f- 2 7' + 3 7' 4- ... H- nq

puis, ajoutant au pieniier menil)ie la progression par quotient

et au second, — •> somme de celte progression, on

2o6 TRAITÉ ÉLÉME>TA1RE

oblicndra

1 + 27 + 37' -f- 4 7^ H- . . . 4- (« + I ) 7" = /7 -4- Observant alors que

I -+- 27 4- 37= + 47' + •••+(« -i- 07" = /+(« + O7". on formera réquaiion

doù 1 on déduira

Au moyen de cette dernière somme et de celle de la

premieie suite, on a en

fin

sni r i — 7"-*-' [n-hi]q''l ^ 1(1 — 7)' 1 — 7 J

fornitile où il ne reste plus qu à mettre pour fj sa valeur > et opérer quelques réductions, auxquelles je

ne m'arrêterai pas. En l'appliquant à chaque période, depuis l'âge d'où l'on paît jusqu'à la fin de la Table de mortalité, la somme des valeurs trouvées pour S' donnera celle de S. L hvpollièse de iMoivre(112) est commode en ce qu'elle ne fait qu'une seule période, à partir de 22 ans.

128. Comme le plus souvent c'est une Table de rentes viagères (jue l'on construit pour tous les âges, Euler, dans le Mémoire cité p. 186, a trouvé commode de dériver le

C) On parvient bien facilement à ce résultat par le calcul diflerentiel ; car il est visible que

On trouvera de nionie la somme des série,* analogues dans un ortlre

((ii('lc(iii<ii:c.

DES l'ROBAniLITI^.S. 20'J

taux relatif <à tin ài:;{>clu Inux iTlalilà Tà^c suivant. Si l'on snhsliliu' clos numéros Ini'cricurs tlésignanl les âges aux accents dont les r sont allectés dans la forinulo du n" 125, ou aura pour l'âge fi,

cl pour làge « + i ,

I + ^ {i-hty j

l'âge le plus avancé de la Table de mortalité donnant le dernier ternie de ces suites. Si l'on divise la seconde équation par I -f- /, qu'on multiplie les deux membres de la première par ^'„, ceux de la seconde par t^^+i, et qu'on retranche les produits terme à terme, il restera seulement l'équation

qui fera connaître S„ par le moyen de S,,^,, et pourra servir à calculer les valeurs du capital de la rente s, en commençant par l'âge le plus avancé. Assez ordinairement on fait.v = I franc, ou =100 francs.

129. Les rentes sur deux tètes se calculent d'une manière analogue, en substituant aux probabilités — , — ^elc, du n" 125, les valeurs successives de la quantité

ee' + c'f-{- tf = I —//' ,

qui, dans le n° 119, exprime la probabilité de l'existence de l'iniequelconquedesdeux tètes sur lesquelles la rente est constituée, ou bien en appliquant à une Table indiquant la loi suivant laquelle s'éteignent un nombre donné d'associations d'âges donnés, les considérations par lesquelles commence le n° 12o.