I 1 I III

1 ''i j - "i H •';.,•••» - •'..o H «'lOo , - <'io« ,

2 2 ?. Pi 2 2 2

la lonnule ci-dessus se change en

P = IN' ( - + f, -h <■. 4- - . . -h '-,00 ) ' qui est la règle indiquée dans le n" 115 (*).

( " ) Si la loi de morlalilé était exprimée par une foirmile comme celle de Lambert (112), on pourrait cesser de s'astreindre à jilacer tons les décès annuels à la même époqne, et supposer <|ue lextinction des individus se lait d'une manière continue pendant toute la durée de l'année; mais il faudrait substituer des ditlérentielles et des intégrales aux quanlités et aux suites rapportées dans le texte, ainsi qu'on peut le voir dans la Note ni et dans l'ouvrage publié par M. Duvillard sous le titre d'.lnulyse cl tableaux de l'injluencc de la /'ctitc vcrolc sur la ntortalitè. C'est de la première Tal)l<' «le cet oiivrai;e qu'ont été extraites celles de YAnnuairc que j';ii riloi>s.

i)|-.-< riKiii \i;i i.i ! l's. 1 (j I

Il Caul encore r('m.u([iu'i' (jiu- l(; polynôme (jni niulli- |)lic JN dans ré(|i.ialion ci-dessus exprime la durée; de la vie nioyeiHU! à partir de la naissance (113), el (jue, pai consé(pienl, celle durée sOblienl aussi en divisant la population j)ar le nombre d<îs naissances {*)

1 lî). Il.dicy [)arail être le premier cpii ait fait voircom- Mienl on pouri'ail conclure d'une Table de mortalité les probabilités ilc l.i durée de la coexistence de plusieurs individus, de la durée des mariages, [)ar exemple, connaissant 1 âge de chacun des membres de l'associalion. Son procédé n'est aulie r[ue c(;lui de la formation des pîobal)ilil(''s composées (K»).

Pour en montrer l'a pplica lion au sujet projiosé, cherchons les diverses probabilités relatives à lo années d'association d'un individu de 25 ans avec un de 20. Il pourra arriver : ou ([u'ils existent encore tous deux au bout des 10 années, ou qu'un seul vive, ou (jue tous deux soient morts. La Table de morlaiilé de V Annnnirc, réduite sur le pied de 1000 naissances, donne pour vivre 10 ans, à partir de 25 ans,

la prohabilitç - — , sa contran-o i — y — =^ -. — : ^;i 47. 471

à paitir de 20 ans,

la nrobaUilite - — . sa contran-e i — - — =

De ces probabilités simples résultent les probabilités con-i-

(") Dans loul ce qui précède, on a supposé qu'il n'arrivait aucun changement à la population par le déplacement des individus, ou que ceux qui venaient habiter le pays compensaient exactement ceux qui le quittaient. Pour voir comment on tiendrait compte du mouvement extérieur de la population, on peut consulter l'introduction que M. Fourier à mise à la tète des Recherches atalistiquis sur la ville de Paris et le drffartriUfiil ilf lu Scinr\ 1821.

lya rv.AiTv. éj.é.me>tairi:

posées

-J — - • -^ — f|u ils exislcronl (mK (l<ii\ .

-— ^ • •= — une le plus a:'e sera mort, 471 502''"

-7 — • -^ — que le plus leunc sera mort,

-—- • - — que tous deux seront morts.

En général, si e et e' désignent les probabilités de l'existence de chaque individu au terme de Tassociation, JclJ' les probabilités «ontraires, le développenient de

{e +/) (e' +/') =. ec' + c'/^ rf ^ ff = X

donnera

ee', rf, cf , ff

pour les quatre probabilités énoncées ei-dessus. Quand on cherche seulement la probabilité que 1 un quelcon(|nc des deux individus existera encore, on a

ce (|ui est plus simple lorsque les nombres^ et /' sont les plus petits.

120. Avec ces probabilités, on peut dresser la Table de mortalité particulière h. chaque association 5 si Ton en suppose, par exemple, 1000 formées à la fois, et que les probabilités simples ^, e\ f^ f se rapportent à la première année écoulée depuis, il v aura à la fin de cette année

1000 ec' associations qui subsisteront encore, 1000 r'y associations où le plus jeune survivra, 1000 cf associations où le plus âgé survivra, xooo ff assoiiations où tous deux seront morts.

Calculant les mêmes nombres pour chaque année, on for-

DIS IMîdl! UHLI'II^S. HjS

inrra mic TaMc |i:ii('illt' à ccINî fjiic iM. Dmillard a coiihlriiitc ]u)iir les mariai^cs sur les regislrrs (K; la ville de Genève (*), et h l'aide de laquelle on délerriiinera la iIidi-c. prohahic et la durén mo) enne de l'association, comme la vie probable et la vie moye/ine par la Table de mortalité des individus (110 et 413).

Pour donner plus d'exactitude à sa Table des mariaj^cs, M. Duvillarda pris e et y suivant la loi de mortalité particulière aux hommes, e' cl f suivant celle des femmes; mais ce soin, auquel il s'est borné, faute de pouvoir faire mieux, laissait encore quelq.ue incertitude; car, dans les Tables ordinaires de mortalité, les décès des individus mariés sont confondus avec ceux des célibataires, et il y avait lieu de présumer (jue l'ordri^ de mortalité n'(;st pas le même pour ces deux classes.

Le dépouillement des registres de la paroisse de Saint- Sulpicc, l'une des plus populeuses de Paris, avait présenté à cet égard un fait remarquable : dans le résultat de 2y années, le nombre des hommes célibataires et celui des honunes mariés ou veufs de tout âge étaient dans le rapport de i à 2 ; mais à l'âge de 90 ans, ce rapport n'était plus que de g à 43, pres([ue de i à 5. Le nombre des filles et celui des femmes ou veuves de tout âge étaient dans le rapport de i à 4; mais à l'âge de 90 ans, ce rapport n'était plus que de i4 à 109, presque de i à 8 (**)•

Les mêmes différences ont été remarquées en Angleterre et en Suède; ainsi il n'y a pas de doute que des Tables construites avec des observations faites immédiatement d'après les mariages mériteraient la préférence sur les nombres conclus par le procédé indiqué ci-dessus,

(*) Recherches sur les emprunts, p. 6o. Voyez aussi dans les A'oiu Comnwntarii Acad. Petrop. , t. XII, p. \)(j. tin Mcmoiro de Daniel lîcrnoulli sur le même sujet.

(**) Page xxxij du Discours préliminaiie de la Dullrina drf;li azzaidt dpjà ritée en note, p. 179.

4" édition. i3

Cl dispenseraient en outre de tout le calcul nécessaire pour obtenir ces derniers (*).

Voilà un exemple très-frappant et très-simple de ce que j'ai annoncé dans le n'' 107 sur 1 a\antage des observations directes. Tant qu'où u'a connu, dans chaque lieu, qu'une loi générale de la mortalité, il a fallu supposer (jnelle convenait à peu près aux deux sexes: a-t-on fait la (lislinctiou des sexes, il a fallu supposer encore que la mortalité des personnes mariées différait peu de celle des célibataires; mais l'observation particulière de la durée des mariages et de leur dissolution dispense de toute hypothèse, eu donnant immédiatement les probabilités dont on a besoin.

121. Les recherches svu' les probabilités de la vie humaine ont trouvé une application bien imporlanie dans les disputes qui se sont élevées sur linoculation de la petite vérole. Il y avait à résoudre deux questions décisives : premièrement, il fallait montrer combien l'inoculation coiiscrvalt d individus , afin de faire connaître de quelle utilité elle pouvait être à la société; et, considérant ensuite le sujet sous le rapport de l'intérêt personnel, il fallait balancer le danger que cette opération faisait courir à l'individu, suivant son âge, sa constitution, avec le danger de mourir de la petite vérole naturelle, plutôt que de toute autre maladie. Le premier de ces dangers, étant actuel, devait frapper beaucoup plus l'imagination que le second, réparti sur toute la durée de l'existence, et ne paraissant ([ue dans l'éloignement. A celte distinction. d'Alembert voulait que l'on ajoutât la dilVércnce de prix que doivent avoir les années de la jeunesse, comparativement à celles d'un âge a\ancé ; mais ici on retombe dans ces estimations vagues cjui ne peuvent èlie l'objet d'aucun calcul exact.

{') Voj'ce le !•'•■ clianitro do l'onvrapc do M ]\:ù\\ liic on m.io p iS.i

DES IMlOllABILITÉS. 1(^5

On arrivcrnlt fan'icmciil à dos (l(''lni'ininnli(»ns précises sur l'une et l'aulro i\vs (|ucslions énoncées plus liant, si Ion connaissait le nombre des individus que la j)cliic vérole attaque dans chaque année, avec leur ài;e, le nombre de ceux qui en meurent, et quelle serait la probabilité de mourir chaque année si la petite vérole était éteinte. Ce dernier élément a «'té conclu des données précédentes et des Tables ordinaires de mortalité, en retranchant du nombre total des morts de chaque ài^e celui des morts causées par la maladie, et divisant le reste par le nombre total des individus existants à cet âge; mais cela suppose que les individus éteints par la petite vérole n'auraient succombé à aucune autre maladie, s'ils eussent été préservés de celle-là, supposition qu'on pourrait bien ne pas admettre. Il parait plus exact de comparer le nombre de décès occasionnés par d'antres maladies que la petite vérole, non pas à la totalité des individus de 1 «nge dont il s'agit, mais au nombi^e de ces individus diminué de ceux qui sont morts de la petite véiole, quoique ce ne soit pas encore tenir compte de la manière dont se seraient éteints ces derniers individus s'ils eussent été préservés de la petite vérole. Pour éviter ces objections, il faudrait déterminer immédiatement cette mortalité sur des individus soustraits à l'influence de la maladie. En choisissant ceux qui ont déjà eu la petite vérole, on pourrait néanmoins encore craindre que l'effet de cette maladie n'eût opéré dans leur constitution un changement d'après lequel leur ordre de mortalité ne fût pas le même que pour des individus préservés de toute autre manière; mais quoi qu'il en soit de ces difficultés, les résultats n'en conservent pas moins la même marche, et je ne les ai exposées que pour montrer combien le sujet est épineux. Je reviens aux données indiquées ci-dessus.

N étant toujours le nombre annuel des naissances, je désignerai par u'. f '. t'". etc., le nombre des individus

196 TKAITÉ ÉLÉMENTAIRE

(îxislanls à i, 2, 3, etc., ans 5 para, a', a", a'", etc., ceux qui sont attaqués de la petite vérole avant i, 2, 3, etc., ans, et par p., y.', y'\ \}."\ etc. , ceux qui en meurent. Le nombre de morts causées par d'autres maladies sera :

de à I an, ÎS — v' — ji, de I à 2 ans, v — v" — p', de 2 à 3 ans, <•" — <■"' — p",

Les probabilités de mourir de ces maladies seront, dans la première hypothèse,

N — ,/ — u. c' — .'" — p.' P"— ('"'— fx" ^^^ —7' ' T^r— '•■••

et dans la seconde,

N — p V— II' v" — fi"

En général, qu'elles soient déduites, soit de ces expressions, soit des précédentes, ou de toute autre manière, désignons-les par m, nt', m", m'" , etc. 5 après l'extinction de la petite vérole, un nombre N de naissances donnera N (i — m) enfants âgés de i an , N (i — ni) (i — vi') enfants âgés de 2 ans, etc., nombres (jui formeront la Table de mortalité rorrespondanle à cet état de choses; et en la comparant à la suite des nombres N, p"', u" , v"\ etc., on en déduira le nombre des individus qui sont conservés dans chaque âge, l'augmentation de vie moyenne gagnée par eux en pailiculier, et celle qui en résulte pour tous les individus. Connaissant d'ailleurs le rapport du nombre des mariages à celui des individus nubiles, et le rapport du nombre annuel des mariages aux naissances, on obtiendrait l'accroissement produit dans les naissances par lesindivldus conservés : ce serait le gain de la population; mais pour qu'il ail réellement lieu , il faut que la facilité de subsister croisse aussi dans le même rapport.

DES PUOBABli.ITÉS. igj

122. Dans l'ûlat présent, a individus prenant la petite vérole de o à i an, et |^ y suceombant, il résulte pour

celte première année les probabilités — de piendre la

petite vérole, — x- = b d en mourir (10), et — - —

de n'en être pas atteint.

Des N — a individus qui ne l'ont point la première année, la mortalité causée par les autres maladies n'en laissera que (N — a) (i — m) j sur ce nombre, a' prendront la petite vérole dans la seconde année, et ft.' y succomberont; ainsi on aura, pour celte seconde année, les

probabilités 7— r- r de prendre la petite vérole,

d'en mourir, et i

être pas attaqué. Le nombre des individus ([ui ne seront

pas atteints étant alors (N — <^) {^ — ^ï) — ^'^ se réduira

par les autres maladies à [(N — a) (1 — -m) — a' J (i — m'),

de la seconde à la troisième année. Eu continuant ainsi,

on calculera les probabilités correspondantes à chaque

année.

Si, pour abréger, on désigne par e', s'', s'", etc., le nombre des individus qui ne sont pas encore atteints de la petite vérole au commencement de chaque année, les probabilités d'en mourir seront, pour la première, la seconde, la troisième, etc., année,

les probabilités d'être du nombre des individus qui neii ont pas encore été attaqués seront, au commencement des années i , 2, 3, etc.,

igS iKAixÉ ÉLt;ME> r.\.ir,E

d'où, il siiiL que les probabilités lYcii mourir dans i. 2.

3, etc., ans, à partir de la naissance, seront

N ■ c' IS ' N ' IN

et en paiiant de i an .

fi P

résultats qu'on peut appliquer à toutes les années, en accentuant, d'après le numéro de ces années, les quantités € et p.. La somme

de ces probabilités, poussée jusqu'à la plus longue durée delà vie, donnera le risque de mourir de la petite vérole, rapporté à Tàge d'où 1 on part. Ce risque est celui qui devait être compaié au risque de mourir de la petite vérole inoculée, pour estimer 1 avantage que Tinoculation olTrait à l'individu qui voulait s'y soumettre.

123. Il serait aisé de tirer de ces calculs le nombre des individus de chaque âge qui meurent sans avoir eu la petite vérole, la durée moyenne de leur vie, et beaucoup d'autres conséquences, développées par M. Duvillard. dans 1 ouvrage cité. p. 190, mais dont le détail n entre pas dans mon plan.

Daniel Bernoulli, par son éminente sagacité, suppléa aux données précédentes qui lui manquaient, en s'ap- [juvant toutefois sur deux hypothèses que les laits n ont pas contirmées, savoir : que le danger d'être attaqué de la petite vérole était le même pour tous les âges, ainsi que le danger d'y succomber (*) 5 mais l'avantage était d'ailleurs si considérable, ([U il demeurait encore très-évident

(') Mèmc'irt'S ilc l'Àcailcmu- des Sciences df Paiis, aiiiiéo 1760, p. i

OEs l'uou \i;iMTi':s. i()ij

nialgrr ce délaut , (juc M. Duvillard, aiJt; îles ohsi'rvalioiis mulliplii'C's faites posléricuromeiit au Mémoire de Hci'iioulli, a ontièrciuent évité. Voici (juelqiics-iuis des principaux n'-sultals (ju il a obtenus.

Ou tiouve aux pages 142 et suivaules de son ouvrage : i*^ que dans l'état naturel, sur i 000 000 d'enfanis naissants, 85 685 nioui lont tùt ou tard (!e la petite vérole, et (jue la vie moyenne de ceux-ci sera de 3'"'% 9 ; 2" que si cette maladie avait disparu, la vie luoyenne des enfants de 4 ans s'élèverait à 44'"% 7i et que dans cet oidre tic choses, que l'auteur appelle Vclat non varioliqua^ la vie moyenne des enfants naissants serait de 32 j ans au lieu de 28 j ans (lli)^ la population, qui, poift* loooooo de naissances, ne monte ([u'à 28 ^63 000 individus, s'élèverait à 32 256 000. Tels seraient les effets de la yacc/«e, si la pratique en devenait générale. Et qui pourrait empêcher qu il n'en fût ainsi, puisqu'elle est d'une extrême facilité, qu'elle ue présente aucun dani^er, que le nombre des épreuves directes et inverses auxquelles elle; a déjà été soumise constate son utilité, par une probabilité très-approchante de l'unité, et appréciable par les calculs les plus simples ?

124. Ce n'est pas pour la petite vérole seulement «juc les médecins ont Ibrmé des tableaux d'observalious : il y a déjà quelques ouvrages où l'on a suivi cette méthode, la seule qui soit vraiment démonstrative, puisque la médecine ne se compose en grande partie que de iaits déduits immédiatement de l'observation, qui seule a fait remarquer et a constaté lellet des remèdes spécifiques les mieux reconnus pour tels. Les efforts de la nature se combinent de tant de manières avec les diverses méthodes curalives, qu'aucune de ces méthodes n'est peut-être entièrement dépourvue de succès, au moins apparents. C'est donc par la comparaison du nombre de ces succès

200 'IRAlJlt ÉLÉ.MKM AIRE

avec le iioiiihie total (l(;.s maladies traitées suivant chacjue mélliode, et des maladies abandonnées à la nature (si ce dernier cas pouvait av<jir lieu), ([u'on doit assigner le mérite relatif de ces méthodes et répondje aux objections renouvelées sans cesse contre la médecine. M. Pinel et plusieurs autres médecins ont fait connaître les résultats obtenus dans les hôpitaux où se traite; l'aliénation mentale. En 1789, iM. AV^illiam Black, médecin anglais, a publié la secondtî ('diliou d'une Analyse aritliincLiqiic et nnulicale des nuihidics et de la mortalité de Vespèce hunuùne ( An ariihnielical and médical Analysis, etc.). C'est par la continuation et l'extension d'un pareil travail que ron*pourra constater irrévocablement si la médecine fait des progrès réels : les hôpitaux, plus nombreux et beaucoup mieux tenus que dans le siècle dernier, odrent à cet égard de grandes facilités (*).

Des Jienles viagères et des Assurances sur la vie et sur les choses.

125. Les probabilités de la vie humaine, combinées avec l'accroissement des fonds placés à intérêt composé, ont donné lieu aux rentes viagères, aux assurances sur la vie, aux caisses d'épargne, et en général à toutes les spéculations par lesquelles on se procure, soit pour le présent, soit pour l'avenir, des avantages pécuniaires

C*) On a taiil calomnié l'esprit pliilosophique, c'est à-dirc la raismi appliquée à tout ce qui intéresse la société, qu'il doit être permis de rapl>(!lcr les faits évidents qui parlent en sa faveur. L'un des plus frappant» est l'amélioration du sort des malades dans les hôpitaux, due aux eflbrts d'hommes bien connus pour n'être mus que par une philanthropie purement humaine. C'est par leurs soins, et dans un temps dillicile, tju'a cessé l'entassement des malades dans un même lit à l'Wôfe/- Dieu, que les mesures ont été prises pour diminuer lu mortalité oiVrayante des enfants trouvés, qu'ont été formés des hospices sépares pour l'accouchement cl l'allaiiemenl, el beaucoup d'autres institutions d'ordre et de l>ieiifaisancc

IJKS IM'.OUABILITÉS. 20 1

dépendants des i:lian( l's de la inorlalilé. L imporlanee de (es lliéoiies a niulliplié beaucoup les (juestl(jns (pii s'y rapportent et les auteurs (jui en ont traité : on ne doit donc s'attendre à trouver ici cpie les indications nécessaires pour uionti'cr comment le sujet se rattache au calcul des probabilités ; et la solution des problèmes les plus simples suflira pour cela.

Considérons, prcmièremenl, chacun des i^ individus compris dans une Table de morlililé, à un âge donné, comme propriétaire d'une rente viagère .v, ou comme devant loucher annuellement celle somme pendant toute la durée de sa vie^ celui (jui est chargé de payer ces renies, et que je nommerai le banquier, donnera à la fin de la première année la somme v' s\ à la fin de la deuxième, v"s ; à la fin de la troisième, v'" s, et ainsi de suite, v' ^ v" , y"\ etc., désignant le nombre des individus existants h la fin de ces années. Si f représente le taux de rintérêt, ces sommes, rapportées au commencement de la première année [voyez les Elcnicnls d' jîlgèhre)^ deviendront respectivement

et ainsi de suite, jusqu'à Tàge où finit la Table de mortalité. Eu les ajoutant on aura la valeur totale de ce qu'ont dû payer les individus existants à la première époque pour acquérir ces rentes : chacun d'eux aura donc payé

qu'il serait trop long de détailler Ici. Dans ce xvu'" siècle si vanté, la mortalité de THôtel-Dieii de Paris était le scandale des étrangers : il y périssait plus de 3000 malades par an, faute de soins. (Voyez Essay tending 10 prove that in thc Hospilal cullcd THostel-Dieu uL Paris, there die ahove 3ooo per annum, hy renson ofill accomodalion (1C87); sèmerai Essays, etc.; by William Petty, édit. de 1755, p. 63.)

Le zèle religieux, comme la pitié, peut sans doute prodiguer les secours; mais la raison seule, les dispensant avec impartialité, établissant l'économie par l'ordre, sait faire participer le plus grand nombre d'individus au bienfait, et proparer dans le présent des ressources pour l'avenir.

202 TRAITÉ ÉLÉMEM'AIRK

pour sa pari ,

i' lu- ^ (n- f)' (• 4- ty j

La somme S est le capital de la renie viagère s\ c'est aussi la valeur moyenne des sommes payées par le banquier, réparties entre tous les individus de la Table, de manière qu'il n'éprouvera ni perle ni gain, si l'extinction des rentiers a lieu conformément aux nombres marqués dans celte Table.

La formule de l'espérance mathématique donne la même expression pour S, en ne considérant si 1 on veut qu'un seul rentier 5 car les sommes éveulucUes rapportées à la première épo([ue, étant

et les probabilités ([ue le rentier existera à la fin des

années

étant

son espéiai'.ce niallieinaîujue sera

[x + ty n-f-o' J

valeur de S trouvée ci -dessus.

li2G. Ces deux manières de mellre le pioblème en équation doivent rappeler les léllexions du n** 81. et montrer connnenl le sort de renq)rnnlenr ([ni se cliarue d une seule renU' viagère dillère de celui du banquier

DES l'KOltMtlI.ITKS. 'loi

payant un itoinbrc de rentiers assez considérable pf>ni- (jue leurs décès suivent l'ordic infrupié par la Table de niorlalilé. La première eiilicprise est bien basardcuse ; l'aulie. au contraire, Test peu. si toutefois la Table de mortalité a été construite ou choisie,' d'après la classe d'individus qui doivent composer les rentiers. Quand il s'agit d'un emprunt public à rentes viagères, on doit bien se garder d'employer la Table de mortalité générale, pour une grande capitale ; car ce ne sont guère que des individus clioisis qui s'intéressent à ces emprunts : aussi sont-ils très-onéreux à l'Eiat quand on donne le même taux sur toutes têtes, c'est-à-dire pour un âge que!con((ue, comme on l'a fait en France vers 1780, ce qui a produit la spéculation suivante.

Des banquiers , ayant remarqué l'avantage c[ue les femmes avaient à Genève sur les hommes, par rapport à la durée moyenne de la vie, en ont fait choisir par des médecins un certain nombre ayant déjà subi les épreuves de la petite vérole, de la rougeole, dont la constitution paraissait la meilleure, et dont ils pouvaient surveiller la conduite. C'est sur ces tètes qu'ils ont placé leurs fonds, dont ils ont formé un seul capital, divisé eu actions, par nu arrangeaient fait entre eux, de manière à pouvoir associer un grand nombre de personnes à leur spéculation. Recevant 9 pour 100 d'intérêt, ils pouvaient donner 7 pour xoo, ce qui était au-dessus de l'inlérèt légal, et les 2 pour 100 qui leur restaient, étant placés à intérêt composé, à 5 pour 100 seulement, devaient en 26 ans reformer le capital. Or la vie probable des femmes de Genève, prise à l'âge de 20 ans, surpasse beaucoup ce terme, puisqu'elle s'élève à 4oi t-'t de plus, comme ce n'est là que le terme moyen, pris sur toutes les professions, il V a bien lieu de croire c]ue celui des sujets choisis par les banquiers dont nous parlons aurait été plus fort, en sorte qu'on ne s'éloignerait pas beaucoup de la vérité

2o4 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

en prenant pour leur protit ce que serait devenu le capital au bout de 4" ans, et alors il se serait plus que doublé.

Ce n'est là qu un aperçu 5 car pour avoir la vraie mesure du désavantage de l'emprunteur dans le cas actuel, il faudrait connaître avec précision Tordre de mortalité des individus de la classe dont il s'agit, et calculer à quel taux devrait être l'intérêt de l'argent, pour qu'ils pussent obtenir g pour 100 en rentes viagères. La solution de cette question dépendrait de l'équation du n" 12o ; les données

seraient i^,u , u , t^ , etc.: on aurait s = -^ — -, Î5 disparai-

trait comme facteur conimuu aux deux membres, et il viendrait

ioocL'+^ (i-f-O' ('+0' J'

équation de laquelle il faudrait tirer la valeur de t, ce qui ne pourrait se faire que par des tâtonnements assez laborieux, si l'on n'avait pas déjà un grand nombre de Tables construites d'après divers ordres de mortalité, et pour divers taux d'intérêt

1-7. Il est évident que de simples opérations arithmétiques suffisent pour calculer la valeur de S et lésoudie la question directe, en avant même égard à une circonstance que j'ai négligée, pour plus de simplicité. J'ai supposé, dans la construction de la formule du 11" 125, que les décès des rentiers avaient lieu à la lin de chaque année ; mais comme il n'en est pas ainsi, et que l'on pave aux héritiers une partie de la rente proportionnelle au temps que le rentier a vécu, il faudra, pour compenser celte dilîerence, substituer-^ {^'~^^'') ^ *''■> ^ {^''-^^'") à ^^", etc. Si l'on voulait établir la loi de continuité dans les décès, il faudrait substituer aux nombres v, v'\ w"...., une expression générale de la loi de mortalité (112), et rcrouiir au calcul intégral. (/^ oi es la Note III.)

nKs Tiu)inmi.nY:.s. aoT)

Le plus souvent on n^ïniploic, poui' ahiéger le c.ilcul,

que la dislinclion iIcs périodos pendant lesquelles il est

permis de regarder le nombre annuel des morts comme

constant. En désignant ce nombre par ///, il vient

c' ~- V — ///, ('" = r- — 2 ni, <>'" = (' — 3///, . . . , ce fpii cbange la valeur de S en

Cette expression se décompose dans les deux suites

?i représentant le nombre d'années de la période. Si, pour

abréger, on fait ■= q, la première suite, qui est une

progression par quotient, deviendra

V-ï [ I + 7 H- 7' + . ■ . H- 7''~' ] = '/■'>■ '-, et la seconde se changeant en

asm ^ „ T

on posera

multipliant les deux membres de cette équation par ^,

il viendra