r n \ I T t K I. É M r . > taire

130. l/('.s|)('(:o (J(! toiilliti' la plus simple n'est au Tond qu'une annuité à lerme probable; car dans ce placement, où les rentiers suivivanîs liéritent de ceux qui sont décédés, le ban(juier paye tous les ans la mr:me somme, jusqu à l'entièie extinction de la classe des rentiers du même âge. Supposant que S soit la somme qu'ils or)l placée en commun, s celle que le banquier leur paye chaque année, et n le nombre d'années qui doit s'écouler jus(ju'au terme de la Table de mortalité, on aura [Êlém. d'algèbre)

quant à la somme v, elle se partagera entre les rentiers , suivant le nombre d'individus existants chaque année.

Lorsque la classe des lentiers est très-nombreuse, il est évident que le nombre /? est celui des années comprises depuis l'âge où ils font leur placement jusqu'au dernier âge marqué dans la Table de mortalité ; mais dans le cas contraire, le banquier leur ferait tort en reculant ainsi le ternie de l'annuité. Saint-Cyran propose de prendre pour ce terme l'antjée où il y a une probabilité -^ que tous les rentiers seront éteints ; dans le cas de deux rentiers, pai- exemple, ce serait l'année où la (.[uaulhéff du n" 1 19 se réduirait à j, c'est-à-dire le lerme de la durée prohahlc de l'association (*).

Si les rentiers ne devaient hériter cjue d une portion cUi revenu des décédés, de la moitié, par exemple, le ban-

( * ) Recherches sur les eni/irunts. II'" parlie, p. 48 Si l'on prenait celle niênic durée pour le terme des rentes via{;ères quelconques, le c.ilcul, réduit à celui d'une annuité, deviendrait beaucoup jdus simple; mais. excepté dans des cas très-rarep, il donnerait toujours des rentes plus faillies que le procédé du n" 125. Sous ce rapport il conviendrait peutêtre mieux au cas où il s'ajit d'une seule rente; car alors le banquier s'expose beaucoup : mais pourquoi le rentier ferait-il un contr.U de>avanta[;eux, quand il peut obtenir un taux plus considérable en prenant pari il (le nonit)rcux placements;'

i)i:s Huotuitii.ii Es. 'it»y

(|uiri- .Mirait à paver, à la lin de la |)i(iuit'Tc aiiiu'C,

I »'' H ■] = roules, à la lin de la seconde,

i^ -\ = 1 el ainsi de suite : on aurait donc

é(juation

et er.aque rentier touclierait les sommes ; a

r 11 •' - (<' + '')•*• 1 i- Il iiii (.le la première année, ;; — a la lin de la

deuxième, cte.

"131. La théorie des caisses d'épargne ne diffère pas beaucoup de celle des rentes viagères sur une seule tète ; et celle des caisses par le moyen desquelles on assure des pensions aux veuves ressemble assez à celle des rentes viagères sur deux tètes.

Dans les établissements de la première espèce, chaque associé donne, soit une somme une fois ])ayée, soit une somme annuelle, pour avoir droit à une pension dans un âge avancé, ou à des secours en cas de maladie. 11 est aisé de voir que dans le premier cas, si S désigne la somme donnée pour recevoir une pension 5, après un nombre /i d'années, les sommes étant rapportées à l'époque du placement, on aura l'équation

Si l'on pave des sommes annuelles S, S,, S?, etc., il faudra substituer à S la suite

«>, S, <sS..

C'est à ce cas que reviennent les retenues que l'on fait 4'' édition. i4

^lO IKAlTlL ÉLKMfc-M AIUE

aux einpiovés dans certaines adminislratious. pour leur assurer des pensions de retraite.

Si la caisse doit donner des secours en maladie, il faudra introduire dans le second membre les produits de ces sommes, rtkluites à la même épof[ue et multipliées chacune par la probabilité de les délivrer. Cette probabilité doit se conclure des observations faites avec soin, sur le nombre et la durée moyenne des maladies dans la classe d'individus à laquelle la caisse est particulièrement aileclée.

L'utilité de semblables établissements est si évidente, que de simples ouvriers laborieux et économes se sont réunis pour en former. Quoiqu'ils n'eussent pas tous les éléments nécessaires pour asseoir leurs calculs, et que leur petit nombre ne leur donnât pas autant d'assurance qu'une réunion plus considérable, cependant plusieurs de ces réunions ont prospéré. Toutes ont senti lavantage qu'elles auraient à s'étendre 5 mais, comme on peut le voir par les intéressants Rapports qu'a faits sur ce sujet, à la Société Philanlhropi([ue, M. Dupont de iSemours, presque toutes ont craint d'attirer les regards, de peur d'être atteintes par la versatilité des systèmes linancieis de l'Etat-, car ce n'est que par une grande sûreté dans les placements que ces caisses peuvent prospérer. L'idée de les lier avec l'administration du Mont-de-Piéié, comme l'a proposé M. Mourgue, dans le plan qu'il a présenté à l'Institut, serait très-heureuse si cette adminislralion, qui peut faire l'emploi des plus petites sommes, et dont les capitaux sont dans un mouvement continuel, demeurait indépendante des fonds publics (*).

132. La forme des caisses alî'eclées aux pensions tles veuves peut varier aussi de plusieurs manières: mais il

C* ) Vlan iTunc caisse de prèfoy atice et de secours.

i>K> l'itni! Miii.ri r.s. y 1 I

sullildc i<»iisi(U''r(M la loiiiic la [)lus siiiipir, pour jxiuvoir, au moyeu tic cv. qu'on a vu dans les articles précédents, se faire une idée de la manière de traiter les autres. Que ehaque homme maiié donuc, soit en se mariant, soit annuellement, une somme, sous la condition que s'il meurt sa veuve recevra, soit une somme, soit une renie donnée; on exprimera facilement les relations de ces sommes, en les réduisant toutes à la menu; épotjue, et en les multipliant ensuite par la probabilité de les jiay» i •

Si la eondilion est un seul payement à faire par chaque membre de Tassociatiou et par la caisse, il sullira de subslitui'r au nond)re i-*, dans la première écjuation du n° 131, le nombre ce' du n" 119, calculé d'après des Tables appropriées à la classe d'individus dont il s'agit, et aux nombres »'„, t'„^i , etc. , celui des femmes qui deviennent veuves chaque année, lequel est la différenc** des valeurs de e^^d'une année à 1 autre.

Si les payements sont faits annuellement, tant par les associés que par la caisse, alors c'est la seconde équation du n" 131 qu'il faut employer, en substituant aux u, ^^ , r, , etc., du premier membre, les valeurs successives de ce' (119), et aux i'„, i^„^i , etc., du second membre, celles de e'J", qui désignent le nombre de veuves existantes à la fin de chaipie année.

133. Ces exposés sommaires n'ayant pour but que de faire connaître les relations des diverses manières de combiner l'intérêt de l'argent avec les chances de la mortalité, et les moyens qu'on peut employer pour résoudre les questions qui s'y rapportent, je renvoie aux auteurs qui en ont traité paiticulièrement, à la tète desquels il faut placer Euler, pour son ouvrage sur les Caisses des veinées ; mais je ne dois pas omettre de faire observer que si, dans les emprunts, l'équité exige qu'on rende aux prèteuis tout ce ([ue leur assigne la formule de l'espé-

21 a TRMTÉ ÉLÉMF.INïAIRK

rance malhémalique, il n'en saurait être de même dans les caisses établies pour les épargnes, les secours, etc. Celles-ci ont des frais d'administration qui doivent être supportés par tous les membres de l'association. De plus, tant f[ue l'association est peu nombreuse, la caisse doit prendre qucKpie avantage, afin de parvenir à former un fonds qui puisse parer aux irrégulaiités que la succession des événements présente par intervalles, ou bien elle risquerait de se trouver hors délat de remplir les conditions qu'elle s est imposées. Elle donnera donc un intérêt moins fort que le taux ordinaire, ou feia une retenue sur les sommes payées par les sociétaires. La réunion de ces bénéfices, multipliés par les probabilités qui leur correspondent, compose l'avantage du banquier, comme pour la loterie et les jeux; mais sa détermination exige encore qu'on dislingue le cas où la caisse n'emploie à faire son service que les fonds (ju'elle a reçus, et celui où le banquier a entrepris, à ses risques et périls, de faire ce service sur ses propres fonds, au moyen du bénéfice qu on lui alloue (*).

(*) Après avoir négligé pendant lro[« longtemps d'irniter des établissements utiles que nous voyions prospérer chez nos voisins, nous paraissons nous y perler avpc un engouement que des spéculateurs s'efforcent de meUie à profit, en variant de toute manière les formes qui peuvent faire naître des espérances, ou plutôt des illusions enivrantes. Il serait doncconvenable qu'on répandît à ce sujet des lumières propres à éclairer sur <lcs déceptions qui peuvent nuire, non-seulemenl aux particuliers qui en seraient les victimes, mais aux établissements équitables et désintéressés, dont la conservation importe beaucoup au bien de la société.

Le point fondamental de ces instructions serait de faire connaitie avec précision la nature et les avantages des diverses formes de cumulations d'énargnes et de remboursements, afin ne montrer celles qui sont le plus favorables à Tintérêt des familles et à Tacquisition des habitudes qu'on doit encourager. D'abord on doit placer en première ligne les caisses d"'épargne dans lesquelles on reçoit de petites sommes pour les accunvuler, et rendre le produit entier à des époques plus ou moins éloignées, comme rétablissement des enfants, Page avancé du père de famille. Ici, lorsque Temploi des fonds de la caisse a été sage, il y a peu ou point de risques à courii ; le travail et la bonne conduite ont leur

DKS I'U01JAIUI.1TI^;S. a 13

134. C'est à te (U'iiiicr cas que se rapportent les coiiipa^Miies ({ui assiueiil les inaiehaiidises et les vaisseaux, conlie les ris(]ues de mer ou de guerre, les maisons, eoMtre les incendies, la valeur des récoltes, contre les intempéries des saisons, et en général tous les genres de commerce ipii d(''j)endenl d'évéiiem<:nls soumis au hasard. Celui qui se livre à de pareilles spéculations doit trouver dans le taux qu il exige, premièrement une probabilité

récompense, qui tourne lout entière au profit delà iamille, et par conséquent (le la société.

Malheureusement ce modo est trop peu produotif quand les économies qu'on peut faire sont faibles : on a donc voulu, pour en augmenter le résultat, les combiner avec les chances de la mortalité ; et considérant toujours l'activité et le travail comme la ressource immanquable et nécesbairo des familles peu aisées, on s'est borné à prépaier des recours pour des malheurs imprévus : de là sont nées les assurances sur la vie et les caisses des veuves, par lesquelles on assure à des survivants une somme une fois payée ou une pension pour suppléer, pendant un temps plus ou moins long, au travail du père de famille. De tels établissements se recomman<lent par eux-mêmes sous tous les rapports, puisqu'ils encouragent le sentiment le plus noble et le plus utile à la société, la bienveillance pour nos proches.

Que, p;ir des circonstances de leur vie, de:^ individus sans famille, ou n'ayant que des parents aisés, se décident, pour améliorer plus sensiblement leur position, à faire des placements viagers, ce mode, moins digne d'être encouragé que les précédents, est encore bien préférable aux tontines ; car, dans l'un comme dans l'autre, le fonds est perdu poui' les héritiers; mais du moins dans le premier, où le remboursement de ce fonds s'ertectue à mesure que la vie du rentier se prolonge, il obtient beaucoup plus tôt un revenu meilleur que celui qu'il tirerait de la tontiiie, et ne perd que l'espérance frivole d'un revenu exagéré, auquel atteint à peine un petit nombre d'individus privikgiés, ou colle d'une riche succession, encore plus difficile h recueillir.

Il n'est donc pas possible de voir dans les tontines autre chose que de vériiables loteries dont les inventeurs s'adressent à la cupidité des actionnaires, et à cette passion de tenter les hasards qui est la source de tant de désordres dans les jeux. Si les inconvénients des tontines sont moindres, c'est parce que le tirage, ou la décision du jeu, n'a lieu qu'à une époque Irès-éloignée; mais dès leur origine il a été reconnu que leurs chances n'étaient propres qu'à endormir l'activité de ceux qui s'y étaient intéressés.

A ces observations morales sur l'effet des tontines, relativement aux

2l4 Tl'.AlTÉ ÉLKMi:-VïAinE

très-considérable de ne pas entamer ses fonds au delà d'une certaine limite, afin de pouvoir continuer suffisamment sa spéculation: secondement, une probabilité assez grande d obtenir un profit au moins égal à l'intérêt que ses capitaux lui auraient rapporté dans un placement qui ne lui eût fait couiir aucun danger, plus un salaire auquel lui donne droit le travail quexige de lui son entreprise.

Le premier élément à déterminer ici est le risque de perte et la probabilité de succès. Il ne serait pas aisé de

romiers, il faut joindre la difliculic de les amener à l'élat d'un jeu égal, en les assujellissaiit aux règles du calcul des probabililés. Leurs auleurs, ne cherchant guère qu'à présenter des chances séduisantes, sans s'aslreindre à la détermination eiacle dt-s probabilités qui dépendent d'opérotions presque impraticables par leur longueur, se bornent à réunir les associt■^ en classes dont Pélenduc est l>-lle, que les plus jeunes ont sur les autres un avantage très-marqué; vient ensuite la dilliculté di; partager K .fonds a l'expiration de chaque classe ou de la tontine. Pour échapper à ces embarras, il n'y aurait qu'une seule manière, ce serait de ne grouper ensemble que des individus de même âge, dans les mêmes circonstances, d'assigner rhcritage de chaque classe au dernier survivant ; mais c'est un mode impraticable dans des associations formées d'un nombre peu considérabK' d'individus, et il est bien à désirer que ce nombre demeure toujours renfermé dans des limites très-étroites.

Parmi les raisons qu'on a fiil valoir en faveur des tontines, on n'a pas manqué de dire que, par leur moyen, le capital était conserve; mais peut-on dire que celui des rentes viagères soit perdu pour la société? Le rentier qui a eu plus d'aisance, consommant à raison de son revenu, a contribué au mouvenjenl de l'industrie et du commerce, et c'est là tout ce que la société peut demander en généra!. Que lui importe qu'un particulier devienne très-riche, tandis que d'autres languiront dans le besoin .' Le but de la société est, ou doit être, de distribuer le mieux qu'il est possible entre ses membres les douceurs que procure la civilisation, et non pas de les accumuler dans un petit nombre de mains, en favorisant l'établissement des grandes fortunes aux dépens des petites.

Ceux qui désireront plus de développement sur ce sujet pourront consulter le Moniteui du 4 octobre 1821, qui contient un Rappi rt fait à IWcadémie des Sciences, dans lequel M. Fourier a exposé avec étendue les principes rationnels pour juger les divers genres de placements. Quant au calcul et aux données sur lesquels ce calcul est fondé, nous renverrons à l'ouvrage que M. Francis Baily a publié sous le titre de ihc Doctrine nf lifc annuitics and assuiiinccf, rtc, déjà cité p. iS >

uKs i>iiOB.\iiiLrni:.s. 2 i f»

«lire coiimioiit 011 s'y est pris à l'égard des risques marilimes; car je ne sache pas qu'on ail dressé des listes exactes et longtemps coni innées des vaisseaux qui se sont perdus, ou (jui ont été pris dans différentes guerres. La construction et le dépouillement de ces listes exigeraient beaucoup de détail, [)uisque, dans la classification des événemetJls, il faudrait considéier le lieu et le temps, soit du départ, soit de l'arrivée, la force du vaisseau, celle de l'équipage. Le détail de la valeur des perles serait encore plus considérable, puisqu'on assure non-seulement le corps du navire, mais les marchandises qu'il porte, et qu'on répond des avaries que ce corps ou ces marciiandises peuvent éprouver. Il ne paraît même pas possible d'apprécier avec quelque exaciiiude celte foule de circonstances 5 mais il est vraisemblable que les profits du commerce maritime ayant été d'abord très-considérables, les négociants, dans la vue de se procurer des rentrées certaines, ont pu faire sur ces profits des sacrifices assez grands pour tenter des spéculateurs hardis. L'exemple des gains que ceux-ci ont faits leur a bientôt donné des concurrents 5 d'un autre coté, le bénéfice des marchands devenant moindre, et les dangers diminuant par le perfectionnement de la navigation, les uns ont appris de l'expérience ce qu'ils devaient abandonner, et les autres ce qu'ils devaient exiger, pour ne pas trop compromettre leur fortune (*).

(*) J'ai vu dans un Mémoire manusciil, dont l'auteur paraissait assez au fait de la pratique des assurances maritimes, que le risque en temps

de paix était estimé à -^ dans les cas les plus ordinaires, ce qui exigeait

une prime de i t pour 100. On trouve dans les Annales de Chimie et de Physique un extrait du Tableau des Régions arctiques, par M. Scoresby, où sont rapportés des fails qui donnent la mesure du danger de perte pour les bâtiments hollandais et anglais qui vont pêcher la baleine vers

le Spilzberg et la baie de Pafïin. Celait d'abord 4 sur 100 ou — pour

2l6 TP.AiTÉ KLÉM ENTAIT. E

Si l'on voulait appliquer aujourd'hui le calcul à ce genre d'assurances, il y aurait de grandes recherches à faire dans les porLs, pour se procurer des données exacies ; mais il v a tout lieu de croire qu'on n'en retirerait pas beaucoup de IVuit; car l'Académie des Sciences proposa trois fois ce sujet de prix, de 178^ à 1787. et ne put rien obtenir de satisfaisant. La théorie n'était pas difficile à établir, mais les faits ont toujours nian([ué -, et ensuite la considération d'un nombre fort grand de risques ayant des probabilités et des valeurs différentes aurait rendu les calculs impraticables, à moins que l'on n'eût réduit tous les risques qui offraient quelque analogie à un seul, d'une probabilité et d une valeur moyennes, ce qui aurait été moins exact, mais ce qu'il parait impossible d'éviter de faire, même pour les autres genres d assurances. Il aurait fallu aussi, dans la rigueur, faire usage des formules qui donnent les probabilités à posieriori; mais il n'était guère moins nécessaire de sacrifier encore ce point à la brièveté (*).

les Hollandais, dans les environs du Spitzberg, puis 1 sur 100 ou t— près

(lu détroit de Uavis, et maintenant moins do pour la llolle anglaise

des baleiniers qui fréquentent ces parages. {Annales, etc., t. XN IJI, p.4à-i Suivant le Mémoire manuscrit que j'ai cité plus haut, le risque d'incendie est estime pour les maisons couvertes en ardoises et bâties

uoooo

en pierres.

(") En examinant le sujet de plus près, la dillicultc parait augmenter encore; car les naul'rages arrivant en granil nombre par reflet des nuragans, la probabilité de la perte d'un navire ne saurait plus cire regardée comme celle d'un événement simple : il faudrait remonler jusqu'à la probabilité propre des ouragans dans leîle ou telle région, et la combiner avec la probabilité de la perte d'un navire dans ces circonstances.

On estime cjue dans Thiver de 1821 à 1822, il a péri environ 300 > navires et "jo oco hommes ; 25o bâtiments et 2 5oo hommes ont été engloutis sur les côtes du Danemark seulement {Bulletin des Annonces et des Moiivelles srieiuilitjiics, t. III, p. '^f\0 , n" 8, aoùl 1 823 ; exilait du Courrier iiiiglnif du (î mai).

DES l'UOllAlilLITi.S, '2 l y

\'X>. Va\ lédiiisaiil donc lu (jurslion à l'élal \r plus siinplc, Jie cousitléioiis qui; deux c\eiienienls, ruii enliéreiucut heureux, dont la jiiohabilité soit e, l'autre faisant payer par Tassureur une somme n, et dont la probabilité soit /'^ désignons par p le nondjre des vaisseaux assurés, et par b la somme que l'assureur reçoit pour chacun. Cela posé, la sonune îles teiines du développement de (e4-/)'', à partir du premier terme jusqu'au terme affeclé de e''~''J''i inclusivement, donnant la probabilité que le nombre des événements malheureux ne surpassera pas q (22), si l'on étend cette somme jusqu'au terme où elle cesse d'être moindre que la probabilité à laquelle l'assureur veut airiver, de ne pas outrepasser la plus grande perle c qu'il consente à éprouver, et que q' représente la valeur particulière de q à ce terme, q'a — pb sera la plus grande perle coriespondante à la probabilité lixée. En l'égalant à c, on aura l'équation

(j a — pb ^ r , il ou b ^= :

[)uis rcpiéscntant par g le gain que donne Topéiation, lorsque le nombre des événements malheureux est réduit à q" ^ on formera l'équalion

pb— q"a = g ,

dans laquelle mettant la valeur de pb, tirée de l'équation [)récédente, on aura

f/ a — c — rj a = i,-^ ou </ — </

ce qui, lorsqu'on se donnera ^, fera connaître q" par q', indépendamment de p. Calculant alors la probabilité correspondante cà la valeur de q", on verra si elle donne ime espérance suffisante d'atteindre au bénéfice que comporte la nature de l'entreprise.

Si cela n'était pas, on pnnrrait aui^menter cette proba-

■il8 TUAIÏÉ ÉLÉMEM'AII'.E

hilitc en preiianl pour l'exposant /^, qui maKjue le nombre des vaisseaux assuiés, des nombres de plus en plus

grands, afin que le rapport

devenant de plus en

plus petit, la somme des termes compris entre ceux qui sont affectés de ei'~'i'f'i et de ei'~''[f''\ et composant la différence des probabilités de perte et de gain, décroisse de plus en plus.

13(3. Pour bien concevoir l'usage de ces formules, il est à propos de se former une idée de la marche des valeurs qu'elles preiuient dans des cas particuliers : à cet

effet, j'ai supposé c

' f=77:7.^ ^^ J^' rapporte

ci-dessous les 12 premiers termes du développement

avec les sommes résultant de l'addi-

tion successive de ces termes.