SOMMES
des probabil.
o,oooo33
o,ooooo5
Dans ce tableau, qu'on peut regarder comme exprimant les événemenis de Tassurance de ?oo vaisseaux,
soumis chacun au risinu" de , la colonne nianiucc
prohdhiliU's indi(|ue celle de la [)erte isolée de o, i.
ni:s l'uoiîAiiiLiTi'.s. 2 K)
'i , . . . , : I I)ArniicMls, et la coloimr des Munnics^ la |)iiil)al)ilit('> ([uc la piTlc n ira [)as au delà du uoinhic iiHli(|n<'' dans la proinièip colorjtic.
En prenant la valeur tk- ;; vaisseaux, ou ^r/, pour la somme c, porte extrême, et supposant que l'assureur veuille obtenir une probabilité 1 00 000 contre i, que révénemcnt n'outre-passera pas celte limite, il faudra descendre jusqu'au terme ou la somme des probabilités surpasse 0,99999; ce qui a lieu au ii"' terme, qui répond à «7'= 10. Par ce nombre, Téqualioii
b = donne v =
c'esl-à-tlire i ^ pour 100 de la \ aleur de chaque vaisseau. Si Ton voulait ensuite connaître la probabilité que le bénélice de l'assureur ne tombera pas au-dessous d'une certaine limite, par exemple de -^ de la somme c, il faudrait prendre g = o,ya, et l'équation
7' — '/" ^= " conduirait à 10 — iy"='j,'j ou ^"=z2,3,
valeiu' qui tombera entre celles de q au 3*^ et au 4*" terme, auxquelles correspondent des probabilités 0,676681 et t),858o.36 : on peut donc s'arrêter à environ j. On aurait une probabilité plus forte en donnant une valeuiplus grande à ^, ce qui diminuerait celle de r.
Dans riiypolhèse établie ci-dessus, il suffit d'aller jus- (pi'au 4*^ terme pour n'être pas encore en perte, puisque celle de 3 vaisseaux est compensée par Jes primes reçues pour tous : l'assureur aura donc la probabilité
o,858o36 ^ ^ , do ue pas entamer ses fonds.
Quand on porte à 4oo le nombre des vaisseaux assurés, et qu'on fait en conséquence le développement de
/ 99 ^ J \ioo 100
pour former le tableau analogue à celui de la page 218, si l'on maintient la prime à ly pour 100, comme cidessus, qu'où cherche la limita de la perle qui répond à une probabilité de 100 000 contre i, on trouve (juelie tombe entre le iS*^ et le 16*^ terme, où la somme des probabilités s'élève à 0,999993", ce qui répond à la perte de i4 ou i5 bâtiments, c'est-à-dire d'une somme comprise entre i4<2 et i5rt; mais le produit des primes étant 6a, ramène cette limite entre 8a et ga. Si 1 on voulait la réduire à ya, il faudrait augmenter un peu la prime, ou se contenter d'une probabilité plus petite: car elle serait donnée par le 1 4*" terme, répondant à 0,9999321.
Quanta la probabilité du gain delà lo*" partie de ga, on aurait pour la déterminer l'équation i5 — 7"= 9>9-> ce qui donnerait (j"= 5, et mènerait au 6*^ terme, où la
somme des probabilités est 0,7859190, environ >- • Entin, la probabilité que l'assureur n'entamerait pas ses fonds, se formant de la somme des y premiers termes du développement calculé, s'élèverait à 0,8903-49, près
de -9.
lO
137. La comparaison de ces résultats avec ceux du premier exemple fait voir que la limite de perte correspondante à une probabilité de 100000 contre i croit à la vérité, mais dans un rapport beaucoup moindre que le nombre des vaisseaux assurés, et que la probabilité du gain, et celle de ne pas entamer les fonds, augmentent aussi, ce qui établit l'avantage qu'obtient l'assureur quand il multiple ses entreprises. Ces remarc^ues sont assez importantes pour qu'on cherche à les constater par des déterminations relatives à un très-grand nombre d'assurances; c'est ce que j'ai fait en calculant les 72 pre-
nis l'iioi; \iiii \YÈ>.
iiiitTs U'i'mc's (lu <lfV('l()|)|)cintMit de
\ I OC) I oo
(jui concluiscnl ;"i nue sonnne (!<; probabililrs déjà fort hupcrioiuc à crllc de looooo coiilrc i. En faisant usage des logarillimcs, le travail n'est pas aussi considérable qu'on pourrait le croire d'abord; mais pour obtenir une exactitude sullisanle, il faut c/nployer à la formation des puissances de 99 des lof,'ariihines ayant au moins 10 décimales.
C'est entre le 69*^ et le 70'' terme que la somme dos probabilités atteint 0,99999; au 70*^ terme on a (]'= 6ç). La perte correspondante à ce nombre serait donc 6c)a: mais les primes, toujours à i 4- pour 100. formant un total de 6"o<7, la perte effective serait seulement de c;*-/, résultat qui ne diffère pas sensiblement de celui qu ont donné j\oo assurances.
Pour un gain au moins égal à la lo*^ partie de ga^ on trouve <7"=; 09, ce qui donne une probabilité égale à o,998'2i6i, ou plus de 5oo contn^ i.
Enfin, les primes couvrant la perte de 600 vaisseaux, la probabilité que les fonds de l'assureur ne seront pas entamés est 0,9988661, plus de 800 contre i.
Si l'on trouvait le gain de 0,9^ bien petit, lorsque Tenlreprise embrasse 4000 assurances, et que d'ailleurs il doit être augnacnté en raison de l'accroissenient des frais d'administration, on perdrait sur la probabilité, puisqu'il faudrait remonter à un terme moins avancé dans le développement; mais on trouverait encore des probabilités assez fortes pour des gains beaucoup plus considérables : par exemple, celle que le nombre des bâtiments perdus ne s'élèvera pas au-dessus de 48, événement oui laisse encore 12^ de bénéfice à l'assureur;
cette probabilité, dis-jc, est de 0,9086204^^^-
222 IllAITI. El.EMhMAlUK
Ce dei'iiit'i' fxcinplc inoiilic bien que les av;mlages de l'assureur eroissenl beaucoup plus rapidement que ses risques ; cl le peu de changement qu'a subi la valeur de c, on passant de p = 4^0 à p = 4<^<^^5 semble indiquer que la prime et la probabilité extrême de perle demeurant les tnèmes^ cette valeur de c est susceptible d'une limite dont ga doit approcher beaucoup, dans les hypothèses établies ci-dessus.
Pour la déterminer en général, il faudrait pouvoir assigner, au moyen des quantités p, c, J', la valeur que doit avoir «7, quand la somme des termes du développement de (e -\-JY depuis le premier jusqu'à celui qui est affecté de e^~'^j''i^ inclusivement, a iinc valeur donnée; c'est ce qu'il paraît assez difficile de faire h priori. INIais quand le second terme du binôme est, comme ci-dessus, trèspetit, le nombre des termes à calculer n'est pas très-considérable, et l'opération peut être abrégée par des artifices convenables à ce cas particulier, ou par des tables dressées d'avance. [Voyez à ce sujet la Note I.) (*)
( " ) Les calculs préccdcnls l'ournibsent des exemples remarquables de la proposilioii énoncée dans la note de la parje io5; car dans les déveloiiptMnenis de
\ 100 luO/ \IUO 100/ \ lOvJ 100/
les plus grands termes, savoir : le troisième du premier développement, le cinquième du second et le quaraiile et unième du troisième, étant respectivement
décroissent, comme on voit, assez rapidement j la somme des termes qui précèdent, prenant les valeurs
s'approche de plus en plus de o,5 ou j, et le reste des teruu'S de chaque puissance, égnl au complément à Tunité, donne les valeurs
0,323/111). 0,371 i()i, o,458oSi,
moindres que les précédentes, mais tendant aussi vers 1 .
persuadé que les applications parlirtilièies Irappent liien plus rcspiil
i)i:s vuoiî.uu I riiLs. 223
138. Afin do donner aux calculs picc<''ilciil> lonlc l'cxacllludc doul ils soMl susceptibles, il faut tenir comph; d<' la dillércuce des époques auxquelles, suivant le contrat (rassxirance, les sonuues a et h doivent se payer, ou, ce (|ui est la même cliose, substituei- aux lettres a et h les valeuis de ces sommes, réduites à la même époque. Quant à la valeur des probabilités exigées pour la perte cl le i;ain, on la déterminerait à posteriori , si l'on connaissait les résultats moyens d'un assez grand nombre d'opéialion* suivies avec succès, ou bien à priori, en les comparant avec des probabilités de risques auxquels on s'expose volontairement sur des motifs plus ou moins légers. i/un et l'autre de ces moyens ont élé proposés par Coudorcet, à l'article assuuance, dans le Dictionnaire ilc Mdlliénuitiques de rEncyclopcdie mclhodiqtie, et bientôt j"indi(|uerai les bases du second.
139. Après avoir discuté les intérêts de l'assureur, il faudrait s'occuper de ceux de l'assuré, mais cela me mènerait trop loin. Je me bornerai à remarquer que la garantie des sommes assurées ne peut être fixée c[ue par une probabilité convenue pour celle de la plus grande perte dont l'assureur soit tenu de répondre; on peut alors exiger que la somme destinée à couvrii- cette perte soit préalablement déposée ou assignée sur des gages suffisants. On
que des énoncés généraux, j'ai cru pouvoir ni'arrôler sur Ifis précédcnlcs, qui mettent en évidence les propriélés de la formule du binôme, sur lesquelles reposent les résultats les plus importants du calcul dos probabilités (26, 27, 28, 34), et entre autres cette accumulation des termes plus forts dans les environs de celui qui est le plus jjrand de tous (3U). Elle est bien indiquée par la rapidité avec laquelle décroit le rapport
au nombre des termes compris entre ceux qui répondent à la
limite de la perte et à celle du gain, avec le nombre total des termes du développement. Dans les exemples précédents, ce rapport devient successivement
8 lo lo
'JOI .JOI '(OOI
2^4 TIIAITÉ ÉLÉME^TA1KE
voil (|U(.' celte somme doit être la même que celle (|iii a été désignée par c dans le n" 137.
Je terininerai < e qui regarde les assurances eu faisant observer ([uc leur propriété caractérislique est de tendre à ramener à une valeur moveiine le bénéfice de louies les entreprises du même genre, en quelque nombre qu'elles soient^ car c'est avec le gain que les assureurs font sur les assurés ciuï réussissent qu'ils indemnisent ceux qui perdent : c'est donc à peu près comme si tous avaient rais leurs fonds en commun et étaient convenus de réparer, au moins dans une certaine proportion, les pertes particulières. Ainsi, à l'égard des récoltes, c'est reverseï- dans les cantons où elles ont soulïert une partie de l'excédant obtenu dans ceux où elles ont prospéré. Les assureurs sont les agents intermédiaires de cette association fictive, et le profit qu'ils font doit être considéré comme le salaire des fonctions qu'ils y remplissent (*). S'il existait un autre moyen de diviser les risques, l'assurance deviendrait superflue; et cela aurait lieu naturellement pour le négociant qui prendrait part immédiatement à un très-grand nombre d entreprises, et le propriétaire qui aurait des possessions disséminées dans un grand nombre de cantons éloignés les uns des autres.
De la Pi ohahilité des tcinoiojiai;es cl des décisions.
1-40. LorscpTon peut 1 assimiler an |et d un dé, le témoignage admet l'application du calcul des probabilités; et c'est ce qu'on a d'abord essayé de faire en supposant
(*) Le principe iiuliqiié ci-tlessiis est prccisémcnt celui qui sert de base aux nssurances mulucUps, comme celle qui a lieu à Paris pour les maisons incendiées. Les frais de régie sont les seuls à la charge des assurés, puisqu''il n'y a point de bénéfices à donner aux assureurs, M. Fouricr a fait sur ce sujet un Mémoire très-intéressant, dont on trouve l'extrait dans les Annales do Chimie cl de Physi/jiir, i. \, p. 177 ( février 1819).
11E6 l'ROUMnLlTKS. 225
<|iic, sur un noinhie (loiiiiô (II! (It'posilioiis, le; ini'inc léinoiM (lit on it'iicoiilrc.' un iiiciuc nombre du fois la vcrilé. iNous comiiitMiccroiis par tirer les piincipales consécjuences de celle hypothèse, dont tious discuterons ensuite la convenance avec le sujet.
Soit P" le nombre des ras dans lesquels le témoin dit vrai, m celui des cas conliaires; la probabilité de la vérité de sa déposition sera 1 cl la nrol)abilité con-
traire
Supposons qu un autre témoin, pour lequel les nombres analogues aux préeédents soient ^' et in\ dépose du même failj les probabilités pour et contre la vérité de son
, . , «•' m' témoignage étant , et ~ ,•, on aura, avant crue
les dépositions soient connues, les probabilités
<'<•' mm'
que les témoins s'accorderont, soit pour dire vrai, soit pour mentir, et les probabilités
{i> -\- m) [J -{- m' ) [v -ir m) [v' -\- m' )
qu'ils se contrediront, le premier déposant la vérité, le second mentant, et vice versa.
Quand les dépositions seront connues et qu'elles s'accorderont, il n'y aura que les deux premiers événements indiqués ci-dessus qui seront possibles; on aura donc les probabilités
mm
— -, et — -, (13)
w -4- mm l'v -f- //////
que l'accord des témoins sera en faveur de la vérité, ou bien pour le mensonge.
S'ils se contredisent, les deux derniers événements de- 4*^ édition. i5
220 TUAITÉ tl.ÉMEKTAlBE
venant alors les seuls possibles, il en résultera les probabilités
■/Il 'f- iin> vin
(|ue la véiité sera dans la déposition du premier témoin ou dans celle du second.
1 11 . Il est facile d'étendre ces dernières formules à un nombre quelconque de témoins, et si l'on assigne à leui témoignage la même probabilité, en posant t^= v' =^ . . . , ui :=-- m' = . . ., ([ue p soit le nombre de ces témoins et rjuils s'accordent, il en résultera pour la vérité du fait
dépose la probabilité ? et pour Je con-
^ I 1'/' H- /i,i' vi' H- 11,1' '
traire.
En divisant les deux termes de la première fraction
par ui\ sa nouvelle forme ; f(;ra voir c[u elle aug-
mente avec /? lorsque P"^///, et qu'elle décroit si ^'<^//^; (jue, par conséquent, lors<jue les témoins mentent ou se trompent plus souvent qu'ils ne disent la vérité, plus ils sont nombreux, moins la concordance de leurs dépositions a de poids.
S'ils se contredisent et que, sur la totalité, il y en ait /» alïirmant et q niant le môme fait, la probabilité que les premiers disent vrai sera
vl'nii . inPvl
et sa contraire
(■/'///'/ -f- ///■".■'/ vPmi H- nii'vi
En divisant les deux termes de ces fractions par v"^ m',
on les change en
vi'-i inP-'i
qu'on obtiendrait pour les probabilités correspondîmes à l'accord de p — q témoins : la valeur de la dépositinii
l)i;S IMUJliAlULITÉS. •i'J.'J
se rétliiil dont-, dans cr: cas, à ct;Ilc' d'iitio tk'posiiioii iin;iiiiiiic l'aile par un nombre de icinoiiis égal à Texcès tlu nombre de ceux (jai alliriuent sur celui de ceux qui nient.
142. Lors(|u'unc personne rapporte ce qu'elle lient d'une aulre, que cette autre avait reçu d'une autre, et ainsi de suite, cette sorte de témoignage, qui s'appelle tradition, donne lieu à toules les combinaisons indiquées au commencement du n" 1 40; car dans la diaîne de témoins qui ont déposé successivement du fait, le dernier, étant seul entendu par la personne qui prend l'information, laisse douter si celui qui le précède a dit ou non ce qu'il lui lait dire, et en même temps si celle première déposition était une vérité ou un mensonge. D'n ne considérant donc que deux personnes dans la chaîne des témoins, il en résulte les quatre probabilités exprimées dans le numéro cité.
Les deux dernières correspondent évidemment à la fausseté de la tradition, puisque l'un des deux témoins a menti. Mais s'il s'agissait de témoignages rendus par oui ou par non, de propositions entièrement contradictoires, alors la deuxième probabilité, qui suppose que les deux dépositions successives auraient élé fausses, répondrait à Ja vérité aussi bien que la première, qui les suppose vraies. En elfet, le premier témoin ayant dit oz// lorsqu'il fallait dire non^ le second, qui rapporte le contraire de ce qu'il lient effectivement du premier, pixjnonce o«/, c'est-à-dire la vérité : la probabilité de la tradition serait donc, dans ce cas,
et sa coiitrane
(*•) Ce cas singulier a clé remarqué par M. P. Prévost, professeur de ptiilosophie à Genève, dans ses leçons sur le calcul des probabilités, où il a distingué les téinoifjiiajjes on iimullanés ou oculaires, et successifs ou
2^8 TRAITÉ itLÉMENTAlUE
La première de <;cs piobabililés surpasse iou|ours la seeonde lorsqu'on a en même temps
V ^- /// , c' ^ fu' ou f <C '" , •'' <C ''' '■>
( ar la différence des numérateurs est
ce' H- ni ni' — r/n' — wc' = , c — w/) (c' — /;/') ,
piodiiit positif (juand ses deux facteurs sont de même signe.
143. Si la chaîne traditionnelle se compose d'un nombre quelconque p de témoins, et f[ue les dépositions de chacun aient une éi,'ale [jrobabililé, les diverses combinaisons de la vérité et de l'erreur seront données par le développement de
( V + m y = i'f H- - ('."- ' ni H- '-^ vP-- m '
vP-^nr
dans lequel tous les ternies où l'exposant de m est pair . indiquant un nombre pair de mensonges successifs, devront elre pris en faveur de la vérité de la tradition si les dépositions ne peuvent varier que contradictoiremenl : sa probabilité sera donc
( c H- /// )/' et la probabilité (onlraire
[v-\- ni]P
iiadilionnels. Voyez le 11*-' volume fie ses Essais dr Philosophie, p. S6, cl lin Mémoire qui lui est comnum avec M. L'Huillier, el qui esi insère dans ceux ilc VAcailcmie de Berlin, année 1797, P- i3i. CVsi dcce dernier écril que j'ai extrait on jjrande partie cet article el les Jeux suivante.
DIS IMU)l!AlllI.ITt.S. 'A2Cf
()ii siiiiplilir IxMiit (»ii|) CCS cxpicssioiis cil (ilisci \ .ml <Hic le iiuiiu'i'.ilcm di' l;i picmièro c't|iiiv;iul à
cl (clui de la seconde à
pai'ce ([u'clles deviennent respectivement
((• -f- ni]i' — {v — mV
I \ï. Les denx espèces de témoignages que nous avons considéiées précédemment peuvent se combiner. Par exemple, un nombre p de témoins déposent chacun séparément sur un fait qu'ils tiennent d'un individu (jui l'a vu : alors la probabilité que les témoins rapportent fidèlement ce que celui-ci leur a dit est, s'ils sont unanimes,
vP . niP
(141), et sa contraire
vi' + mP ^ " (,/» 4- mP
Supposant que la probabilité du témoignage de celui qui
a vu le tait soit aussi 1 la contraire •> la pro-
habilité de la vérité de la position finale sera
[vP ^ niP) (f -f- ///) si l'on ne doit y admetttre que des témoignages confoimes
a la vente, et
U'P -\- mP ) (i>-{- m
quand deux mensonges successlls é<iuivalent à la vérité. Si le même fait ('lait transmis par jdusieurs chaiiics
23o TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
de traditions distinctes, composées cliacuned'un nombre p de dépositions successives, dont la dernière seule eût été entendue par celui qui prend l'ijiforrnation, on aurait d'abord, par chaque chaîne en particulier, pour la vérité et pour Terreur, les probabilités
f(.-f- /;//-!- Ct> — /;/) /' ^^ (,,4- /„)/> — (,.„,)/' ^
en les désignant par V et M, nommant q le nombre des chaînes de dépositions, et supposant qu'elles soient unanimes, il en résullerait une probabilité
en faveur de la vérité du fait énoncé.
La marebe de celle expression dépend du rapport de p* à m; et pour la déterminer, il faut d'abord observer que celle de M est contraire à celle de \^ puisque ^ -+- M = 1 -, qu'ensuite, lorsque i^ = m, on a ^= M = y, et que cette dernière valeur est une limite vers laquelle tendent, dans tous les autres cas, ces quantités à mesure que p augmente. La première est toujours ^-j quand v surpasse ni -, mais si le contraire a lieu, il en résultera ^ <^ y ou ^77 selon que p sera impair ou pair. Ce changement singulier, (pie produit l'addition d'un seul témoin à une chaine d'ailleurs aussi nombreuse qu'on le voudra, vient du double témoignage erroné, compté comme vrai (142).
145. Nous a\ons supposé jusqu'ici que les dépositions étaient entièrement vraies ou entièrement fausses, ce qui n'a réellement lieu que lorsque linformalion est réduite à des inti'irogations simples, auxquelles on ne peut répondre que oui ou non. C'est r» ce point qu il faut toujours tâcher de les ramener, en analysant les énoncés: mais quand la chose n'est pas possible, on doit distinguer plus de deux sortes de témoignages. Lambert, qui s en
l)i:.S l'IUUlAlîll.ll Éb. C.i5l
csl (•(•(■Li|)i! tiaiis son Noi'iini ( )r^(i/io/i, 1rs a ( laisi-s en rrais, iiisii^nljinnls ou mils, c\ Jaux.
Si Ion prend Joujoiirs \v. dr poui- cmblènie, cela icviciii à supposoi- qu'il a trois soiU's de faces, cl qu'en eonsc- (juence on doit embrasser dans chaque épreuve un paieil nombre d'événenienls possibles. Les formules relatives à ce cas (54) résolvent toutes les questions analogues aux précédentes 5 mais le calcul devient trop long pour trouver place dans ce Traité.
I 46. Quand on considère combien de faits extraordinaiies ont été reconnus faux, quoique appuyés sur des témoignages multipliés ou d'une autorité inijîosante, on est porté, toutes choses d'ailleurs égales, à donner d'autant moins de confiance aux dépositions, (jue les faits (ju'elles attestent s'écartent plus de ce qui se passe habi- (ucUemeut sous nos yeux. En elîet, si, lorsqu'il s'agit de tels faits, le nombre de mensonges ou d'erreurs est dans un rapport beaucoup plus grand avec le nombre total des dépositions que lorsqu'il s'agit des faits compris dans l'ordre constamment observé, le poids du témoignage nedoit pas être le même pour les premiers que pour les derniers. La forme du dé doit chang(;r avec la nature du fait. .^Liis c'est encore ici ime de ces circonstances dont j'ai parlé dans le n" 7o, où l'on cherche à donner au calcul une forme qui rapproche ses résultats des aperçus du l)0!i sens. On voit bien qu'il faut substituer au rapport constant par lequel on représente la probabilité du témoignage, suivant l'hypothèse du n" L40, une expression (jui le fasse décroître avec la vraisemblance propre du lait attesté •, mais on ne trouve pas dans la nature du sujet des conditions assez étroites pour établir une relation précise entre ces deux éléments. On s'est arrêté à regardei- la probabilité propre du fait comme représentaiil celle d'un second témoignage lecueilli concurremiricul
aSa Tl'.ÀlTK ÉLÉMENTAIRE
avec le premier, ce (jul donne pour celte déposition les probabilités
vf>' -\- mm' Vf' -f- mm eu supposant que la piobabililé propre du fait soit -, ,7
et sa contraire, -, -— ( .
Si ce fait est, par exemple, l'extraction d'une boule blanche d'une urne c{ui ne contient que cetle boule mêlée avec 999999 boules noires, on aura
et la probabilité favorable au témoignage sera réduite h
147. Laplace, considérant à part la probité du témoin et son intelligence, exprime séparément la probabilité que le témoin dit ce qu'il a vu ou entendu, et celle qu'il a bien vu ou bien entendu (**). De là résultent, sur sa déposition, les quatre hypothèses suivantes :
1° Il connaît la vérité, 1 ,.,,.,
> et veut dire la vente.
2° Ou il est dans l erreur, )
3° Il connaît la vérité, )
,, > et veut mentir.
4** Ou H est dans 1 erreur, )
La dernière comprend un cas semblable à celui du double témoignage erroné (142), puisqu'en cherchant à ironiper sur cette vérité qu'il ne connaît pas, le témoin peut la rencontrer. Il est d'ailleurs visible (jue cette classification des événements revient à faire du témoin deux
(*) C'est ce qu'a fait ConJorcet, Mcinoircs Je r.iccilciiii<j des Sciences, année 1783, p. 553.
(** ) Théorie unalyiiquc des Probabilités, p. 4 V'-
nr.S l'IlOBABILlTÉS. '233
personnes qui déposcnl runo après raulrc clans chacjiic cas. Conil)liianl les doux témoignages successifs avec la j)r()babililé propre du fait, La[)lace calcule la proLabillté de chaque hypoihèsc, et divise par la sonmie de toutes ces probabilités la somme de celles (jui sont pour la vérité de la déposition.
En nommant, avec lui, ]) la probabilité que le témoin veut dire la vérité, /• la probabilité qu'il l'a saisie, et
- celle du fait rapporté, qui est ici l'extraction du d" i d'une urne qui en eonlient //, on aura pour la vérité, dans la première hypothèse, la probabilité — •
Dans la seconde, où le n" / nest jias sorti, la probabilité de cet événement est j et celle de Terreur
du témoin est i — r\ cependant il n'en faut pas conclure
que la probabilité composée soit p [i — /) ? parce
que la non-sortie du n" / n'est pas tout l'événement arrivé ; il y a encore le faux aperçu du n" i parmi les n — i qui ne sont pas sortis , illusion dont la probabilité
est En ayant égard à cette circonstance, la i)ro-
babilite de 1 événement devient X — = — = -■) et
Il n — I n
celle de l'iiypothèse ^- ' ■
Dans la troisième, il faut combiner ensend^le les probabilités I — p que le témoin ment, ;• qu'il connaît la
vérité, et - celle qui résulte de la non-sortie du n° i cl
du choix qu en tait le témoin 5 on a pour résultat ^ '—•
Dans la quati-ième hypothèse, {i — p) (i — ;) est la probabilité piopre du témoignage, puisque h." témoin
2l54 THAriÉ ÉLÉ.MEKTAIRE
ment cl ne connaît pas la vérité; mais révéncmeni peiii
être la sortie ou la non-sortie du n'' /. La probabilité du
II/, premier cas est -: le témoin, croyant un autre numéro
sorti, fera toujours le choix de son énoncé parmi n — i numéros seulement 5 la probabilité que ce cboix tombera
sur i sera par conséquent : et comme ce choix doit
concourir avec la sortie du n" /, la probabilité de l'événement sera : celle de ce cas du témoi-
n in — i) ., (, ,1. ,.|
gnaere, ^^ — •> et il ne laut pas oublier qu il est
en faveur de la vérité.
Si on ne le distingue pas de tous ceux qui sont compris dans la dernière hypothèse, ropinion du léjnoin, portant toujours sur la sortie d'un numéro qui n'est pas /', aura
une probabilité : la probabilité qu'il choisira celuilà parmi les n — i numéros c[u'il croit n'être pas sortis sera ■> et la probabilité de l'événemenl sera par
conséquent encore -; ainsi la probabilité de 1 liypothès»'
On aura donc enfin
pr I'— /^)(' — ^)
expression qui se réduit à /; si r=r i, <"cst-à-dirc si h" témoin n'est pas susceptible de se tromper, cl (pii diminue à mesiu'e que // augmente.
Peut-être, dans celle (picsiion . jiourrail-on avoir
DKS rnouMui rrrts. 2^5
quelque doule sur la lu'-ressitc de faire entrer dans le calcul la j)rnbal)iliic du dioix que le lémoin fait d'un numéro autre que celui (|u'il sait ou (jifil croit être sorti. Et comment d'ailleurs déterminer séparément les probabilités /• et /)? Il est donc difficile de croire que la formule ci-dessus serve autrement que comme un exemple des considérations ingénieuses que peut fournir le sujet qui nous occupe. Je rapporterai encore, dans cette vue, la question suivante, tirée du même ouvrage.
1 i8. Soient deux unies A et B, la première contenant n boules hldtiches, et la seconde n houles noires j on a tiré de l'une de ces urnes, on ignore de laquelle, une houle qui a été mise dans Vautre, et ensuite on a tiré une boule de cette dernière. Deux témoins, dont l'un ri a vu que le premier tirage, et l'autre que le second^ ajfinnent qu'il en est sorti une houle blanche; quelle est la probabilité de ce fait ? La dilïiculté se trouve ici dans l'ensemble des deux témoignages ; car cbacun en particulier n'aflirme qu'une chose très-possible, puisque l'une des deux urnes ne renfermant que des boules blancbes, si l'on ne considère qti'un seul tirage, la probabilité que la boule a été prise dans celte urne est \. Mais si 1 on suppose que le premier tirage ait eu lieu dans l'urne A, le deuxième avant nécessairement lieu dans l'urne B, qui ne contient de bonlc blancbe que celle qui est sortie de l'urne A, la seconde apparition de cette boule devient d'autant moins probable que le nond^re des boules noires est plus grand : et ce cas est le seul dans lequel les témoignages puissent être vrais tous deux.
Soient donc q et q' les probabilités de la véracité de cliaque témoin en particulier, et évaluons celle des diverses bvpolbèses que le sujet présente, i^ C'est l'urne A qui a fourni le premier tirage : \ étant donc la probabilité de ce lait, et q celle que le témoin dit vrai, la proba-
2^6 TRAITÉ KLÉMEKTAIUE
bililé do la déposition csi -\ mais ruine lî. lorsqu'on v
faille second tirage, contenant n -\- \ boules, dont une blanche, la probabilité du fait attesté par le second témoin
est : celle qu'il dit la vérité étant q\ exprime
la probabilité de sa déposition, et —r^ — : celle de la
vérité de leur accord.
2" Si le second témoin ment, la boule sortie de Tunie B
était noire: alors la probabilité de celte sortie,
combinée avec i — ,/'. probabilité du mensonge du second
témoin, donnera pour la taussete de sa déposition -,
1 ' •. ' 1 IM .1 ' 7 ( ' — y' ) " et pour la vente de 1 hypothèse — •
3" Si le premier témoin ment, la première boule était noire et sortait nécessaiiement de Turne B \ la probabilité de celle partie de Thypolbèse est y (i — q). Alors le second tirage s'étanl fait dans luriie A , qui renfermait n boules blanches et une seule noire,la probabilité delà sortie d une
boule blanche sera — — 5 celle de la déposition du second
n' n ,, 1 iM 1 , (i — 7) q'n
témoin ■, et celle de 1 hypothèse ^ , •
4° Si le second témoin ment aussi, la boule sortie de
l'urne A au second tirage était noire 5 la probabilité de son
a|)pariiion étant alors •> celle de cette i)3rtie de 1 hvpo-
thèse seia -, et celle île toute I hypothèse -^ — —
La probabilité relative de la première hvpothèse, la
seule (pii rende les deux témoignages vrais, jera donc
DES rnOBABlLITÉS. iZ']
et tîimiiiiKMa à nu'siiic (|no « aiigincntora. Si I Du Cni
, = ,. = Ji,
i>ii ol)li<'ii(lra la liès-polilo Iracliou
1 8 ooo 08?.
149. La discussion cli\s Ic'inoignagcs louclianl à des matières sur lesquelles on avait pris d'avance un parti, il est arrivé que plusieurs auteurs ont arrangé le calcul pour le résultat qu'ils voulaient, ou qu'ils avaient besoin de trouver. Ce n'est qu'ainsi, du moins, qu'on peut expliquer la théorie des témoignages simultanés, publiée sans nom d'auteur, dans le n" tiSO des Tratisaclions philosophiques (p. 359, année 1699), le plus ancien écrit que je connaisse sur ce sujet, et qui a été adoptée par nicquilley, dans son Traité du Calcul des Probabilités (en 1^83). Effrayé sans doute, pour le but qu'il voulait atteindie, de la rapidité avec laquelle diminue la probabilité de ces témoignages lors(jue l'on combine entre elles, comme on le doit, les chances de rbaque témoignage, et que sa probabilité propre est au-dessous de ~ (141), l'auteur anglais avance que lorsqu'un premier témoin a déposé d'un fait, sa confiiiualion par un second témoin délruit toujours une partie de 1 incertitude qu'a laissée le premier, et diminue en conséquence la probabilité contraire, d'une partie proportionnelle à la probabilité de la seconde déposition. Par exemple, si \ exprime la probabilité du premier témoignage, | celle du second, celui-ci ajoutera à la première 7.7, et l'on auia en conséquence, pour l'ensemble des deux témoignages,
la probabilité
tandis que suivant les formules du n" 1 M), elle ne serait que|.
'^38 TRAITÉ ÉLÉMEISTAIRE
Eli raisonnant de nit;mc sur un nombre quelconc^ue de téjiioignages où les probabilités de l'erreur seraient ,'/ , «', /i", etc., on trouvera pour celle de la vérilé
1 — « M- /? ( I — «' ) = I — nri\ par 2 témoignages , r — un' + lin' ( i — n" ) = i — nn' n" , par 3 ,
expressions dont les valeurs forment une suite croissante, quelles que soient les probabilités/?, «', etc., et desquelles il résulte, par conséquent, que la probabilité d'un fait croît toujours avec le nombre des témoins oculaires. Cette conclusion peut être commode dans certains cas, mais elle suffit aussi poui- montrer la fausseté de Thvpotlièse ; car il ne faut qu'un peu réfléchir pour se convaincre de la difficulté et presque de l'impossibilité où sont des spectateurs ignorants et nombreux, de ne pas se tromper sur Tapparence des faits extraordinaires.
Lorsque les faiseurs de tours opèrent adroitement, et qu'on fait abstraction de la défiance que doivent inspirer à des esprits éclaiiés les apparences contraires à l'expérience de tous les jours, aucun des spectateurs a-t-il, pour ne pas croire à la réalité des prodiges ([u'on lui présente, d'autre motif que le but et la forme du spectacle? Qu'au lieu des circonstances qui avertissent de l'illusion. un sérieux solennel accompagne ces prétendus prodiges \ (lu'ils soient atribués à un pouvoir surnaturel ; qu'ils ten- (!ent à exciter l'enthousiasme, à caresser le goût que le vulgaire a pour ce qui sort des voies ordinaires de la nature, ou pour trancher les difficultés devant lesquelles la raison est forcée de s'arrêter : il est bien certain que plus les témoins seront nombreux, plus la probabilité de l'erreur augmentera. Hume l'a bien prouvé-, les prodiges sont très-difficiles, pour ne pas dire impossibles à constater (*). Ce n'est pas que les phénomènes les plus ré-
(*) Essais fjhloso/ihi(jui's sur lis Miracles.
