable, puisqu'il nous apprend que la plus pi'obable de toutes les liypotlièses est celle où les probabilités simples des événements A et B sont égales au rapport du nombre de fois que chacun de ces événements est arrivé, avec leur nombre total-, il rentre d'ailleurs dans la proposition du n'^ 29, (|n()i([u il soit appuyé sur des considérations beaucoup plus générales,

1)9. Cette même h) potlièse, outra quelle jouit de la j)lus grande prohahililc relative, peut encore être regardée comme s'a/)procluiiit sans cesse de la vt'-ritable probabilité, à mesure (pie le nombre des obseivations devient plus considérable, c"esl-à-dire qu'en assignant à ce nombre une augmentation con\cnable. on peut obtenir une probabilité aussi \oisinc de runité (pi ou \oudr.i, (jiie

ni:s piu)n\i)ri,iTi^,s.

la V('iilal)lo valeur de .r sera cnnipriso oulnî

y. r et r.

la quaiilité <• étant aussi pcliic (ju'oii voudra. L'expression (le ('elt(î prol)al)ililé, se couiposanl de la somme des probabilités correspoudant aux diverses valeurs (|uc l'on peut assigner à x entre les limites indicpiées ci-dessus, sera évidemment

en faisant, pour abréger,

mais, comme on y suppose que m et n sont de très-grands nombres, il faut, pour en trouver la valeur, faire usage des formules approximatives et du calcul intégral (voyez Note III) 5 c'est pourquoi la démonslraiiou de la proposition énoncée au commencement de cet article ne saurait trouver place ici : je ferai seulement remarquer que cette proposition est analogue à celle du u" 33, et appuie sur les considérations liès-générales (jui servent à la détermination des probabilités à posteriori le théorème fondamental que Jacques Bernoulli n'avait pi^ouvé que dans l'ordre des probabilités déterminées à priori.

400. On voit aussi, par ce qui précède, que si la probabilité d'une hypothèse en particulier est inassignable, celle d'un ensemble d'hypothèses comprises entre des limites dont la différence est finie a une valeur finie, puisque telle esi relie de l'expression (,„.„i (,»,„^

dans tous les cas où b — a est une quantité finie : celte

l!58 TP.AITÉ ÉLÉMEMAIRE

remarque csl bien imporlanle. Quand, par cxoinple, on observe une supéiioriié constante dans le nombre de fois (lunn événement se montre sur le nombre de fois où se montre révéïiement contraire, on est porté à croire que la production du premier est d'une fac ilité plus grande que celle du second, ou qu'il y a une cause qui détermine plutôt l'un que l'autre, ou euGn, ce ([ui est encore la même chose, que la prol)abilité simple du premier événement surpasse j. INlais cette croyance, qui n'est d'abord qu'un simple aperçu, se fortifiant à mesure que les événements se reproduisent dans le même ordre de fréquence, est susceptible d'être appréciée, en déterminant, d après le nombre des observations, la probabilité que la valeur dex est comprise entre ^ et i, ce (|ui se fait par le moyen de ! expression

;pree

sV"'"- — s^'"^ s^""

101. Ces formules ont une application très-curieuse par rapport aux naissances. Arbutlinot ayant remarqué, sur les listes des naissances arrivées à Londres depuis 1 6>9 jusqu'à 1710, que le nombre de celles des garçons s'écartait pou du nombre de celles des filles, et pensant apparemment qu'il ne pouvait pas exister de loi primordiale qui maintint ces nombres entre des limites peu ditlérentes de l'égalité, voulut voir dans cette prétendue égalité un miracle continuel. ]Nicolas Bernoulli. au contraire, frappé des dillércnces assez sensibles qui se trou\ aient entre ces nombres, et de ce qu'il y a\ait toujours plus de garçons tjuc de filles, y vit avec raison 1 indice d une plus grande possibilité dans la naissance des enfants du sexe masculin que dans celle des enfants de l'autre sexe, le rapport du nombre des nues au nombre des aulres étant ~ (*). Pour

A>;aljse des Jeu r de hasard, par ^^lonlniorl, p. 38S.

PKs rnonAiuLiTÉs. iSp

le prouver, il nioiilra ([u'cii suj)|)Osanl un (lé à 35 ("aces, i<S noires et 17 blaïulies, jelé i/|0()o lois, il y aurait une probabilité supérieure à ~, que le nombre des faces noires amenées ne sV'earl(!rail pas au delà de i63, soit en j)lus, soit eu moins, du nombre yiioo, égal aux 77 de celui des jets : il n'était donc pas surprenant que, sur 14000 naissances, le nombre de celles de cliaciue sexe ne dilléràl pas davantage de la proportion assignée par la probabilité simple^ savoir : 7200 garçons et 6800 lilles. (/ oyez, à ce sujet, la Note I.) Le fait, s'étant soutenu, a été constaté de nouveau dans la plupart des Etats de ITAiropc. Daniel Bernoulli s'en est occupé (*), et cnlin Laplace l'a traité par les formules directes, celles de l'article précédent.

De 1745 à 1784, les registres des naissances de Paris donnent 393 386 garçons, 377 555 filles, nombre dont le rapport est à peu près ||, moindre que -fl qu'on trouve par les registres de Londres depuis 1664 jusqu'à 1758 inclusivement, et que ~ donné par ceux du royaume de Naples (non compris la Sicile), depuis 1774 jusqu'à 1781 inclusivement aussi. Cependant, par les deux premiers nombres, les formules approximatives ont donné à La- |)laee, pour la probabilité que x surpasse -j, l'unité moins une fraction au-dessous de l'unité divisée par un nombre de 73 cliiiTres (**). Un petit excès dans le nombre des répétitions d un événement sur celui des répétitions de l'événement contradictoire a donc sufii, par sa constance, pour laire croître avec une immense rapidité la probabilité (jni assigne une facilité pbis grande au premier qu'au second ; et plus les observations se multiplieront, en conservant les mêmes relations de grandeur, plus cette probabilité augmentera (***).

(*) Novi Comment. Acad. Vetrop., t. XIV, pars i, et t. XV. (**) Théorie aiial/tiquc des Probabilités, p. 377.

(***) De nouvelles comparaisons failes sur les registies des naissances dans toute la France, depuis 1817 jusqu'à i8afi inclusivement, ont donné

l6o IIIAITÉ ÉLÉMENTAIRE

102. La formule du ji"tJl) se simplifie hcaurou[> lorsqu'il n'est airivé que des événemeuls d'une seule espèce.

Dans ce cas, S,"'"' devient

on a donc

Sr = -, \-7„T7 et s""'" = -^- (89):

pour la probabilité que celle de lévénement consiamnient observé est supérieure à j.

On peut d'abord appliijner ceci à l'un des pliénomèncs les plus remarquables du système du monde, le sens uniforme dans lequel les planètes principales et leurs satellites font leurs révolutions autour du soleil. Eu regardant le mouvement de chacun de ces corps comme le renouvellement du mèine fait, la répélition de ce fait indi(|ue une cause qui a déterminé la direction d occident en orient, préférablcmcnl à la direction contraire. Si l'on n'appli([U'j le calcul c[u'aux planètes principales, afin de n y faire entrer que des circonstances rigoureusement semblables, on prendra 7?i=ii, et il viendra

à M. Poisson — pour le rapport des naissances des garçons à celles tli--

lillcs; résultat sensiblement plus, grand que celui que j'ai cite plus linii;

M. Poisson a, de plus, remarqué cette circonstance sinf;ulièrc, t|iu' I'

môme rapport est seulement de — pour les enfants nés hors maria-^i'

Enfin, si l'on considère séparément les naissances à Paris, ou M'ouve -

pour les enfants léirilimos, et — pour les enfinls naturels. ( l'''.>>; VA-

niiairc de iSgj, et le tome IX des Menioircx de l 'Acath'niic dis Sciences <• l'ïnsiilnl de Fir.ucc, p. '*!>;). ^

DKS mon \Bii iTf;s. i^i

pour la j»rol);il)ililr de 1 cxisleiKM; (l'une plus i^randc iacililé cK" ce inouvenicul (rocH'idcnl en oricnl, (jue clans le sens eonlraire. On auiail eu un résultai beaucoup plus fort, en joignant aux planètes pi'inripales les satellites connus, qui sont niainieiiant au nonibie de 18, et un résultat encore bien autrement près de l'unité, si l'on eût reiçardcï comme dépendant de la même cause le sens uniforme dans lequel s'exécutent les rotations observées dans une partie de ces corps.

Quelques auteurs ont évalué cette probabilité d'uiu' manière un peu diilércntc, en partant d'ailleurs du jirincipe posé dans le u" 86, mais en se bornant à compaier le ras où il existerait une cause absolue avec celui où les deux sens opposés seraient également ])Ossibles, ce qui réduit les bypotlièses à deux, donnant pour l'événement arrivé, l'une la certitude représentée par l'unité, et

1 autre la probabilité — • La probabilité de la première

livpollièse serait donc alors

si Ton ne faisait entrer dans le calcul (|ue les planètes principales. Cette dernière fraction est moindie que la précédente ^ mais je crois que les considérations dont elb; est déduite sont trop particulières. En ne s'attachant qu'au sens du mouvement, on ne trouve, il est vrai, que deux chances; mais doit-on les supposer également possibles, (juand on ignore complètement de quelle manière le mouvement a été imprimé 5 et ne se peut-il pas qu'au lieu d'être un effet simple, sa direction soit le résultat du concours de diverses cliances qu il faut supposer, par coiïséquent, dans tous les rapports possibles avec celles qui auraient donné la direction contraire.^

4*^ édition. 1 i

ifîd TU VITE l'.LÉMF.-NTAlRE

j.os liniiles élroitcs clans IcsquiUcs sr»i)t irnfermées les inclinaisons des oibilcs des planètes ancieniicment connues, qui n'occupenl dans le ciel quune zone denviion if) degrés de largeur, fournissent aussi une grande probabilité pour attribuer tous les niouvemenls de ces corps à une cause unique; mais la découverte de la planète Pallas, dont l'orbite est inclinée de plus de 34 degrés par rapport à l'écliptique, doit modifier un peu cette probabilité, que changerait encore la découverte de corps (|ui. s'écartanl davantage de l'écliptique et |)ar(Ourant des orbites plus excentriques, formeialenl le passage des planètes aux comètes, dont les mouvements ont lieu dans tous les sens et sous toutes les inclinaisons.

103. La formule employée dans 1 article précédent trouve aussi son application dans une question agitée par les philosophes des siècles passés et du nôtre, celle de la liaison des elîets aux causes. Les uns. comme Hume, ont nié que nous eussions aucun motif solide pour supposer une dépendance entre deux effets qui se suivent ou s'accompagnent constamment. Les autres, importunés par ce scepticisme dont les eonsécjuences devraient s'étendre sur nos actions les plus fréquentes et les plus nécessaires, ont alfirmé qu'un sentiment intime, une loi de notre organisation intellectuelle, nous forçait de rapporter chaque elfet à une cause que nous trouvions toujours dans celui qui précédait. D'autres enfin, craignant de trop multiplier ces lois de 1 intelligence, ces faits primitifs qui ressemblent assez aux idées innées, ont pensé cpie la considération des divers degrés de probabilité, non-seulement expliquait le phénomène moral, mais pouvait donner la mesure de la confiance que nous attachons ou que nous devrions attachera nos connaissances. Us ont évité ainsi cic tomber dans le pvri'honisine et le dogmatisme absolus. doctrin<'s également absurdes, mais dont la seconde, cjui

Kl s l'IlOllAUlLll its. l63

.» laiil de lois ser\i I avidilc cl l'amhilioii de cciiaiiis lionimes, et qui llatle la paresse de tous, est infiniment ])liis dangereuse que la première, toujours renfermée dans les bornes do la spéculalion, puistpie, après la dispute la plus animée sur l'existence des corps, le plus déterminé pyrrhonien n'entrepret)dra pas de sortir de sa chambre à iiavers la muraille- Celte doctrine moyenne, que l'on pourrait nommer scepticisme gradué, proposée d'abord par Helvétius (*), a été fortement recommandée par Condorcet comme la" seule (jui put échapper à toutes lesdillicultés, parce qu'elle reposait entièrement sur l'expérience, d où toutes nos idées tirent leur origine. Il y est revenu souvent dans ses ouvrages; mais Meudelssohn paraît avoir, le premier, appliqué spécialement la probabilité à la liaison des effets aux causes, dans un Traité sur l'évidence couronné, en 1763, par l'Académie de Berlin. ^ oici comment il raisonne. « Si nous avons expérimenté une seule fois que deux 1) faits, A et B, se suivent immédiatement, il se présente » pour nous trois suppositions : ou que A ait son fonde- » ment en B, ou que A et B aient leur fondement com- )) mun dans une troisième cause C, ou que chacun des » deux dépende enfin d'une cause isolée ou indépen- » dante. Dans les deux premiers cas, ils devront repa- » raitre toujours à la suite l'un de l'autre: dans le troi- ^) sième..., leur rencontre sera l'efiet du hasard : ils » pouiront se tiouver aussi bien séparés, éloignés, f|ue » réunis... (**).» On voit déjà qu en admetlantl influence de la répétition du jugement de possibilité sur notre esprit (o et 6), il doit être porté à supposer une liaison, soit immédiate, soit médiate, entre A et B. « Donc, s'ils 1) se reproduisent de nouveau, si, en se reproduisant, ils

C) Dans une note du F"" chapitre du l'^'' Discours de l'Esprit. C") Histoire comparée des systèmes de philosophie, par M. Defférandi), l'^^édit,, t. Il, p. iSi et suiv.

lf>4 TRMTl^. ÉLÉMENTAir.r.

n paraissent constamment réunis, il (Je\ienl vraisem-

)) hlable ({lie (<Mte léunion a son princi[i(; dans ruiie des

» deux premières livpollièses. Plus la répétition auia été

» fréquente, la rencontre des deux faits étant coustante,

» ])lus cette vraisemblance augmentera 5 elle ira croissant

)) ainsi jusqu'à l'infini. « \oyons comment le calcul justifie cette dernière asseition.

104. On a observé un grand nombre de fois de suite l'apparilion consécutive ou simultanée des faits A et B ; la probabilité que cette apparition jouit dune grande possibilité s'obtiendra en chercliant la piobabilité de l'bvpothèse par laquelle le rapport des cbances qui établissent le concours de l'un av(>c l'autre dilTèrc très-peu de l'unité; et pour rendre la chose plus sensible, on peut. oe me semble, énoncer ainsi la question : O/i a tiré d une urne (avec l'attention de les y remettre chaque fois) un grand nombre de luUels marques Alî; s'd n'y en avait que de cette sorte, V apparition sinndtanèe des lettres A et B serait nécessaire ; mais c^est ce qu'on ignorera tant que tous les billets ne seront pas tirés : on demande donc quelle est la probabilité que le rapport du nombre des billets de l'espèce de ceux qui sofit sortis, au nombre total des billets, est compris entre des limites données.

Soit m le nombre des billets, a une fraction assez voisine de l'unité; la probabilité que le rapport inconnu tombe entre rt et i aura pour expression

et nommant P cette probabilité, il viendra

a étant <^ i , la valeur de r/"'+' pourra être rendue aussi petite qu on voudra; son décroissement, qui ne sera pas d'abord très-rapide, si a dilîère peu de l'unité, le de-

DES niOIJAHIl.ITKS. l()5

vienclia dès (|iu' le iioiubrc m sera irès^consiclérahlc. Soil, par exemple,

ooo ooo

et ([u'on l'élève à la loooooooo'' puissance, on trouvera lacilenieiil, par le moyen des loijaii dîmes, que celle puissance est égale à l'uni lé divisée par un nombre de 44 chiffres-, et comme c'est la probabilité contraire à celle ([u'on cberche, on jugera par là combien celle dernière approche de l'unité.

Si l'on se donne P et qu'on prenne a pour inconnue,

on oblicndia rt= \ i — P, En faisant seulement P ^ |, /// étant toujours loooooooo, on trouvera

environ, fraction qui diiïère bien peu de l'unité; et ce rapport du nombre des billets maxqués AB au nombre total sera la limite qui sépare les rapports probables de ceux qui ne le sont pas (9) ; en sorte ([ue celui qui est un peu moindre sera déjà probable (*).

Ces résultats peuvent donner une idée de ce que doit être, quand on Fétend à la suite des siècles connus et à toute la terre, l'expression numérique de la probabilité de la dépendance des phénomènes tels que la l'enconlre

(*) Si l'on n'a pas de Tables de logarithmes assez étendues pour cllccliicr ce calcul, on peut employer la l'onnule

lie 1 .2 \1 e /

[Compl. des Élém. d'Alg.)

dans laquelle le := 0,43429 : il faudra y changer a en i — P, x en ;

et quand le nombre to -+- 1 sera très-grand, les deux premiers ternies suffiront. Dans l'exemple ci-dessus, où i — P = - » on aura

l66" TRAITÉ L:LÉ.\IE>TA1RE

des coips elle déplacement qui en est la suite, si prodigieusement répétés dans un seul jour et dans un seul lieu.

La probabilité qu'il y a très-peu de chances contraires à la permanence du mouvement de la terre est déjà trèsconsidérable quand on la conclut du nombre de levers et de couchers du soleil, comptés depuis les temps les plus reculés; mais elle devient bien plus forte encore quand on a égard aux lois connues des mouvements de notre globe, parce qu'alois la conformité des positions observées, avec les positions calculées, doit être regardée comme fournissant de nouveaux faits, dont le nombre est pres([ue infini.

Il s'en faut de beaucoup, sans doute, que les faits soient aussi multipliés, par rapport à d'autres liaisons regardées comme des lois de la nature 5 ni (jue la plupart de nos inductions soient établies sur de tels fondements ; mais il faut bien prendre garde à l'influence qu'exercent les faits les plus répétés, par rapport à ceux qui le sont moins. Dès que les premiers nous ont fait acquérir le sentiment de la constance des lois de la nature, nous l'étendons a tout ce qui se passe sous nos veux; et pour tous les cas avec lesquels nous sommes familiarisés, notre confiance dans la liaison des effets aux causes, passant en habitude, peut encore croître, par celle raison, beaucoup plus ra[)idemenlque la probabilité indiquée par les calculs prccédenls (*).

(*) Dans la rigueur des termes, ce qui précède nétablil que la probabilité d'une succession constante entre deux phénomènes, et c'est aussi à quoi le célèbre physicien Leslie pense qu'il faut réduire, comme le veut Hume, tout ce qu'implique pour nous la relation de cause et d'elTet. Il en appelle même au langage ordinaire soumis à une critique rigoureuse {Inquiiy into ihc nature and piopagaiion of lient, p. j2i, note XVI, ou Ëdinhurt^h Review, -j' vol., i8o5 h iSofi, p. ii3-i2a. Yorcz aussi Leclurc.i qf Phjsiolocy , Zoology, and thc nntuial lIisioi\y ofntJn, I>y Lawrence, lecture III, p. 78). Il est d'ailleurs éviilent que l'idée d'une telle succession suflit pour la conduite de la vie. (l'o»!'; mes Essais sur l'Ensi if;nt/n( nt, !5'' édil., p. S.')/.)

DK.s l'IlOll MSU.riÉS. l()-i

De plus, le but rsscnlic'l de nos oi)servali()iis éhinl de prévoir ce qui doil arriver, la probabilité de la produclioM d'un nouvel évéueuienl semblable à ceux qui oui déjà été obscu'vés est celle (|ui nous intéresse le plus, parce qu'elle peut servir à régler notre conduite; or, pour celle-ci, le calcul prend une marclie beaucoup plus

rapide 5 car l'expression (80) didère bien peu de

l'unité, lorsque /// est un peu grand. Cette proposition, la

soleil se lèvera deinaiii ^ par exemple, en prenant pour

point de départ une époque reculée de 6000 ans, a main-

1 , .,• - ' I < 2 iqi 5oi £,. ,, tenant une probabilité égale a — = — • bi 1 on eni-

brasse un intervalle de plus d'un jour, la probabilité,

donnée alors par la formule -, va sans cesse en

décroissant, et peut devenir très-faible-, mais cette consé- ([uence n'a rien qui choque la raison, puisque l'avenir peut développer des lois qui nous sont encore inconnues (*).

iOo. On ne manque donc point de motifs suffisants pour appuyer la légitimité des conclusions du passé à l'avenir; et c'est en cela que consiste le pouvoir de l'analogie*, mais u' est-il pas arrivé qu'en se livrant trop à ce pouvoir, les savants, aussi bien que le vulgaire, soient

(*) Bertrand, de Genève {^Dé\>eloppemenis nouveaux de la partie élénienlaire des Mathématiques, t. 1, p. 4'^)' " traité aussi la question précédente, mais par la considération des probabilités à />/-iori seulement ; et il a pris pour la probabilité simple de l'événement observé, celle qui

donnait - pour la probabilité de la répétition de cet événement m fois do

suite, parce que l'hypothèse de cette prohalnlilé ne favorise ni ne défavorise lit production de la série d'événements observés. Suivant ce mode, on a

X ">::=■- % d'où X =; ;

et comuio, par celle expressiot), plus ni au[;nienlo, plus- x api>roclic de

l68 TllAITÉ ÉLÉMI-N'IAIRE

tombés dans l'erreur et aient hasardé des assertions piématurées? Cependant ils ne pouvaient suivre d'autre voie pour découvrir la vérité. Que l'on examine avec allention, soit les règles de Descartes, soit celles de Newton, rapportées dans la note de la page 2, y verra-t-on autre chose que le soin de faire 1 énumération la plus exacte possible des laces d une idée ou des combinaisons de plusieurs faits? Lorsque Ténumération sera complète, que la dépendance, se trouvant la môme dans tous les cas, sera nécessaire, il y aura certitude, soit physique, soit intellectuelle, au moins pour chaque partie indivisible du raisonnement, ou chaque fait en particulier (1 et 2). Hors de là, on ne peut plus que balancer les cas favorables à l'analogie avec les cas contraires ; et s'il ne s'en présente pas d'abord de cette dernière espèce, rien ne garantit qu'il n'en arrivera point. L'hypothèse qui explique complètement un grand nombre de faits n'est encore que probable, et le calcul apprécie le degré de confiance qu'elle mérite ; mais tant que les faits ne seront pas tous observés, tous mesurés avec la plus grande précision, aucune hypothèse ne se changera en véritable théorie : les plus heureuses ne seront que des méthodes artificielles pour lier par une seule formule, ou comprendre dans une seule expression, la dépendance d'un nombre de faits plus ou

moins grand.

l'unité, plus aussi on doit s'attendre à l'apparition d'un événement pareil à ceux qui ont déjà eu lieu .

La formule de la note de la pajje iGô donnerait, dans le cas de m un peu grand,

ce qui ne difl'ère pas beaucoup de ; mais Bertrand n'a considère

qu'une seule hypothèse, au lieu que la méthode directe les cnibra>so

toutes.

i)i:s l'uoDAiiiLiTÉ.s. lô'y

H)<). Tels claicMit les priiuijics (rn[)iès lesquels ('on- (lorcel, plaeanl la certitude al)solue seulement dans la conscience d'une sensation aeiuelle et dans la perceplion instantanée et avec pleine é\idenee de la convenance ou de la disconvenanee de deux iilées, donnait pour fondement au reste de nos connaissances notre tendance générale à croire au retour des faits tpie nous avons observés plusieurs fois sur nous-mêmes ou sur les autres objets (I et 2), et faisait deux classes de probabilités, la première comprenant celles dont la dillérence avec 1 unité est inassignable, mais tellement petite, qu'il serait superflu de la calcub;r, et auxquelles nous acquiesçons par une babitude dont nous ne nous rendons pas compte, comme nous le faisons, ou du moins comme nous devrions toujours le faire pour les probabilités de la seconde classe (*). Ainsi s'établit une gradation non interrompue, depuis les propositions qui n'admettent aucun doute jusqu'aux plus incertaines. Cette manière d'envisager nos connaissances donne une base solide au scepticisme a ([ui , dans les écoles » grecques, avait dégénéré en un ridicule cliarlatanismc, » mais qui, cbez les modernes, dégagé de ces subtilités « pédantesques, est devenu la véritable pbilosopbie, et » qui consiste, non à douter de tout, mais à peser toutes » les preuves, en les soumettant à vuie rigoureuse ana- )) lyse; non à prouver que l'iiomme ne peut rien con- » naitre, mais à bien distinguer et à choisir pour objet » de sa curiosité ce qu'il est possible de savoir {**). »

[^ ) A la tète des probabilités de la première classe se trouve celle qui fonde notre croyance à l'existence des corps, ou notre « persuasion » que le système des sensations qui sont excitées en nous dans un in- » stant se représentera constamment de même dans des circonstances « semblables, ou avec de certaines dillérences liées constamment au chan- » gement des circonstances. » [Essai sur l'application de l'Analyse à la Probabilicé, eU\, Discours |)rélimiiiaire, p. xij.)

("*) Eloge de Fiar.klin, Œin'irs de fondvrcrt, t. IV, p. f)'|.

170 TUAITÉ ÉLÉMEiNlAlRt

107. La llit'Oiic inalhénialiquc concouraiil, avec les simples aperçus du Lon sens et avec les résultais de l'expéiieace, à prouvei- que les lois de la nature peuvent se reconnaître, au moins à la longue, dans la succession des faits qui eu sont les conséquences nécessaires, il s'ensuit que dans les questions dont les éléments sont trop compliqués pour en épuiser les combinaisons, en paicourir tout rencliaînement, il faut interroger la nature, compter et comparer les faits, enfin juger à posteriori de ce ({u'il est impossible de prévoir. Telle est la base et le motif de l'application du calcul des probabilités aux sciences physiques, morales et politiques.

Cette application conduira toujours à des résultais utiles, ou maintiendra dans ce doute salutaire qui prévient les erreurs dangereuses, lorsqu'on la fera avec circonspection, c'est-à-dire eu distinguant avec soin les faits, d'après les diverses circonstances (|u ils présentent, afin d'éviter de rapporter à toutes ce qui ne convient qu à quelques-unes, de confondre les points de vue qui doivent être séparés et de rendre générales des conclusions qui ne sont vraies qu'entre certaines limites. Ce sont là les reproches que l'on peut faire quelquefois avec raison à des calculs très-savants, mais dans les résultats desquels on ne trouve pas une grande évidence ni une utilité bien prochaine. Mais, que l'on y prenne garde \ c'est parce que, faute de données, on a été obligé d appuver ces calculs sur des suppositions souvent très-détouinées. que leur marche est devenue si compliquée et leur résultat si incertain. Un nombie sullisant d'observations, dégagées de toutes les circonstances étrangères aux conséquences qu'(tn cherche, offrira toujours un moyen aussi simple <jue sur de déc ouvrir ces conséquences ou d en mesurer létendue cl la valeur, et par consétpient d"a[)précier les combinaisons (|ui les ont amenées.

De siiiiph's regislics, lidèlemint tenus, sulliraienl [i«>ui

leconiiaîlrc l'cfTet d'un impôt, par les varialions qu'il produit dans les salaires et les coiisommatit)ns ; celui des lè^Ieineuts coniinerciaux , par le niouveiuenl des iniporlalions, des exportations, le progrès des manvilaetures, la culture des terres.

On peut juger aussi d un système d instruction j)ar le recensement des sujets qu'il aura produits après un eeitain nombre d'années; d'un système de législation civile, par le nombre de procès qu'il aura engendrés ou prévenus 5 d'une législation criminelle, par le nombre des coupables condamnés ou absous et repris. Mais pour qu'on puisse tirer parti de ces observations, il faut que lépreuve du système soit continuée, que les résultats en soient recueillis avec impartialité, pour être comptés avec exactitude. Je dis comptés, car lorscju'on n'en vient pas là, on tombe pres{jue toujours dans des déclauiations vagues. Il n'3- a pas de mesure de gouvernement ([ui ne lèse un assez grand nombre d'intérêts particuliers; et si les hommes qu'elle attaque ont du crédit, savent parler ou faire parler pour eux, la mesure la plus utile à la masse générale de la nation ne peut pas subsister; quelcjues inconvénients relevés avec force et avec adresse la font révoquer, tandis qu'une énumération exacte de ses etlets aurait rendu incontestable la supériorité de ses avantages sur ses inconvénients. En s'écaitant de ce procédé, on a pu même l'attaquer de bonne foi.

Pour donner un exemple de ces jugements vagues qu'on porte par de simples aperçus sur des objets susceptibles d'une évaluation précise, je rapporterai le beau résultat obtenu par M. Duvillard , dans son Analyse de Vinfluence de la petite vérole sur la mortalité (p. 10). Il a démontré, d'après les Tables de mortalité, à Genève, à la Haye et à Berlin, que passé Page de trente ans la petite vérole est d'autant moins dangereuse pour ceux qui ne l'ont pas encore eue. qu'ils sont dans un âge plus

IJ'i- TRAITÉ ÉLÉMEATAU'.F,

avancé. L'opinion cominiinc est contraire à ce résultat, et il est aisé de sentir coninicnt elle a pu s'établir avant qu'on ait fait l'observation exacte du nombre des morts causées par la petite vérole contractée à difïérents âges. Ou a été d'autant plus frappé de ces morts, qu'elles sont arrivées plus loin de l'époque ordinaire de la maladie. L'importance, pour la société, des personnes qu'elle lui enlevait, et un danger qu'on était porté à regarder comme particulier à la jeunesse, ont beaucoup agi sur l'imagination des spectateurs : alors des impressions purement moiales sont venues se mêler à un jugement où ne devait entrer cjue le calcul. Ce (jui est arrivé ici a encore bien plus de fi)rce dans toutes les circonstances où les intérêts et les passions sont violemment agités; aussi, pendant longtemps, n'est-ce guère que dans ce qui regarde la mortalité des individus el leur multiplication qu on a recueilli les faits avec quelque suite : c'est donc dans ces faits qu'un grand, nombre des auteurs qui ont écrit sur l'économie politique a cherché la mesure pour évaluer le mérite des systèmes divers d'administration et de gouvernement; et par cette raison, je donnerai, avec quelque détail, la manière d'y appliquer le calcul di's prul)abiliiés.

Détermination des probabilités de la vie huinainc.

108. La formation des Tables de mortalité serait trèssimple, si Ton pouvait trouver sur les registres des décès «:eux d'un grand nombre d'individus choisis sur les registres des naissances, el par ce moyen déterminer combien il en reste à la fin de chaque année (*). ÎNlallieureusement un tel procédé, le seul rigoureusement exact, est rarement praticable; car les résultats de ce genre ne [louvant mériter quelque confiance qu'autant qu ils sont déduits d'un grand nombre de laits, si 1 on s'attache à un

(*) Tln'aiic cinuli litjuc des Pi ohtibilitrs, p. '.ïSS.

i)i:s l'uoii vitiLi lÉs. 1-!^

lieu d'une faible population, il faudra ilépouilici' les rogisires d'une longue .suile <rannécs pour suppiéei' ;'i la (|uaulilé de naissauces simultanées que peut fournir un»ville considérable^ mais, dans l'un et l'autre cas, qui estee ([ui oserait entreprendre de suivie ebaque individu à travers les cbangenients de domicile, les émigrations, l'imperfection même des registres cl la foide des noms répétés, qui seule pourrait occasionner Irès-souveni beaucoup de confusion? Et puis, comme on le verra bientôt, et comme il est facile de le prévoir, le temps influe sur les probabilités de la vie liumainc. soit par les cbangements politi(jues, soit par le perfectionnement qu'apporte dans le régime et la police civile le progiès des lumières : le Tables form.ées sur des observations qui embrassent un trop grand intervalle de temps ne sauraient donc convenir, ni à l'époque où remontent les premièies, ni à l'époque présente. \ oilà bien des difficultés qui rendent la méthode indiquée ci-dessus à peu près impossible à suivre, excepté dans ([uelques cas particuliers dont il sera fait mention plus loin; et aussi est-ce d'une tout autre manière que la chose s'est faite.

La plus ancienne Table de mortalité que Ion connaisse est celle que Halley a déduite des registres de la ville de Breslavv en Silesie et qu'il a publiée dans les Transactions philosophiques, en 1693. Il fit choix de cette ville, parce que, le nombre des naissances et celui des morts v di Gérant très-peu, il pensait que la population s'y maintenait à peu près dans un état stationnaire, et qu en conséquence les pertes qu'elle faisait en individus dans les divers âges étaient sensiblement proportionnelles à la mortalité pour chacun de ces âges, ce qui faisait qu'on pouvait regarder les individus décèdes chaque année, comme s ils fussent tous nés la même année, et leurs âges respectifs comme indiquant \\ manière dont s'éteindrait successivement un pareil nombre d'individus ayant commencé leur vie si-

Ij4 TUAITT f.LÉMF.NTXir.F,

mullanémcul. Hallcy réuni l donc le nombre des morts arrivées depuis 1687 jusqu'en ^^9* ^ Brcslaw, distribua ce iionibre suivant les âges; alors retranchant du premier nombre celui des enfants morts à 1 an, le reste indiqua le nombre des survivants, desquels il retrancha ensuite le nombre des enfants morts à 2 ans pour obtenir celui des survivants, et ainsi de suite ; et afin de faciliter les calculs, il réduisit ces divers nombres proportionnellement à 1000, par lequel il représenta celui des enfants de i an.

La commodité de ce procédé supplée bien à ce qui lui manque du côté de l'exactitude, parce qu'on en peut répéter fréquemment l'application, et, compensant par la variété des lieux et des époques les erreurs auxquelles il est sujet, arriver à des valeurs moyennes suffisamment approchées pour présenter des résultats intéressants. Smart en a fait usage pour la ville de Londres, Dupré de Saint-Maur pour celle de Paris, et il a été appliqué à presque toutes les capitales et à beaucoup d'autres lieux. Mais dans plusieurs Tables, dans celle de Dupré de Saint- Maur, par exemple, il s'est glissé d'assez grandes inexacliludcs, parce que l'âge est très-souvent fautif dans les actes de décès : les personnes qui l'indiquent, ou le savent mal, ou ne donnent que le nombre rond le plus approchant; aussi Ton trouve souvent 60 ans où il aurait fallu 59 ou 58, et de là résulte dans le premier de ces âges plus de décès en apparence qu'il n'y en a eu réellement. Cette inexactitude est aisée à remarquer par la marche trop inégale des nombres (jui doivent se succéder dans la Table, et il faut tâcher de les corriger de la manière la plus viaisemblable, en régularisant les différences : c'est ce qu'a fait Saint-Cvran pour les Tables de Dupré de Saint-Maur (*).

Le concours de circonstances nécessaire poui' pouvoir

: ' ) Yores SOS i\cchcichcs sur les Rentes viai^ères, II'' partie, p. i3.

DFs rnoi! Ai'.ii iTi^;.s. 7 ":")

suivre les individus 1111 ;'t un n'a, jusqu'à ])r(;s('nt, eu lieu (|U(' par rapport à (pichpu-s classrs dont Tordre de niorl.ililé est Irès-dilVcrciit tic vr\n\ de l'universalité des lioninies : tel h.' était la elasse des rentiers viai^M'rs de Hollande, dont Kersehoom a dresse la Table de morlalilé, celle des rentiers viagers de France, connus sous la di'-noniinalion de lonllnicrs, et celle des relii;ieux de l'ordre des Ménédiclins, dont les Tables sont rouvrai;e de Deparcieux, etc. L'inicrêl du gouvernement, Tordre établi dans une congrégation d'hommes studieux donnaient aux registres de ces classes une exactitude et une clarté qui. en facilitaient beaucoup le dépouillement; mais aussi les résultats devaient être fort éloignés de ceux de la vie ordinaire. Ce n'est que sur des enfants paraissant bien constitués et, en général, sur des adultes bien portants f|ue l'on place en renie viagère. Ceux qui jouissent d'un pareil levenu tiennent, pour la plupart, une conduite uniforme et modérée qui doit prolonger leur existence; beaucoup sont célibataires : les religieux l'étaient tous et n'entraient dans leur profession cju'après être échappés aux dangers de l'enfance et de l'adolescence. Des Tables calculées sur de pareils individus ne sauraient donc servir (pie pour ceux cjui sont placés dans les mêmes circonstances ; c'est ce qu'on verra lorsque j'exposerai la théorie des rentes viagères. Les questions dont je vais d'abord ni'occuper sont seulement relatives à la vie considérée en elle-même et à la population, en supposant que les événements futurs se succèdent comme les événements passés, ce qui est permis, puisqu'on regarde le nombre de ceux-ci comme très-grand par rapport à celui des autres.

109. La plus simple de ces questions est la recherche des probabilités de la prolongation de la vie à chaque âge. Parexemple, la probabilité de vivre encore lo ans, lorsqu on est parvenu à làge de 4^5 s'obtient en divisant par

l~G TRAITÉ ÉLÉMEATAIRE

le nombre des personnes de cet âge le nombre des personnes de 5o, La Table de la Loi de ia mortalité en France, insérée dans V^nnuaire du Bureau des Longitudes, donnant pour l'un de ces nombres 369 4o4 et pour

l'autre 297 ojo, il en résulte -^^ = 0,805 environ; la Table dressée sur les registres de Londres par Price donne

-— = o,6q6; celle de Vienne par Sussmilch — - = 0,738:

celle de Beilin par le même 7; — = o.rAn : enfin celle des

campagnes, en Suisse, par Muiet, ^— ^ = o,852. probabilité plus forte que les précédentes.

\ 10. On cherche encore quelle est la durée de la vie probable à un âge donné : on entend par cette durée le nombre d'années après lequel la probabilité d'exister et celle de ne pas exister sont les mêmes et. par conséquent, égales à \. Il est évident que cela a lieu lorsque le nombre des personnes de Tàge dont on pari est réduit à la moitié de ce qu'il était. Si Ton cherche ce terme à compter de la naissance, on trouvera qu'à Paiis il tombe entre 8 el 9 ans (par les Tables de Dupré de Saint-Maur) -, à Londres, un peu avant 3 ans; à \ienne, un peu avant 2; un peu après à Berlin ; mais que ce terme est bien plus éloigné dans les campagnes. La Table de \'^nnunirey moyenne pour toute la France, le place entre 20 et 21 ans; celle d'Angleterre, entre 27 et 28; celle de Brandebourg, entre 25 et 26; celle de Suisse, à 4i aiis. Cette piodigieuse iliifércnce entre les campagnes et la ville ne saurait èiie attribuée qu'aux suites de l'extrême misère, à la malpropreté, au resserrement des demeures et à linsalubiiié qui en est la conséquence, dans Ks capitales. A Montpellier, \\\\e dont la population est d'environ 32 000 individus, et dont on regarde le séjour comme très-sain, le ternie dont il s'agit n'est cependant placé que vers 6 ans.

DKS l'IîOIl \I5I i.n F.S. I yj

L âge tic 4<* '''>^ lilaiil asst'z ordiiiaircinciil <t;liii où Tclal (.Vuu lioniinc est fait, où il commence h jouir du Iriiit (le SCS premiers travaux, on peut ôlic curieux de coiinailrc! la vie prt)l)al)Ie (|ui s'y i'a[)porte. Les Tables citées précédemment donnent, à Paris, plus de 21 ans; en France, terme moyen, 'ïi ; à ï^ondres, 18; à Vienne, plus de ly, à Berlin, de même*, en Suisse, près de 25.

La plupart de ces Tables ne s'étendent guère au delà de 90 ans, que 1 on doit regarder comme rextrème vieillesse, puisqu'il est très-rare, non-seulement de passer cet âge, mais de l'atteindre. Le rapport du nombre d'indi.vidus de cet âge à celui des naissances sera la mesure de la longêvitc dans le lieu pour lequel la Table a été construite. La Table de V Annuaire donne, pour la France,

= o,oo38: celle de Londres —=—-, = 0,0020: celle

de \ ienne ■ . ^ = 0,0020: celle de Berlin —, — = 0,0042, 1495 '4^7

et celle de Suisse o,oo5o : cette dernière probabilité, plus forte c|ue les autres, est encore surpassée par celle qu'ofïre la Table calculée par Gorsuch sur les registres de quelques paroisses de campagne, en Angleterre, et ({ui est de 0,0070.

On ne doit pas encore trop compter sur ces résultats, parce que le nombre des observations qui se rapportent aux derniers âges est très-pelil. Les Tables de Kerscboom, dressées sur les décès des rentiers viagers de Hollande, et celles que Deparcieux a déduites des registres des tontines de France, quoique se rapportant à des classes d'individus choisis, ne s'étendent pas jusqu'à 100 ans; la première

donne, pour l'âge de 90 ans, —^ — ■ =0,0071; la seconde, 0,0110 pour parvenir, depuis l'âge de 3 ans, à celui de 90.

Priée dit que la probabilité de parvenir à 60 ans est yx 4*^ édition . i 2

1 ^8 J r.AiTÉ r^,(.t%MtNTAini-:

(l.nis le i)avs de Vaud, -7^= en Ui aiidchouri?, ,— à lîicsliiw.

— h Beilin, -r- ;> l^ondres, -y- a Vienne {*). 3; 4^ 4'

111. Dans les Tables dont je viens de faire usage, les sexes sont confondus; cependant Tordre de mortalité n'est pas le même ponr tous deux; il vaiie encore suivant les professions et d\iutr(!s circonstances dont on coïistaterait l'eflel, en séparant les décès en classes relatives à chacune de ces circonstances. C'est ce (|ue 1 on a commencé de faire depuis qu'on a reconnu l'utilité de ce genre d'observations; mais les données manquent très-souvent sur les actes de décès, et quand on les y trouve, le travail du classement devient trop considérable lorsqii'il faut le recommencer sous divers points de vue. On 1 abrégerait beaucoup si 1 on faisait les relevés dans la forme ingénieuse imaginée par Condorcet pour enregistrer des faits ou désigner des objets par une combinaison de caractères qui en indiquent les principales propriétés (**)•

Quand on ne veut que saisir la marche des résultats, il est commode de substituer aux Tables des figures où les nombres soient représentés par des lignes ou des espaces; ces signes naturels de la grandeur, la rendant sensible à l'œil, en peignent immédiatement les variations. Telle est la propiiété des courbes de mortaliic. C'est ainsi qu'on nomme celles qui se construisent en élevant, sur une ligric divisée en autant de parties égales qu il y a d années dans la plus longue vie, des perpendiculaires proportionnelles

(") Tonie l^"" de* Mémoires pn'-senU's à l'InMtut, etc., p. ~^b.

("*) y oyez ses Elénicnis du Calcul des l'rohahiliiès, p. 3i. Si celte l'orme, dans l'explication de laquelle il n'a peut-être pas mis assez de rlarté, eut été bien saisie et ap[)liquec par quelque naturaliste, je ne doute pas qu'elle n'eut été bientôt adoptée, et qu'il n'en (ut résulté beaucoup (l'avantages, sans compter celui de lextrcme brièveté. C'est une espèce de dictionnaire où l'on peut trouver les mots par un assez, prand nombre d.' <lers.

UKS l'HOlJABIJ iTÉS. ] -m

au nomljiT d individus exislants à chaque âge. J-a ///'. i ollie ainsi la comparaison de trois Tal)l('s de iiiorlalilé, <'i la //^. 2, doiinée pai- M. Duvillaid dans ses licclicrclics sur les cnipritiils, lail voir la dinéience que celle des sexes apporte dans la mortalité observée à Genève.

142, Comme toute courbe continue peut être représentée par une équation, (piehjucs j^éomètres ont cherché à obtenir celle des courbes de mortalité, en liant par une formule algébiique tous les nombres insérés dans une Table de mortalité, l^ambert a trouvé que l'équation

représenterait très-bien la Table construite sur les registres de Londres, et, par analogie, M. Duvillard a pro~ posé d'employer en général Téquation

dans laquelle y désigne le nombre des individus de l'âge de .r, N le nombre total des naissances, t l'âge le plus avancé de la Table, e la base des logarithmes népériens, m, A et n des constantes qu'on détermine pour cha(|ue Table en particulier (*).

(*) Voyez les Beitrage, etc., de Lambert, t. III, p. 483, et les Recherches sur les emprunts, par M. Duvillard, p. 8, note; mais je dois faire observer que dans la première des expressions de^ rapportées ci-dessus, on y lit

3i,tJ82 ,. j i3,682

e ' au lieu de e ' .

Cette faute a été reconnue par Lambert, dans une lettre que les PP. Roberto Gacta et Gregorio Fontana ont insérée à la page Ivj du Discours préliminaire de l'ouvrafje qu'ils ont publie en 1776, sous le titre lie la Dotlnna degli azzanli, ecc .

l8o TI'.AITI-. IXÉMKMArRE

C/esl dans les premières années que la marclie des Tables parait plus irrégulière; mais bientôt le Tiombre annuel des morts devient constant pendant un intervalle detemps plus ou moins considérable. LaTable de Breslavv, par exemple, donne 6décès par an depuis 1 2 ans jusqu'à 22. 7 de 22 à 29, etc., et pourrait ainsi se partager en progressions par diflércnce. Moivre a trouvé que, sans trop s'écarter de la vérité, on pouvait n'établir qu'une seule progression depuis l'âge de 22 ans jusqu'à celui de 86, auquel il a placé le dernier terme de la vie. regardant les âges plus avancés comme des cas trop rares pour qu il soit nécessaire d'en tenir compte. Cette progression, avant pour différence l'unité et se réduisant à zéro à 86 ans. donne pour les âges précédents un nombre dindividus égal à l'excès de 86 ans sur chacun de ces âges, excès que Moivre appelle complément de vie. A l'âge de 5o ans, par exemple, le nombre des vivants est 36, la probabilité de