îG

vivre i an — ^) et celle deu vivre 10 tt-:- De cette loi ré-

suite la formule très-simple >=: 86 — x (*).

113. Après avoir considéré les questions qui se* résolvent presque à vue, au moyen des Tables de mortalité, je passe à celles qui demandent plus de calcul. La première dont je m occuperai est la recherche de la ivV? moyen fie. L'idée parait en être venue d'abord à ISicolas Rcrnoulli, en appliquant à la durée de la vie la formule de l'espérance mathématique, admise pour l'évaluation pécuniaire des hasards (Oo et "0) {**). Puisque chaqutindividu, pris en particulier, peut se flatter de parvenir à l'âge le plus avancé, respérance (ju il a sur toutes les années qui doivent s'écouler jusqu'à cet âge se mesurera en multipliant leur nombre par la probabilité d'y arriver.

(*) Vorc: le Trcaiisc of annuilics qui suit \a Doctrine qfchnnrr ( ** ) Aclorum rrudiloruiu Supplcmenta, X.. IV", p. \'.)C).

DliS l'IlOUABlLITÉS, iSl

Je prendrai un exemple dans la Table dressée par Deparcieux. On v trome cpTanx àj^'es <le

années, il reste

M), .>.2, iG, II, 7, 4, ■>. , I, O

individus ; et, à cause que les décès ont lieu à tliveises époques de l'année, on prend le milieu de Tannée pour leur époque commune. Dans cette hypothèse, la. diflérence 7 entre les nombres d'individus existants à 87 et à 88 ans, indiquant ceux qui sont morts dans celte année, ne leur assigne que 6 mois ou 7 année de vie^ et, en continuant sui" ce pied, on trouvera (ju aux durées

1 3 5 7 1) If 1 3 1 5

années, répondent

individus. Cela posé, 1 un quelconque des 29 individus de l'âge de 87 ans pouvant se trouver dans Tun quelconque des groupes ci-dessus, aura, pour atteindre les durées correspondantes, les probabilités

multipliant donc ces fractions par les durées correspon-

dantes, et ajoutant les produits, on aura = 2 ans

8 mois pour l'espérance de vie à l'âge de 87 ans.

La partie de l'opération ci-dessus, dans laquelle on

multiplie d'abord les nombres 7, 6, etc., par les fractions

correspondantes -1 -•> etc., et Ion ajoute les produits.

revient évidemment à calculer la durée collective de l'existence des individus de chaque groupe ; et en divi-

iSa TRAITÉ ÉLÉME>TA1RE

,55 sant le résultat par le nombre 29 des individus.

on répartit également cette durée à chacun.

Si 1 on substitue aux nombres j. 6, etc.. les expressions équivalentes 29 — 22, 22 — 16, etc., et qu'on ne fasse

qu'indiquer les multiplications par les durées -? -■> etc., la somme des produits sera représentée par

- (20 — 22) H (22 — 16) H (16— I II -I- -(il — 7

+ -(7-4) + -(4-2) + — (2-1;+ — fi-o^.

ce qui se réduit aisément à

- • 29 + 22 -h ib -t- 1 1 H- 7 + 4 H- 3 -f- 2 -h I ,

et il ne reste plus (ju'à diviser par 29 la somme des termes, à partir de 22, nouibre d'individus correspondant à 88 ans, puis aujouter ^ au quotient.

Cette règle, indiquée par Deparcieux, est générale, en sorte que si a, a\ a", a''', a'^ désignent les nombres d individus vivants à des âges consécutifs (a"" étant le dernier de la Table), \ la vie moyenne, à partir de l'âge correspondant au premier nombre «, et ^ ' à partir de 1 âge a', on aura

tirant de la seconde expression la valeur de a"-t-« '+«", pour la sui)stiluer dans la première, il viendra

formule (pii , faisant aisément trou\er\ pur \ ', serait commode pour (.dculer les vies nmxcnnes rorrespon-

i)i;s nioiiAiJii.iTÉs. I bJj

ilaiilcs ,iii\ (.livcrs àjjcs , en comn^filiçanl pai le plus avaiKC (* ).

I I i. C'fsl par la duiro de la vie moveniic' »juc Vum compare, sons le ia|)p()rt de la vilalité, les âges, les lieux et les épocpies. l'-ii France, on trouve poni" celle durée, à partir de la naissance, 28 ans 9 mois (suivant la Tahie de V yJ /lunaire) ] à Londres, ly ans 11 mois; à \ienne, if) ans y mois; à Berlin, ly ans i mois; et en Suisse, 3j ans I mois.

Les sexes olî'rcnt aussi à cet égard une ditrérence assez considérable. M. iMouigue a trouvé, d'après 21 ans d'observations, qu'à Montpellier la vie moyenne, à partir de la naissance, était de 26 ans 3 niois 20 jours, en prenant collectivement les deux sexes ; mais qu'en les distinguant, celle des hommes était de 24 ans 3 mois et i5 jours, el celle des femmes de 28 ans 3 mois et 28 jours (*''')•

Ce n'est qu'après avoir passé les dangers de la première enfance qu'on arrive à la plus longue espérance de vie. L'âge auquel correspond cette espérance, ou à partir duquel la vie moyenne a la plus grande durée, varie suivant les lieux, et indique ainsi lépoque de la vie que le pays ou les autres circonstances caractéristiques de la Table favorisent le plus. En France, la Table de V Annuaire donne, pour ce maximum, 43 ans 5 mois, et le place à 5 ans ; celui de la vie probable y est de 45 a»s 8 mois, et se trouve i an plus tôt.

Les observations sur la mortalité ne remontent pas

(*) La formule ci-dessus est tirée de la Théorie analj liijue des Pi ohahilités, p. 4"-

(**) Mémoires présentés à la première classe de l'Institut pnr des Satants étrangers, t. 1*"^, p. 'ji-'/'i-

Pour se procurer un grand nonibrede Tables de uiorlalilé, il faul compulser les ouvrages conceniaiil les rentes viagères, les assurances sur la vie, elc , et particulièrement the Doctrine of life annuities and assurances, liy Francis Kaily, Traite «ini a dcja eu plu^icuis odiCions.

j84 thaité éli;me.maire

assez haut pour qu'on puisse comparer les temps un peu anciens avec le temps présent. 11 paraît cependant probable que les progrès des arts et des sciences, en multipliant les commodités de la vie, en ont augmcMité la durée moyenne; et la ville de Genève ofire déjà quelques traits qui le prouvent. Au xvi" siècle, la vie moyenne n'y était que de 187 ans; au xvn'' siècle, elle s'était élevée à 23 j; au xviii® siècle, elle s'est accrue jusqu'à 32 | ans. Il eu est de même pour la vie probable (110) : elle était seulement de 47 ans au xvi" siècle; de 1 1 | au xvii'", et surpassait 27 ans au xviii" siècle (*).

115. La Table de mortalité sert encore à déterminer la manière dont la population se compose par rapport aux âges. En supposant toujours {|ue l'état de celte population soit sialionnaire, c'est-à-dire que le nombie des naissances annuelles soit à très-peu [)rès égal à celui des

(*) Voyez dans la Bibliothèque britannique, t. IV, p. SîS, un Mémoire de M. Hodier. Ces faits sont rapportés aussi par M. Mallhus, dans son Essai sur le principe de la population, t. H, p. 3i de la triiduclion fran- (^aise .

Ils sont les seuls résultant d'observations connues; mais le Digeste, liv. XXXV, til. II, § G8, Ad legcnt Falcidiani, nous oflVeun commentaire dans lequel, pour évaluer le pris de la jouissance des pensions [aliments ' qu'un testateur assigne à des légataires pendant la durée de leur vie, Ulpien indique les nombres ci-dessous :

Ages. o, 20, 20, :5o. 35, /|0, 4'j i^. •'|3, /|/|, ^3,

Vie future. 3o, 2<S, -jf), 22, 20, 19, 18, 17, 16, i5,

Ages. 45, l{(). 4/. 48, '19» 50j 55, 60 et au delà.

Vie future. i!\, i3, 12, 11, 10, 9, 7, 5.

11 laisse ignorer d'ailleurs sur quoi sont fondées ces déterminations, qui ne paraissent pas très-régulières.

(]et exemple n'est pas le seul qu'on ail de l'utililé des résultats des probabilités dans la science du droit. La li.valion du temps après lequel «m doit présumer légalement la mort d'un absent qui a cessé de donner dises nouvelles a été l'objet d'une thèse de Nicolas Bernoulli, insérée dans les Actorum cruditorum Supphmenla, t. IV, p. i5i). Vfi.ïc; au.ssi l'article AlisENT dans le Diilionnairc dr tiuilhcmaliqucs de l'l'nc y clopèdie méthodique .

t)i:.s l'KOltAliU.I I KS. 18")

décès, t'I coiislaril, il sullil, ptmr Irouvi-r le nomhic de-, individus exislaiiLs dans iiii /igo doniu-, do calculer par la Table de moilalllé combien, sur le nombre des individus (jui naissent annuellement, il en doit rester à cet âge : ce sera le nombie demandé.

Si Ton prend le nombre de naissances marqué dans la Table pour celui des naissances annuelles, et qu'on ajoute tous les nombres de celte Table, on aura le mon tant de la population correspondante aux naissances el à l'ordre de mortalité ([u'elle représente. Puis, si l'on relranclie successivement de celle somme le nombre des naissances, celui des individus de i an, de 2 ans, etc., le reste exprimera le nombre des individus compris depuis i an, 2 ans, etc., jusqu'au terme de l'existence. C'est ainsi qu'a été formée la Table insérée dans \\4nnuaire, sous le titre de Loi de la population en France. Pour plus d'exactitude, d'après l'observation faite dans le n° 1 13, on prend, au lieu des nombres marqués pour chaque année, le milieu entre deux années consécutives, afin de rapporter les décès à la demi-année, qui en est l'époque moyenne.

Ce partage de la population suivant les âges est peutêtre le résultat le plus important à considérer dans l'estimation de la prospérité d'un Etat, si, comme M. Malthus paraît l'avoir prouvé, le nombre des naissances, augmentant beaucoup dès ([u'il s'est fait un vide dans la population, même à la suite de fléaux destructeurs, n'est pas [)ropre à faire juger des progrès de celle population et de sa force réelle. En effet, cette dernière lient au nombre d'individus dans la vigueur de Tàge, et dont toutes les facultés sont développées autant que le permet Télat de la civilisation, secondé par une bonne distribution des moyens d'existence. Une nation parvenue à cet état doit 1 emporter sur celle où il naîtrait plus d'enfants, dont la [HM'le, très-nuiltipliée, se réparerait aussi très-aisément,

1 O!) T R A n F. ÉLltME> TA 1 K K

mais (|ui, parcelle dcàlnii-lion préniatuiée, Ibiimii ail t-ii proporlion niuiiis de siijels pour l âge aiJullc. Lu accroisseineni dans cette partie de la population n'esl qu'une charge pour l'Etal.

116. Les divers problèmes dont la solution est indiquée dans les numéros précédents, en suj)posant que la population soit stationnaire , ont été traités par Euler, en ayant égard aux changements qu'elle pourrait recevoir, par la dilTérence entre le nombre des naissances et celui des décès (*). Je vais montrer comment on parvient à quelques unes de ces formules, tant pour contirmer les principes posés dans les n"* 108 et Ho, (pie pour donner VI ne idée de ce genre de reclierches.

Soit P la population à une époque donnée, ^l le

nombre des naissances, M celui des morts, P', Zs', M',

P', etc., les nombres analogues pour les années sui-

vantes, et faisons — = n, — = m- il viendra

IN iM

P = i\«, P = UiJi, N = - , M = —

(l ou

ni/i

Si Ton suppose constants les rapports // et ///, on auia de même

et la po[)ulation sera croissante ou décroissante, scKki (|ue ni ^ n ou m <^ n.

Si, pour abréger, on lait i H := q. it tpio tians

les équations

(*) Mémoires di' l'Acadcmic </<■ Berlin, aniiro l'tio, p. l'iJ.

DKS l'UOBAUlLI II.S. lJ{-

oii luellt! pour P', P", etc., leurs valeurs IV/, V(/\ et(-., |)uis pour P sa valeur «N, loules les équations lot inées ainsi seront divisibles par n el douneront

ou obtiendrait de même

]M'=IMr/, M"=M7-,

Ces formules font voir que dans l'hypothèse établie la population, le nombre annuel des naissanees et eelui des ilécès suivent tous des progiessioiis par (juotient, dont la raison est la même. Il suffit donc de connaître par Tobservaliou deux teimes consécutifs de rime de ces progressions pour en déterminer la raison; et rien ne sera plus aisé ensuite que de trouver en combien d'années la population s'est accrue dans un rapport donné.

Soit .V ce rapport et /'le nombre d'années écoulées depuis l'époque de P: on aura l'équation

Pry'" = 5P ou f/''=s; et. prenant les logarithmes, on obtiendra

La rapidité de raccroissement de la population dépend en grande partie de l'espace libre et productif sui' lequel elle peut s'étendre et de l'augmentation des subsistances. Les Etats-Unis d'Amérique, réunissant ces deux avantages, paraissent doubler de population en vingt-cinq ans. On a lieu de croire que cet accroissement pourrait s'opérer en quinze ans dans le cas le plus favorable ('''),

C) Essai sur le principe de la population, par M. Malthus, t. I, p. G-7 de la traduction française, et t ■ 11, p. 2/|0 et siiiv.

Dans VEssai politique sur le royaume de la Noui'elle-Espof^nc, par IM. de Humboldl (p. 63 de l'édition in-4")) "" trouve rpie le nombre uniiuel des morts étant représenté par 100, celui des naissances éfait 1 to en l-^rance, i30 en An[jloterre, i3o en Suède, 160 en Finlande, 16G eu

j8S ïllAITÉ ÉLÉME^TAIIIF.

\\1. Au moyen des relations obtenues dans 1 article précédent, on détermine facilement la loi de mortalil»'lorsqu'on connaît Ps , q, M, et comment ce dernier nombre se décompose suivant les âges, c'est-à-dire si Ton a le nombre des morts de cbaque âge à l'époque donnée. En désignant par

le rapport entre le nombre des individus de i , 2, '6, etc., ans et le nombre des naissances, et par

le nombre des décès avant Tàge de i, 2, 3, etc., ans, on aura d'abord

•', = — j^ — -j don Mo=>(i — •',).

Si l'on remonte à l'année ([ui a précédé l'époque des

N nombres P, N, INI (H6), on trouvera - pour le nombre

des naissances d'où proviennent les enfants âgés de 2 ans :, suivant la loi de mortalité, ce nombre a dû se réduire à

- ^'i dès la piemière année, et à la deuxième devenir </

- t', : on aura donc iiour la mortalité, entre la premiùie y '

et la deuxième année,

llemontant ensuite à deux ans avant 1 époque doiincc

tlussie, )8o dans la Prusse occidcntalo, 210 dans le gouvernoiiiciit de l'obolsk (d'après M. Hermanii;, 2!5o dans plusieurs parties du liant plateau du Mexique, 3oo dans TÉtat de New-Jersey ( États-Unis \

Cependant il faut observer que l'excédant des naissances sur les inoripourrait n'être qu'apparent dans plusieurs contrées dont !>eaucoup d'individus sortent poui' n'y jamais rentrer; par exemple, les soldats enrolepitiir liMile leur > ie

r.i'.s l'r.oiiAbii.n Es. iS()

poiii ;iiii\ci à la iiaissautH' tics ciiljMis de '.\ ans, le

iionibic coricspoïKlaiit des naissances osl — : iJ se icdnii

;i — »'<, a la donxienie année, puis n — i'3 a la troisième :

(loue la inorlalilé (3nlrc la deuxième et la iroîsième anm'c

sera --{t'o — v-^)^ el, [)ar conseijuenl,

En continuant ainsi, l'on trouvera toujours des é([uaiioiis. de même forme, desquelles on tirera successivement

M, 7^ M„ H- M, 7 4- Mo 7=

!Sl, 7^ ^!„ 4- M , 7 + I\] , 7= -j- M, 7'

Lorsque (j=zi, on a M = iN , et les expressions cidessus se réduisent à

Ni',= M — M„ — M,,

jS <'3 = M — Mo — M, — M-, ,

N .', = M — Mo — M , — M, — M, ,

c'est-à-dire que la Table de mortalité se déduit du no:nbre de décès partagé suivant les âges, ainsi qu'on l'a indif[ué dans le n" 108.

118. Quand la loi de la mortalité est connue, celle de la population se détermine de même, en remontant aux naissances antérieures à l'époque de P, et réduisant clia-

1C)0 TKAITÉ ÉLÉMEN'TAIRK

l'un (Je CCS iioiubies suiviinl Jes années écoulées. Si l'on prend loo pour le leime de la vie, on aura, pour les âges

o , I , ?. , '^ , - . . , I oo ,

les nombres d'individus

^'. -"i, —''2, — ('3,..., -;7„''.oo,

et, par consé([uenl,