En eiret, la formule

vP-1 iiP-q | niP-t

présente une conséquence que le bon sens rejette. Elle demeure la même tant que le nombre p — q ne change pas, quel (|ue soit d'ailleurs p -\- q qui exprime celui des votants, en y faisant, par exemple, p =. aS, ^7 = 10, ou bien p = 220, et ry = 2o5. Dans ces deux cas, la majorité p — q est également de 1 5 voix ; mais on ne pourra s'empêcher d'attacher bien plus de confiance à la première décision i[u'à la seconde, parce qu'on est porté à estimer le poids delà majorité des sulïrages, non parleur nombre absolu, mais par le rapport de ce nombre avec celui des volants (*).

En cherchant à se rendre compte de l'exception que fait ici la raison naturelle à une déduction rigoureuse du calcul, il faut reconnaître, avec Condorcet, que cette diminution de confiance porte alors sur la probabilité de la vérité de chaque vole, probabilité qu'on regarde comme plus petite quand la décision est rendue à une faible pluralité que dans le cas contraire, ce qui peut tenir à la difficulté particulière de la question à décider. Par là on rentre dans les principes généraux sur lesquels le calcul et le bon sens s'accordent; car le plus grand terme du développement de (p' + m)P étant celui où les exposants des lettres i^ et m sont dans le rapport de ces nombres, ou s'en rapprochent le plus (29), ces exposants indiquent la division des votes la plus probable dans une assemblée-, et toute autre l'est d'autant moins qu'elle s'écarte plus de celle-là.

( * ) Essai sur la Probabilité des décisions, p. 2^2 .

246 TAAITÉ ÉLÉMENTAIRE

Une longue suite de décisions portées par les mêmes volants, sur des questions de même genre, à une pluralité à peu près constante, ferait donc connaître les limites du partage le plus probable des votes, et conduirait à des valeurs approchées du rapport des nombi'es u et m ^ mais ce moyen de le déterminer n'est guère plus praticable que celui du n° 152. La révision des décisions anciennes, par un nombre suffisant de personnes irès-éclairées et dégagées de tout intérêt relatif à ces décisions et aux votants qui les ont rendues, donnerait sans doute des lumières importantes, si le travail de cette révision n'était pas à peu près impossible à exécuter, ou parce que les matériaux manquent, ou bien parce qu'ils sont trop multipliés ou trop obscurs.

154. Quoi qu'il en soit, cette nécessité de regarder la probabilité de la vérité de chaque vote comme pouvant varier même dans l'état de choses le plus ordinaire, oblige de substituer aux expressions des probabilités à priori celle des probabilités à posteriori: et par ce moyen Condorcet trouve, en cliet, que la probabilité dune décision doit diminuer quand le nombre des votants augmente, et que la pluralité restela même. Nous n'indiquerons qu'une seule des hypothèses qu'il examine, celle à laquelle il s'arrête. Ayant reconnu qu'on ne pouvait arriver avec quelque apparence d'exactitude qu'à une probabilité assez considérable (jue celle de la vérité de cha([ue vole est renfermée entre des limites données, il cherche la probabilité moyenne de la vérité d'une décision portée par un nombre donné de volants, à une pluralité donnée (*).

Eu désignant par a et b les valeurs entre lescpielles doit demeurer comprise la probabilité représentée ci-dessus

par -, on trouvera, par les considérations du n" 93,

( * ) Essai .sur lu l'i obtihilUr des drcisions, p. 3^ (-2^5 .

I»i;s l'KOliAlUl.lTK.^ -i^n

i[uc' les proliahililé.s nioyiniics (|iril y a eu !> vou-s nomla véiilc cl q pour l'oireur, ou bien lo couLraire, sont

(•e (|ui cluiiin; pour la piobabililo lelalivc du i'""^ cas,

[f 0}cz aussi la iSole III.)

Laplace, qui n'avait point eu égard à ces remarques dans la secojide édition de sa Théorie analytique des Probabilités^ s'en est occupé, pour la 3" édition de son Essai pliilosophique sur ce sujet, et il donne aux limites a et Z», que Condorcct suppose déduites de l'examen de décisions ant('Mieurcs, les valeurs ^ et i, les plus distantes que l'on puisse adopter, puisqu'il cesse d'être probable qu'une décision rendue à la pknalité des voix sera coniornie à la vérité, quand la probabilité de chaque vote est au-dessous de \ (^^1). Voici quelques résultais de cette hypothèse, rapportés à la page iSg de l'ouvrage que je viens de citer et que donne aussi la formule précédente : « Dans les tribunaux spéciaux où 5 voix sur 8 suflisent » pour la condamnation de l'accusé, la probabilité de » l'erreur à craindre sur la bonté du jugement est ^jj ou » au-dessus de \. La grandeur de celte fraction, dit avec » raison Laplace, est effrayante. » Dans un jury composé de douze membres, la probabilité de l'erreur n'est que Ityj, lin peu plus grande que \, lorsque la décision est portée par 8 voix, ^^ ou environ ~ quand la majorité est de 9 voix, et seulement ~T2 po"r l'unanimité, ce qui est la condition du jury anglais; d'où il suit que ce jury aurait l'avantage, si d'autres considérations ne prouvaient que celte unanimité peut souvent être forcée. Mais ce qui doit rassurer sur les décisions des jurys, en temps ordinaire, lorsque les mendîres qui les composent

ne sont prévenus d'aucun sentiment pour ou contre la classe d'accusés qu'on leur présente, et ce qui fonde leur supériorité sur les anciens tribunaux, c'est la terreur que sent dans son nme tout homme compatissant, d'en condamner un autre injustement ou à une peine trop sévère, sentiment que la longue habitude d'examiner et de juger des accusés affaiblit beaucoup dans les meilleurs naturels, comme le remarque Laplace. Rien n'est donc plus afïligeant pour l'humanité et la justice, que la nécessité, si tant est qu'elle existe, de créer des tribunaux extraordinaires, dans lesquels il est bien difficile que l'accusé ne trouve pas d'abord, par la nature du délit qui lui est imputé, une prévention très-défavorable; aussi les motive-t-on principalement sur le danger que, dans certains cas, l'impunité des coupables peut faire courir à la société (*).

155. Condorcet a eu égard à cette dernière circonstance pour les délits ordinaires; et cherchant à concilier h's intérêts d'un accusé avec la sûreté de la société, il consacre la première partie de son ouvrage à déterminer, dans un grand nombre d'hypothèses de pluralité, la probabilité qu'un innocent ne serait pas condamné, et celle qu'un coupable ne serait pas absous. Pour cela il s est proposé les questions suivantes : i° Quel/e est la probabilité que r erreur n'obtiendra pas la pluralité exigée? 2" quelle est celle que la vérité obtiendra cette pluralité? événements qui ne sont pas contradictoires quand on exige plus que la simple majorité, ou que le nombre des votants est pair.

( '') Voyez aussi, dans les Annales de Mathématiques pures et appliquées ( l. IX, p. 3o6), des observations irès-bien fondées sur les inconvénienls lie réunir les opinions <les juges à celles du jury, dans certains cas, ce qui diminue beaucoup In confiance due au jugement, et aggrave le sort do l'accusé.

DES PROB.UnUTÉS. 24})

En cirel, si l'on suppose constante la proLabilité de la •véiilé (le cliac[ue vote, (pie, pour abréger, on fasse

et (pi il y ait/-> votants, on au; a

pour la probabilit(j que le nombre des votes conformes à la vérité ne tombera pas au-dessous de /? — q : s\ donc on exige la pluralité /• pour condamner un accusé, et qu'il soit renvoyé s'il n'a pas cette pluralité contre lui, l'expression précédente, continuée jusqu à ce que

q — {p — q)=zr—1, d'où q=^ ^ — I,

donnera la probabilité que la vérité n'aura pas contre elle la pluralité, et par conséquent que l'accusé ne sera pas condamné injustement : voilà pour la première question. La seconde dépend encore de l'expression ci-dessus, mais continuée seulement jusqu'à ce que

p — q — q =^ r^ d'où q

condition d'après laquelle la vérité, ayant au moins la pluralité exigée, sera nécessairement adoptée, et par conséquent l'accusé condamné s'il est coupable.

La ditîérence de ces deux probabilités formée de la partie du développement de [e -\- fY ^ commençant au

terme aflecte de e j jusqua celui

(|ui 1 est de e j , renierme tous les

cas où la vérité ni l'erreur n'auront la pluralité exigée, et

aSo TRAITÉ ÉLÉME^TAlnE

variera avec les nombres /■ et p [*). C'est à diminuer cette diUércMCC, en conservant d'aill(Mirs la plus grande valeur possible à la première probabilité, (pjcdoit tendre la constilution d'un tribunal, considération analogue à celle du n" \'do. Condorcet a discuté avec soin toutes les conibinaisojis auxquelles elle peut conduiie, en supposant que le nombre de votants soit impair ou pair, la pluralité constante ou proportionnelle au nombre des volants, ou composée d'une partie proportionnelle à ce nombre et d'une partie constante. Il a examiné ensuite les relations (pi'ont entre elles les diverses quantités qui entrent dans ces calculs, soit comme données, soit comme inconnues, et a varié les questions avec un détail où nous ne saurions entrer. On peut sans doute attaquer ces applications du calcul des probabilités avec autant de raison que ce qui regarde les témoignages; et nous avons déjà fait coiniaîlre les principales objections qui se présentent sur ce sujet; mais cependant, si les hypotbèses auxquelles il a fallu recourir ne permettent pas d'accorder beaucoup de confiance aux résultats obtenus, la connaissance des combinaisons qu'elles développent et de la marche des valeurs ([ui en dérivent n'est pas non plus sans quelque utilité pour diriger la réflexion sur ce (jui peut arriver réellement, du moins quand il ne s'opère pas des cbangements binsques dans la probabilité des votes, et pour classer les laits afin d'en déduire des conséquences précises et applicables,

le^6. Les éb.'Ctioiîs sont aussi di's jugements lorscpi on

( * ) Alin d''abi'<.'3er, j'oinuts la discussion des formes que doivent avoir les noml)res /• cl p, pour que li'S ex|)os;inis des leUrcs e eiy soient des entiers : il est bit'it facile d'y supplier. On voit aussi qu'en changrant i; an f, et réciproquement dans la seconde probabilité, on loruiera l'expression de la probabilité que l'erreur obtiendra 1 i pluralité exigée, et qui est la contraire de la prcniièru- des probabiliUs indiquées dans le li'xle.

DES l'UOISAlJIJ.ITÉS. 25 1

les envisage sous l(; ia[)|)oil diî la hoiilr du choix, (jiii dépend des lumières el de l'iinpaiiialiU' dos éle( leurs- et l'ou peut demander quelle est la prohabililé qu'un candidat, admis d'après une fornu; donnée di; scrulin, a une véritable supériorité sur ses concurrents. Malheureusement les passions ne dérangcuit pas moins ici les calculs que dans les témoignages et les décisions. En vain Condorcct et ])lusieurs autres publicistes ont-ils cherché des formes qui pussent ôler à l'intrigue son influence : ou ces formes n'ont pas été soumises à l'expérience, ou elles ont été trouvées défectueuses. Mais en renonçant à ce point de vue du problème, et en regardant seulement une élection, ou, ce qui est la même chose, une décision à la pluralité des voix entre plusieurs propositions, comme un moyen de terminer les débats en adhérant au voeu du plus grand nombre, il reste encore beaucoup de difficulté à constater, dans certains cas, quel est réellement ce vœu (*) L'étendue à laquelle est déjà parvenu cet ouvrage me permet à peine d'indiquer sur chacune de ces divisions du sujet quelques principes généraux.

Lorsqu'il n'y a que deux candidats, la majorité des sufl'rages en faveur de l'un d'eux, se manifestant tout de suite, indique sa supériorité si les électeurs sont également éclairés et, dans tous les cas, prouve qu'il a le voeu du plus grand nombre; mais il n'en est plus ainsi dès qu'il y a seulement trois candidats. En effet, quand un électeur vote seulement pour le candidat c^u'il estime le plus, il laisse indécis l'ordre de préférence qu'il assignerait aux autres s'il était obligé de choisir entre eux; mais si chaque votant écrivait sur son bulletin les trois noms des candidats rangés dans l'ordre de mérite qu'il leur attri-

(•) Il ne paraît jms qu'on ait fait celte distinction avant M. Daiinou, dans Texcellent Mcmoire qu'il a lu en Pan I\ (i8o3), sur ce sujet, à la classfi (les Sciences morales et poliîiqiics de l'Institut, et qui, n'ayant été iniiii-imé (ju'ii pari, est assez diflloile à trouver.

bue, ne pourrait-il pas arriver que celui qui a été le premier sur la majorité des bulletins, mais le dernier sur tout le reste, eût moins de mérite que celui qui a été inscrit le second par tous ceux qui ne lui ont pas donné le premier rang? Il est aisé d'apercevoir que cela dépendrait de la valeur qu'on attacherait à la différence de mérite entre les rangs.

Si, par exemple, en suivant le scrutin proposé par Borda (*), on donne au mérite respectif des candidats des valeurs proportionnelles au rang qu'on leur assigne; qu'on écrive en conséquence 3 pour le premier, 2 pour le second et I pour le troisième 5 qu'il y ait 3 candidats désignés par les lettres A, B, C^ que sur 100 volants 65 leur assignent l'ordre ABC et 35 Tordre BCA, il est évident que la majorité des suffrages est pour A, puisqu'il a été regardé comme supérieur à tous les autres par 65 électeurs : cependant, si l'on estime le mérite relatif des candidats par la somme des nombres qu'ils obtiennent sur chaque liste, on ne trouvera pour A que

tandis que B, placé le premier 35 fois seulement, mais 65 fois le second, aura

et sera, par conséquent, élu dans celle forme de scrutin. Il n'y aurait rien à dire contre celle conclusion si la graduation des numéros était exacte, et qu'ils eussent été appliqués de bonne foi; }nais il n'est pas dillicile de voir qu'elle esl peu sûre sous le premier rapport, et que sous le second elle se prête facilement à l'esprit de cabale. Substituons d'abord aux nombres déterminés 3, 2, i, les lettres /^, </, /, et nous arriverons par le même scrutin à

(*) Mimoiics de l' Àcadciiiic du Sciences, unnée 1781, p. 65;.

DES PnODABILITÉS. 253

l'élcclioii (le A, si nous [)<)soiis

co qui peut se faire d'une iiifniitc' de manières. Fn laissant aux lettres c/ et /■ leurs valeurs primitives •.>. et i, la eondition ci-dessus devient

65p -f- 35 ^ 35/^ 4- 1 3o ou 3oy^ ^ o5 ,

et montre qu'il suffit de faire /^ ^ 3 1 pour que la somme des numéros obtenus par A soit plus forte. Or, peut-on balancer le mérite des candidats avec une exactitude aussi minutieuse, et trailleurs les volants auront-ils dans l'esprit une mesure commune à laquelle se rapportent exactement les unités (ju'ils emploient? Autrement les plus sévères déprécieront trop les candidats, les plus indulgents leur assigneront des nombres trop forts.

La dépréciation pourra même être effectuée de mauvaise foi dans l'intention d'écarter le concurrent qu'on craint le plus. En elfet, dans l'exemple que je viens de donner, 35 électeurs sachant que les meilleurs candidats sont A et B, et voulant exclure A, n'ont qu'à s'entendre pour le placer au dernier rang, ils rendront inutile le vceu d'une majorité très-prononcée en sa faveur. Il n'est pas douteux que, dès qu'une pareille circonstance est remarquée, les passions ue la mettent bientôt à profil. Et qu'on ne croie pas qu'elle ne puisse avoir lieu que dans quelques cas; elle est au conti'aire très-étendue; car si l'on désigne par m -h n le nombre des électeurs, qu'il y ait in bulletins dans la forme ABC, et n dans la forme BCA, A ne pouri'a être élu qu'autant que

3 m -\- n ^ 2 m -\- 3 ri ou m ^ m :

il lui faudra donc plus des fdes suflVages individuels. Les inconvénients de ce scrutin deviennent encore plus graves si le nombre des candidats est plus considérable.

2^4 TRAlTl': ÉLÉMEKTAIRE '

157. Lorsqu'on a reconnu la Irès-grandc dilHcnlté, pour ne pas dire 1 impossibilité d'obtenir, par les appréciations de chaque électeur, une évaluation exacte du mérite respectif des candidats, il faut en revenir à prendre pour celte mesure le vœu bien exprimé de la majorité, et le moyen qui se présente pour connaître ce vœu est de consulter chaque électeur sur ces candidats comparés deux à deux. C'est à quoi peuvent servir les numéros affectés à chaque candidat, pourvu qu'on 7ie leur assigne d autre fonction que d'exprimer le rang dans lequel ils sont placés par les électeurs.

En établissant un certain ordre, ABC par exemple, le votant afl&rrae les propositions suivantes :

A vaut mieux que B ) ,, ^ ., . . . ^

, (I ou il suit A vaut mieux que C; B vaut raieux que C \

ce que, pour abréger, nous exprimerons par A>B, B>C, croù A>C.

C'da posé, 3 candidats pouvant être rangés 2 à 2 de six manières dilîérentes, il faudra, en décomposant les scrutins comme ci-dessus, chercher quels sont les arrangements qui ont obtenu le plus grand nombre de voix, et on déterminer les conséquences sur l'ordre à établir entre les 3 candidats.

Supposons que 6o électeurs se soient partagés sur l'ordre des candidats comme il suit :

23 pour ACB, 19 pour BCA , iC) ])niir CBA, 9, pour CAB ;

formaul d'abord la comparaison de A avec B, on trouvera que la proposition A ^ B est établie par 23-1-2= 25 suffrages, et sa contradictoire B^A par 19-1-16 = 35; La proposition A^C par 23, et sa contradictoire C^A par 19-1-164-2 = 37;

uKs rnoiiAiuLiTÉs. aïo

La proposiiioii lî^C par 19, et sa rniiiradicioirc (]^|î })ar 9.!5 -f- 1 6 H- 2 = 4 ^ •

Parmi toutes ces propositions, les trois (pii ont ohicnu le plus (le suffrages sont doue : C^B donnée par 4 i , C^A par 3.7, 13^ A par 35.

Ce système de propositions qui ne renferme aucune contradieliou, établissant l'ordre CBA, donne la supériorilcabsolue au candidat C, qui n'aurait eu que i 8 voix sur Go si l'on n'avait éciit qu'un seul nom sur chaque bulletin, tandis que A en aurait 23 et B 19, et si, conformément h l'usage établi quand l'élection doit être faite à la majorité absolue, on eût obligé les électeurs, dans un nouveau scrutin (le ballottage), à ne voter cpie sur les deux candidats qui avaient obtenu le plus de voix, C aurait été exclu. Il est visible que ce dernier défaut du scrutin ordinaire croît avec le nombre des votants et des candidats, et (ju'un petit nombre d'électeurs qui s'entendent peut forcer la majorité, dont les voix se sont dispersées sur un grand nombre de candidats, à choisir entre deux qu elle repousserait si elle en avait la liberté.

158. Dans l'exemple précédent, les trois propositions qui ont obtenu le plus de voix sont, comme nous l'avons remarqué, compatibles entre elles et toutes nécessaires si l'on veut établir un ordre définitif entre les candidats- car les deux premières laissent indéterminée la subordination qui doit exister entre A et B ; mais cela n'arrive pas toujours. Si, le nombre des électeurs restant le môme, leurs voix étaient divisées de cette manière,

12 pour ABC, 9 potn- ACB, 20 pour EGA, 10 pour CAB, 9 pour CBA,

on trouverait, en opérant comme ci-dessus,

A^B par 3i suffrages et B^A par 29, A>C par 21 suffrages et C >> A par Sg, B >> G par 32 suffrages et C >> B par 28;

o56 TRAITK KLÉMEKTAFRE

rapprochant alors les propositions qui ont obtenu le plus

de voix, on tomberait sur le système

C>-A donnée par 3y, B >> C par 32 et A>>B par3i,

dont les deux premières eonduisent nécessairement à 13^ A, résultat contraire à la troisième.

Pour échapper à cette contradiction, Condorcct, qui a discuté avec beaucoup de soin et à plusieurs reprises la théorie des élections, propose de ne composer le résultat final qu'avec deux propositions lorsqu'elles ont une conséquence nécessaire, et de chereher ensuite, parmi les trois systèmes qu'on peut faire en combinant deux à deux les trois propositions indiquées ci-dessus, celui qui a obtenu le plus de suffi-ages, en réunissant les votes qui ont été donnés à chacune des propositions dont il est composé. Or on li^ouve ainsi

■ji suffrages pour C>A, B^C, d'où l'ordre BCA, ■jo suffrages pour C >> A , A^B, d'où l'ordre CAB, 63 suffrages pour B>C, A>B, d'où l'ordre ABC;

c'est donc le premier système qui est voté le plus fortement, et auquel il faut s'arrêter si toutefois on est forcé de consommer Félcclion {*). Cette dernière restriction a paru très-nécessaire à M. Daunou, qui présente contre cette manière de combiner les propositions des difficultés très-fondées, et qui pense que, dans ce cas douteux où il ne saurait y avoir de majorité bien prouvée, le seul parti à prendre, si l'on ne pouvait remettre l'élection, serait de choisir le candidat qui a la pluralité relative (*"*').

459. Les pro[)Osi lions comparées dans les numéros précédents, par rapport au nombre de sullVages qu'elles ont obtenu, pourraient l'être par rapport à leur piobabi-

(*) Essai sur la Piobabililé des dccisions, Uiscours prelinjinairo, p. Ixvij.

( *" ) Mcmoiif sur les Élections, p. 63.

DES T'UOnABFLlTliS. iSy

lité lorsqur celles dv. la véiilé cl de rcricur do <lia(juc vole sonl ronnues. Par exemple, un seruliii de 33 voles, sur lesquels i8 sont [)Our A >> H et A^C, i5 pour B^-A e[ C>>A, 3.> pour !)>•€ et i pour C >- B, couduirait à réleclion de A par les propositions A^B et A^C, dont le syslènie a une probabilité

.T-;^-.-:^ (151 et 17);

mais la très-grande pluralité qu'a obtenue la proposition B^C donne, dans le eas où i^ surpasserait un peu ///, plus de probabilité au système B^C et B^A, quoique la seconde proposition n'ait que la minorité des suffrages.

En elïet, la probabilité de ce dernier système étant

si Ton fait Iîl = a^^^ qu'on réduise an même dénominateur les probabilités du premier et du second système, on trouve pour les numérateurs

I •+- a" et a'(i -h a'),

expressions qui deviennent i ,o38 et i ,260 lorsque «==0,9. « Ainsi, dit Condorcet, le système ])Our lequel on con- » clul la pluralité n'est pas nécessairement celui qui a la )) plus grande probabilité (*) » ; mais cependant on ne doit pas adopter ce dernier dans tous les cas, parce que souvent l'une des deux propositions n'ayant qu'une probabilité fort petite impliquerait contradiction avec d'autres qui en ont une plus grande.

Si l'on joint à cette difficulté celle de constater la probabilité de chaque vote, on sera bien fondé à s'en tenir, dans les élections, à la recherche du vœu de la majorité,

( * ) Essai sur la l'robalnlilc des décisions, p. 123.

4"^ édition . l 'j

258 TRAITÉ ltLÉME^TAIRE

ce qui, comme on vient de le voir, n'est pas toujours une chose aussi simple qu'on pourrait le penser. En réduisant le nombre des votants on facilite beaucoup la formation des votes et leur dépouillement. Cette raison, jointe à d'autres que ce nest pas ici le lieu d exposer, a conduit à établir plusieurs degrés d'élection pour arriver à un clioix délinilif, c'est-à-dire à faire nommer d'abord des électeurs qui doivent à leur tour en choisir d'autres, et ainsi de suite 5 mais, par ce mode, l'influence de la volonté générale diminue à chaque nouveau degré qu'on ajoute à l'élection, et le choix de l'assemblée la plus élevée est souvent très-difïérent de celui qu'aurait indiqué cette volonté, si on l'avait immédiatement consultée : un calcul fort simple rend très-frappante la vérité de cette assertion (*).

De la Probabilité des milieux pris entre plusieurs observations.

160. Pour achever de parcourir les principales applications du calcul des probabilités, il me reste à parler de la méthode de prendre le milieu entre plusieurs résultats ou observations, en ayant égard aux diverses probabilités des erreurs, ou de déterminer les corrections les plus avantageuses que des valeurs déjà très -approchées doivent subir pour satisfaire le mieux possible à un grand nombre d'observations. Cette recherche, commencée par Lagrange, éclaircie par Eulcr (**), a été poussée très-loin par Laplacc-, mais, comme elle se rapporte principalement à l'Astronomie et dépend de la forme des méthodes emplovées dans cette science, elle sort des limites que j'ai dû

C*) yoye: les remarques de M. Gergoniie, Annales de Mathématitjuef, l. M, p. I.

';^ "" ) Mélanges de la Sociélc de Turin, I. V, p. if^^. \of(j Acta Acad. l'etropolitaniv, t. 111, p. --(Sg.

DES l'IlOBABILITÉS. 25g

tue prescrire. Je nio bornerai seulcnicni à donnor une idée de la juaiiièrc dont le calcul des piobabilili's s'ap- [)lique au cas le plus simple de la question, celui où il s'agit de prendre le milieu entre plusieurs déterminalions immédiates de la quantité cherchée.

Dans le principe, on a comparé les observations aux jets d'un dé ayant autant de faces qu'on admettait d'erreurs possibles, et l'on a supposé d'abord que ces erreurs étaient également probables. Par exemple, si, pour se rendre compte d'une mesure dont le résultat ne peut pas s'éloigner de la vérité, soit en plus, soit en moins, au delà de 5 parties très-petites, comme 5 secondes de degré, on conçoit un dé ayant ii faces marquées par les nombres — 5, —4, —3, —2, —I, o, -j-i, -t-2, 4-3, -i-4, -f-5;

un nombre n d'observations étant assimilé au jet de n dés semblables, les erreurs dont peut être affectée la somme de ces observations seront exprimées par la somme des points que peuvent présenter les dés. 11 suit de là et du n" 56 que cette somme pourra recevoir toutes les valeurs marquées par les exposants de x dans le développement du polynôme

Le terme aflecté de l'exposant zéro répondant au cas où toutes les erreurs se sont compensées dans la somme des observations, son coefficient, divisé par (ii)", exprimera la probabilité que cette somme est exacte, et qu'en la divisant par le nombre n des observations ou aura la vraie valeur de la cjuantité cherchée.

Si , au lieu de se borner au terme dont lexposant est o, on embrasse plusieurs autres termes, on en déduira alors la probabilité que Terreur de la somme des obsej valions est renfermée entre certaines limites. Ainsi, eu réunissant les

termes dont les exposants sont — 2, — i , o, -f- 1 , -}- 2, on aura la probabilité que l'erreur de la somme des observations ne surpassera pas 2 secondes, soit en plus, soit en moins ; erreur qui, dans le résultat, étant divisée par /?,

sera romprise entre les limites et H

^ n II

Le développement du polynôme proposé s'abrège beaucoup par le procédé du n" oG. Dans l'exemple ( i-dessus, on a

(x-'4-x— 'H-. , .H-^'+x^)" = .r--^"(i + A--h. . .-f-x'-hJ:'")" = ar-=''( :—\ = j:-^"(i — . ?:")"( i—j-)-",

et il ne sera pas difficile de former le coefficient du terme alFecté de tel exposant qu'on voudra.

161. Quand on assigne aux erreurs des probabilités diverses, cela revient à supposer que cbacune de ces erreurs est marquée sur un nombre de faces proportioiniel à sa probabilité 5 en sorte que si l'on suppose toutes <cs probabilités réduites au même dénominateur, et représentées par la lettre e, numérotée d après Terreur à laquelle elle se rapporte, les chances d'erreur dans la somme des observations seront données par les coeflicients des puissances de x dans le développement du polynôme

si le nombre des erreurs possibles est encore limité à 5.

On voit que par cette manière d'envisager la question, la diflieulté est tout entière dans la longueur des calculs, qui devient excessive dès que le nombre des erreurs possibles et l'exposant n sont considérables \ et c est à diminuer cette difficulté que s est allaclié Lagrange dans le Mémoire cité.

Il a fait aussi plusieurs hypothèses sur les probabilités des erreurs. En supposant, par exemple, les erreurs d'au-

DES l'l\01iAlilI.ITIÎ:s. 261

tant moins pi-obablcs (ju'ellcs soiil plus grandes, et se bornant toujours aux nombres de lexemplc ])rérédent, on pourrait [)rendre poui' la l(;ttre c la piogression

CM sorte que le polynôme à développer serait

Quant au dénominateur commun des probabilités des erreurs, c'est évidemment la somme des nombres substitués aux e.

Si CCS probabilités ne formaient pas une progression symétrique comme la précédente, tant par rapport aux erieurs positives (ju'aux négatives, il pourrait arriver que le plus grand terme du développement ne serait pas affecté de x°, mais d'une autre puissance de x, dont Texposant indiquerait alors Terreur la plus probable dans la somme des observations. Il faudrait donc corriger cette erreur avant de diviser la somme donnée, et le quotient obtenu ensuite sciait le i ésultai le plus probable.

162. Yoilà à peu prés toutes les notions élémentaires qu'on peut donner sur ce sujet. Pour s'élever au delà il faudrait l'étendre beaucoup, et d'abord remarquer qu'une observation pouvant didérer du vrai, par des intervalles aussi petits qu'on voudra, le nombre des erreurs à considérer, quoique assujetti à des limites finies, doit néanmoins être regardé comme infini , ce qui fait entrer cette recherche dans le domaine du Calcul intégral. (F'ojez la Note III.)

Ensuite, le plus souvent, les quantités à déterminer ne sont pas données immédiatement par les observalions : elles doivent seulement être telles, que par certaines combinaisons avec des nombres antérieurement connus elles représentent ces observations-, et si elles ne le font pas

Q.6'2 TRAITÉ ÉLÉMENTAIKE

exactement, c'est qu il y a erreur, soit dans ces quantités, soit dans les observations mêmes. Cette dernière circonstance fait que dans le problème il y a bien plus d'équations que d'inconnues 5 et la manière de les combiner, pour en obtenir le résultat qui a la plus grande probabilité, ainsi que de déterminer cette probabilité, dépendant de la forme de ces équations, sort entièrement des limites de ce traité. Je dirai seulement que la règle la meilleure, celle de rendre un mininiuni la somme des carrés des erreurs, où elles entrent dans leur entier, quel que soit leur signe, a été établie d'une manière très-simple par Legendre. Quant à l'évaluation de la probabilité du résultat auquel elle conduit, ou la trouve dans la Théorie analytique, des Prohabililés^ et dans un Mémoire où M. Plana a traité de nouveau ce sujet avec beaucoup d'étendue et de clarté : M. Poisson s'en est aussi occupé depuis (*).

De V évaluation morale des Prohahililés.

103. Lorsque le calcul des probabilités est appliqué à des sujets qui intéressent notre fortune ou notre vie, des nombres abstraits paraissent peu propres à nous faire connaître l'importance que nous devons attacher à ses résultats. Mais si l'objet de ce calcul est de ramener, au-

( '' ) Voyez iV aboi d Nouvelles méthodes ponr la détermination des orbites des comètes, [>nr Legendre, p. 72. Depuis la publication de ce Mémoire, INI. Gaiiss, dans sa Theoria motus corporum cœleslium, a iléclaié qu'il était parvenu, de son côté, à celte règle. Fcy ci ensuite le chapitre IV de la seconde pallie de la Théorie analytitjue des l'robnbilités, par Laplace; puis, dans les Mémoires de l'Académie de Turin, années 1 Si 1-1 Si u, celui de M. l-'lana, et dans la Connaissance des Temps pour 1627, celui de iM. l'oisson. M. Gauss a publie sur ce sujet un ouvra{je spécial ayant pour titre : Theoria comhinationis observa tior.um minimis crruribus obnoxue ; ftl. Fourier a aussi donné quelques règles, mais sans dcaionsiratioii (^ rcyer le Bulletin des Sciences publié jjar I\I. de l'erussac, part, nialli., l. Il, p. S8), et M. Puissant a tait, aux résultais des opcralions geodé^iques, l'.ipplicalion du calcul des probabilius (Académie des Sciences, t. ?i el XI).

DKS l'U()ItABII.ITl''.S. 9.6!^

t.uil ([th- (aire se pcMit , nos imprcssiftiis à iiiic iiu'siiic (îxaclc, Il doil nous ollrir aussi le iiioyi'i» de. trcMivcr iiiic inniressioii é(juivalenle à tmo mesure donnée, l^n cllél, placés au milieu d'une foule de dani^crs (|ue nous sommes obligés de braver, soil pour noire intérêt ou pour nolinplaisir, et sur Icscpiels l'iiabilude et l'opinion générale paraissent assez constantes, les probabilités de ces dangers peuvent servir de termes de comparaison avec ceux qui ont été calculés et non cncoie éprouvés.

Pour un intérêt assez modique, un bommc prudent entreprend une traversée plus ou moins longue sur mer, iiu passage difficile, par exemple celui du pont Saint- Esprit lorsqu'on descend le Rhône en bateau, et une foule d'autres actions assujetties à des risques divers. Si donc on avait des relevés exacts qui fissent connaître la proportion des accidents aux succès, on en déduirait une échelle de probabilités, dont la valeur morale serait mesurée par l'importance attachée aux résolutions qu'exigent les entreprises dont il s'agit. On pourrait aussi comprendre dans cette classe les ris([ues pécuniaires auxquels se soumettent, dans l'espoir d'un gain plus ou moins considérable, des hommes connus pour leur expérience et leur sagesse dans la conduite de leurs afîaircs; mais ces données manquant, on a tâché d'y suppléer par les Tables de mortalité ["*).

Bulfon s'en est servi pour déterminer une limite audessous de laquelle toute probabilité devait être regardée comme nulle (82)-, il fixa cette limite à 7-^^-^, parce qu'aucun homme dans son bon sens n'est frappé de la crainte de mourir dans le jour, et que sur loooo personnes il en meurt une dans cet intervalle. Daniel Bernoulli observa d'abord que pour former cette valeur avec exactitude, il

{*) Essai sur In Prohahiliu': des décisions, p. 'i'jf), el Discours préliminaire, p. cvij.

fallait n'y pas comprendre les individus qui avaient une maladie ou des motifs connus de craindre une mort prochaine ; et Condorcet pensait qu'un risque nécessaire et habituel ne pouvait pas servir de terme de comparaison lorsqu il s'agit d'une détermination volontaire; que d'ailleurs on ne pouvait pas se borner à ce seul terme, et qu'il en fallait au contraire un très-grand nombre, afin qu'il y en eût pour les diverses spéculations qu'on pouvait se proposer. Cette dernière objection me parait au fond la plus solide 5 car si nous nous habituons pour nous-mêmes au danger de mourir dans un intervalle de temps trèscourt, nous l'apprécions mieux à l'égard des autres, et nous faisons reposer des intérêts plus ou moins grands sur rcxistence des personnes, d'après leur âge et 1 état de leur santé.

En calculant donc le risque de mourir dans rintervalle d'un an, d'un mois, dune semaine, d'un jour, d'une heure môme, pour des personnes bien portantes de dilîérents âges, on formera sans peine 1 échelle dont nous avons parlé.

La Table dressée par Deparcieux sur les individus choisis (126) donne, à làge de 20 ans, la probabilité

- — T OU environ tle mourir dans l'année,

bi4 10^

8l4-Ô2 S'il)!

dans le mois, dans la semaine,

ou environ - — -— •> dans le iour,

dans une heure.

Ces probabilités varient avec 1 âge, mais par des dillércnces fjul soni d'autant moindres, cpie l'intervalle de

DP.S 1>1U)BAB!LITI^:S. 265

temps est plus court. Prenant dans la même Table les j)r()habililc's analogues pour l'âge de 5o ans. on trouve

- — dans lin an, -r— — ir- clans une semaine, etc. ;)bi 5oi . 5'.'.

Si Ton rctraneliede ces dernières celles qui torrospondent à r.àire de 9.0 ans, la diiïérenee sera le mesure de l'augmentation rpie Tàge apporte au risque d(! mourir pendant l'année, la semaine, etc., augmentation dont l'importance morale est fort petite ; car un homme de 5o ans qui jouit d'une bonne santé n'appréhende guère plus de mourir dans un intervalle très-court, qu'un jeune homme de 20 ans. Ce genre de probabilités était celui que Condorcet proposait de préférence, comme pouvant servir de terme de comparaison. Au reste, ce ne sont encore là que des vues qu'il ne faut pas trop restreindre ; car il est évident que le sujet ne saurait admettre des nuances bien délicates, et que le but est rempli quand on a ollert à l'imagination un rapprochement qu'elle peut saisir.

Bcsimié ^(hH'inl. '

[QA. Dans les Notions préliminaires formant le premier paragraphe de ce Traité, j'ai tâché de faire sortir celle de la probabilité, des habitudes mêmes de notre entendement, et de montrer que, reposant par sa nature sur une énumération, elle pouvait être susceptible de se prêter au calcul, au moins dans un grand nombre de cas. Après avoir parcouru les plus importants, il me paraît utile de résumer les circonstances remarquables qu ils nous ont ollertes, comme devant compléter le Tableau de la science, déj.à ébauché en parlant de son origine.

Déterminer le rapport du nombi e des chances qui amènent un événement, au nombre total des chances qui peuvent arriver, en descendant jusqu'à celles qui sont également possibles, tel est le problème à résoudre quand

les événements sont pioduils paidcs combinaisons dont les éléments sont donnés, et dont le mode est connu, ce qui est le cas des jeux •, et l'on sent qu'alors le calcul doit souvent rectifier les simples aperçus du bon sens, qui ne peut pas suivre le détail des combinaisons, lorsqu'elles se multiplient et se compli([uent au delà d'un certain terme. Aussi avons-nous donné plusieurs exemples d'erreurs remarquables (19, 21, 46).

Le penchant qui nous fait attendre avec plus de confiance l'arrivée de l'événement par rapport auquel nous pouvons répéter plus souvent le jugement de possibilité que le jugement contraire (o) ne serait, dans le cas qui nous occupe, qu'une illusion, si la théorie mathématique des combinaisons ne montrait pas que le nombre de celles qui sont favorables à ce penchant augmente à mesure qu'on embrasse un plus grand nombre d'épreuves (^J3), et qu'elles conduisent à des probabilités dont la grandeur frappe également tous les esprits-, en sorte que le temps donnerait aux plus grossiers la preuve de ce qui ne peut d'abord être saisi que par une sagacité trèsexercée : et de là se déduit le petit nombre de propositions sullisantes pour fonder les motifs qui nous font croire à la probabilité (39,40) (*).

Cette même propriété de la répétition des épreuves conduit à l'évaluation pécuniaire des événements aléatoires, et mettant en évidence les suites que doit avoir nécessairement à la longue la plus petite inégalité dans le sort des joueurs, dès (pi'elle est constante (09). montre combien il est imprudent de se livrer au jeu quand on y a du désavantage, et même de risquer des sommes un peu considérables, quand le jeu est égal, parce que, dans une

(*) Le fond de ces diverses propositions est renfermé d;»ns ce jugeinenl de Gibbon : « Les lois de la probabilité, si l'raics en général, si trompeuses en particulier. » {ilétuoircs de Gibbon, t. l*"""; j>. 261-262 de la tradticliun l'rançaise.)

DKS l'I\01lAltlLITI^.S. 9,67

longue suite de pailies, il dcvienl de ])lus en plus [u-obai)ii; (jue l'un des joueurs é[)rouvera une perle surpassant telle sonune qu'on voudra (71).

1(33. Ce n'est pas pour les seuls événenuMits que nous pouvons voir soi-tir des combinaisons (jui les produisent, <|ue la probabilité acquiert du ci'édit sur notie esprit : elle opère de même à l'égard de la répétition des faits dont l'origine nous est totalement inconnue. En assimilant la production de ces faits an jet d'un dé, au tirage de numéros pris au hasard dans une urne, on doit en effet conclure du théorème de Jacques Bernoulli (34) que, si des observations multipliées manifestent, dans la succession des divers événements, des rapports renfermés entre des limites peu distantes, ces rapports indiquent à peu près les probabilités simples d'après lesquelles on peut conjecturer sur l'avenir. Le sentiment de la constance des lois de la nature, inspiré de bonne heure ])ar l'immense répétition des mêmes successions dans le plus grand nombre des faits qui se passent sous nos yeux, avait conduit à cet aperçu; mais il n'était pas inutile, ce me semble, de le voir sortir aussi du développement des combinaisons mathématiques, et, ce cpii est encore plus remarquable, de l'obtenir comme le terme moyen du nombre infini d'hypothèses qu'on peut faire sur la possibilité des événements dont les causes sont tout à fait ignorées (87, 93). C'est sous cette dernière forme qu'il est bien circonscrit, qu'on reconnaît les bornes où il faut le renfermer, et comment l'assurance diminue à mesure que l'étendue de l'avenir augmente par rapport à celle du passé (91).

La fréquente succession des mêmes faits, qui mène à l'idée d'une liaison nécessaire entre eux, étant soumise au calcul, donne une mesure de la probabilité de cette liaison, et montre jusqu à quel point ou peut y couiptex',

quand même on n'aurait pas d'autres motifs de l'établir (104, 105). Cette théorie mérite quelque attention, puisqu'elle oflre un moyen très-spécieux de réfuter les excès du scepticisme , sans recourir à ces principes posés à priori, et tout au moins aussi douteux et aussi obscurs que ce qu'on veut prouver par leur secours.

160. La déleriTiination des probabilités par le nombre et le mode des combinaisons; le même problème, lorsqu'on n'a [)Our données que l'observation des événements passés-, euiin la détermination de la probabilité de l'existence des causes, ou, pour parler plus exactement, des tendances naturelles à la production des évéii(,'ments qui sont plus répétés que d'autres, sont donc des questions dont la solution n'est pas seulement curieuse comme pouvant exiger beaucoup de science de calcul, mais encore coinuie donnant des fondements plus solides aux principes généraux de l'art de conjecturer (* ).

1(37. Pour a[)pliqucr cet art, il faut des donn(':es; et suivant leur nature elles seront susceptibles ou non de se prêter au calcul. Celles de la première espèce ne manquent point dans lis jeux, où elles se tirent des conventions établies et de la forme des instruments aléatoires. Dans les autres applications, ce sont des faits qui n ont encore été recueillis que d'une manière très-incomplète,

(*) La dernière de ces questions, considérée en généra), a bien l'iniporlance qiron lui altribue ici, mais non pas dans loules ses applications. La connaissance de la valeur précise de la probabilité, que des eflels sont dus à une cause plutôt qu'au hasard, n'apprenant rien sur la nature de cette cause, parait bien loin de répondre par son utilité à l'appareil de calcul qu^exigo très-souvent sa détermination. Quand la répétition des faits ou leur constance est suHisamnient constatée par les moyens les plus simples, on essaye de les lier par des hypothèses; et Phistoire des sciences prouve qu'on marche à ci-t égard du simple au composé, en suivant Tordre des apparences, qu'on prend d'abord ce qu'on voit pour ce qui est, et qu'on i apporte les formes cl les cllcis nouveaux à ceux qui somblonl les plus réputés.

DES l'KOltAniLITÉS. 269

ft pour certaines classes seulement. La principale, cclh; (les laits concernant la durée tic la vie lunnaine, a fourni (Vutiles spéculations, et d'autant plus siires, qu'elles ont ('■lé appuyées sur les éléments plutôt observés que conclus-, cai-, ainsi qu'on l'a vu plusieurs fois dans le cours de cet ouvrage, c'est par les hypotlà'scs imaginées pour sup- ])lé(!r aux observations immédiates, que Terreur s'introduit dans le calcul. Les questions (jui s'y montrent le plus rebelles sont, sans contredit, celles (pii tiennent à la volonté des hommes; mais cependant nos actions ont des consé(|uences aussi nécessaires ijue celles de toutes les autres Ibrces de la nature, et laissent des traces qui, scrupuleusement examinées, discutées et énumérées, fournissent à posteriori une mesure de la valeur de ces actions. Si, par rapport aux témoignages, aux jugements, les passions se jouent du calcul, leurs effets bien observés en préciseraient toute l'influence beaucoup mieux que les déclamations auxquelles on peut aisément, avec de bonnes intentions et peu de lumières, se livrer sur un sujet tant rebattu (*).

Ainsi ne nous lassons pas de répéter, avec tous ceux

(" ) Eu exemple de ce grand fait, on peut citer les Comptes généraux de V Administralion de la justice criminelle, publiés en France depuis iSaS. On y voit, dans les rapports des divers genres de crimes, classés suivant les sexes, les âges, les localités, etc., une constance déjà bien marquée, offrant dis résultais curieux et peut-èlre utiles. {Voyez, d'une part, les recherches de M. Queleleî, dans les Mémoires de l'Académie de Uruxellrs, t. \ 11, et dans la Revue cncjclopédi'/ue, mars i833; et de l'autre, VEssui sur laSlatiilique de la France, par AI. Guerry.)

En {jéneial, depuis quelques années, la comparaison des phénomènes sociaux ix pris un développement très-considérable. MM. Beiioiston de C^hâteauneul', Charles Dupin, Quelclet, Villemié et d'autres ont dépouillé, sous de nouveaux points de vue, les registres de Tétat civil, de la conscription, des écoles, les états de consommation, et en ont tiré des conséquences intéressantes. Si Ton peut trouver que dans quelques-unes de ces comparaisons le nombre des faits recueillis n'est pas encore assez considérable pour que, les moyennes variant peu, les résultats aient une grande probabilité, les auteurs auront au moins le mérite incoalestable d'avoir préparc à leurs successeurs des cadres importants.

([ui tlésirent sincèrcinont les progrès de la civilisation, qu'il CM faut toujours revenir aux faits; que tout, à la longue, peut se compter, se mesurer, et par conséquent être soustrait, au moins en grande partie, à l'empire de l'imagination 5 mais disons aussi qu'on ne saurait atteindre ce point si désirable qu'en mettant la plus grande rigueur et le plus grand détail dans la classification des faits, afin d'éviter ces associations irréfléchies et inexactes qui chargent les meilleurs principes de conséquences odieuses tout à fait étrangères à ces principes, comme on pourrait le prouver, non-seulement par des discussions raisonnées, mais en montrant par les faits que les mêmes conséquences ont pu être tout aussi légitimement attribuées aux principes les plus opposés.

Enfin, quand les faits manquent ou ne sont pas concluants, la discussion qu'il faut substituer aux mouvements d'un enthousiasme souvent factice, par lesquels on a égaré les hommes dans tous les sens, cette discussion, dis-je, doit prendre des formes assez analogues à celles dii calcul Balancer des avantages et des inconvénients, séparer des exceptions, fixer des limites, n'est-ce pas en effet une sorte de manière de compter? et quand l'alîirmatif et le négatif se montrent au même degré, peut-on faire autrement que de rester dans le doute jusqu'à ce que de nouveaux faits l'aient dissipé (*) ?

(*) Franklin s'était fait, pour cette sorte de calcul, qu'il appelait Algèbre morale, une molhodo qui revient, au fond, à ce qu'on a dit d:in> la noie de la page 16, et qu'il recommande au célèbre Pricslley, dans lo~ termes suivants :

'( Je ne puis, dans l'afTaire importante sur laquelle vous demandez mon avis, me permettre, faute de données suiïisantes, d'influencer votre détermination; mais si cela vous est agréable, je vous apprendrai comment vous parviendrez à prendre vous-même, à l'avenir, une décision. Dans \f cas de ces hypothèses embarrassantes, d'où provient surtout la dilhcullr ' De ce qu'alors môme que nous les méditons le plus, tontes les raison.-, qu'on pourrait alléguer pour ou contre elles ne se prcsonlent pas d'abonl à notre esprit. Une de ces raisons nous frappera dans un temps, bientôt

DES l>Hitn\niLITÉS. -ini

lions la perdons de vue, i>t c'est alors uno antri! qui lui siiccèdo : de là loiiles ces incertitudes, ces allernnlives, ces irrésolutions auxquelles nous sommes en proie; de là celle perplexiio (jui nous lourmonle. Voici quelle est ma mélliode pour parer à cet inconvénient : je divise en deux colonnes, par un trait, une feuille de papier; j'inscris en tôle de Tune di; ces colonnes le mol /wur, et en tète de l'autre le mot cnnirr. Après deux ou trois jours de réflexions, j'écris au-dcssouu de chacune de ces tôles de peliies notes sur les diflererites raisons qui se présentent de temps h autre à ninn inia(jination, pour et contre la mesure que je dois adopter. Lorsque enfin j'ai réuni sur ce petit mémorial une masse suffisante de raisons contradictoires, je me mets en devoir de peser leurs valeurs i-especlives. Si je trouve que deux raisons {une de clinque côté) soient d'un même poids, je les élimine toutes les deux ; qu'une raison pour égale (/eux raisons contre, je supprime le tout; que deux raisons contre égalent trois raisons pour, j'efl'ace les cinq, et ainsi de suite, jusqu'à ce que je trouve enlin de quel côté demeure la balance. Après deux nouveaux jours de réflexions, si quelque arrière-pensée importante n'est venue apporter de changemenl à ma balance, j'en fais l'arbitre de ma décision. Quoiqu'on ne puisse, à la rigueur, supputer et peser des raisons ensemble avec autant d'exactitude qu'on établit des quantités algébriques, cependant, quand, après avoir discuté séparément et comparativement chacune de ces raisons, j'en ai reproduit sous mes yeux toute la masse contradictoire, je pense qu'il me devient plus facile d'asseoir un jugement et de prendre une détermination : je me crois en même temps moins exposé à commettre des erreurs. 11 est de fait que je n'ai retiré que de très-grands avantages de cette espèce d'équalion, dans ce qu'on peut appeler une Algèbre morale. »

{Correspondance inédite de Franklin, lettre du 19 septembre 1772 à Priestley, t. I, p. 29. Paris; Janet père, 1817.)

\'J-z TKAITÉ ÉLÉMENTAIRE

\()TK r.

Sur le n" 27, page \q.

1° La formule de Stirling donne immédiatement la somme des lof^arithmes des termes d'une progression par différence. En prenant la suite des nombres naturels depuis i jusqu'au nombre quelconque x, on a

lH-l.i + 13 + ...-(-la, = -12 77+ Lr-h- \x — . r H — ; + . . . ,

1 \ il llX OOOX''

TT désignant le rapport de la circonférence au diamètre (*). Les logarithmes indiqués étant pris dans le système népérien, il faudra, si l'on veut employer les logarithmes ordinaires, multiplier par le module 0,4342945 les termes où il n'entre pas de logarithmes.

En jiassant aux nombres, et désignant par e le nombre 2,7 i8'.>.8i8, dont le logarithme népérien est l'unité, il vient

\ .I.Z . . .X z=\J ITI •

(*) Voyez le lll*^ vohinio de iiioii Tiaiic du C.ilcul dij/crenlijl et du Calcul intégral, iii-4°, ou la fin du Traité clémeittaire sur le inciiie sujet.

Oii pourrait ratilement introduire dans les Tables de logarithmes les sommes de ceux des nombres consécutit"s, ce qui serait forl utile pour calculer les termes des puissances élevées des binômes, comme je l'ai indique dans le n° 137. On trouve une Table de cette espèce à la fia des Miscellanea analytica et de the Doctrine of Chances, par Moivre j en 182^, M. Uegtn, professeur à Hanau, en a public une plus étendue, qui donne ces sommes pour tous les nombres jusqu''à laoo, avec i8 décimales : il y a joint d'auties Tables et des développements sur le même sujet, forl utiles pour le calcul des probabilités. L'ouvrage de M. Degen esl intitulé : Tahularum ad /acilioreni et breviorcni piobabililaiis cunipulaiioncm utiltum cnneas.

UKS l'KOBABILITl'S. "2^3

produit dans lequel le dcrtiier (aeleur approelie d'anlanl plus de l'unité (pu; le ru)inl)i-e .r est plus considérable (*). 2" Cela posé, ou ohlieul, pour le produit

l'expression

rp — l p^ip '" .,' ' 'J ~\- ^—\

et si on la divise par celle du produit i . ?. . 3 . . .«7, on trouvera que

3° Si l'on fait p=:iq, et qu'on divise ce dernier resultat par 2'î, afin d'obtenir le rapport du développement de (i + i)''' avec le ternie moyen, on aura

•^ -^yp "■ X--1 1/ — \v 7/ = i.<, «V '1)27'

'2?1 sJT.TZ.q'^l-^' \T^q

(*) On trouve dans la Théorie analyliijue des Piohabiliics, p. 129, une expression du même produit, différente, en apparence, de la précédente, mais qui s'en déduit en développant l'exponentielle

par la formule connue

en ordonnant le résultat suivant les puissances descendantes de x, on obtient

/J*^ (-(litio/i. 18

En posant 27 = 100, on en déduira le nombre o,0';9589'2, rapporté sur la page ^o.

A mesure que r/ augmente, l'expression ci-dessus s'approche de

S^nq V 27:7 V 7:/>

quantité qui devient de plus en plus petite.

4° Si l'on fait p =irin -\- rn^ q=zrn, pour obtenir le plus grand terme du développement de [m -\- n)'''"-^"' (29), on trouvera d'abord que le coefficient revient à

rm H- 772 -j- - | /'J I -\ —

{nii -\- rn) i-2i\m-i-n m n)

Xt-

m -)- - rm -t- -

y2 7r(/'rt) '^ \^f")

rm -\- rn -h- i / i ' ' \

sJlTz rmn . m™ n''

puis mullipliant la dernière de ces valeurs par- ; — -— ?

r 1 I [m -fr n)""-^''''

il viendra

I m-\- n \xr\m-\-n m n } V 2 /T rm n

pour le rapport du développement de (/»-+-/?)'""'+"' avec son plus grand terme.

Il est visible que ce raj)port diminue à mesure que / aug-

... , I iii-\- n ...

mente, et (lu il tenu sans cesse vers i/ •> quantité nia

y •x-nnn

peut devenir aussi petite t|u'on voudra, on ineiiant jiour / un nombre suffisamment gnind, ce qui s'accorde avec les remarques du n" Z'I.

5" Le rapport de deu\ termes quelcontpus du développement de [m + //)/', affectés de mi'-^'i n'i et niP-'i ri'i', en négligeant, pour abréger, les séries e.xnonentielles «ju'il est bien facile de

DF.S PIIOIÎ\UlI.ITi:S. 2yj

rostifiuT, .1 |)(»iii- oxpii'ssioii

n' 'ip-n') ' n'^~'>

6° Soit p = rm -h rn, r/ ^ r/f, q' =z m — /•; l'expression précédente deviendra

m — r H — rm -+- r -i —

im -+-/■« -t- 1 m — '-t-p r/H -(-;■-( —

m — /'-h- ini-i-r-i

résultat remarquable par sa forme et dont la valeur numérique est susceptible de croître indéfiniment en même temps que le nombre r, ce qui prouve la proposition du n° 31. Pour s'en convaincre, il suffit d'observer que

n — i\'" — '■ fn — i\ '•(« — ')

n j \ n] n in' 3/2^ ' ' '

\ m ) \ m) m iiir S m'

ce qui donne

2y6 THAITÉ ÉLÉMENTAIRE

car la série qui multiplie r dans la dernière expression étant convergente et toujours positive, il s'ensuit que la valeur de cette expression croît toujours avec le nombre r, et que par conséquent il en est de même de

rn — r-\ — rm -h r -i

1 \rn — r / m •+- l\rm-+- 1

Si l'on posait «7'= rn-^r, ce qui donnerait/) — q'=rm — r, ce changement ne ferait que mettre, dans le rapport obtenu ci-dessus, m à la place de n, et réciproquement.

"j" Si dans l'expression du coefficient du terme général du développement de {m -\- n)P (p. 274)» OQ (ait p = rm -\- rn , q := rn — q', d'où p — q z= rm ■+- 7', et qu'on la multi[)Iie

par r ) elle deviendra

rm -i- in-i — (rm -\- rn) ^

m — q -i rm-hq -\

SpÏ7:.[rn — q') '^ [rm -\- q') ^

\l\rm-+- rn rm-hq rn — q } m ^ n '

(TO-h/z)'-'"-^'"

et nous allons la simplifier en supposant 7' très-petit par rapport aux nombres rm et m. Le premier licteur se met aisément

sous la forme

rm -t- rn-i —

{m-hn) "■

V 1-Kr.n

rm -+- q

/•// / \ rm

nivs imioiiabilitAs. 277

eriecliianl la inultiplicalioii par le 3"' facteur et réduisant, «m obtient

si

m -\- n 2 TT rnin

ni — q' -\- - nu -\- q' -\-

m / \ nii

Observant ensuite que

rn 1

\ rin]

puis développant les exposants de c, et faisant leur somme, on trouve, après les réductions,

et si l'on suppose le nombre <[' assez petit par rapport aux nombres rm et rn pour que son carré seul puisse entrer en comparaison avec leurs premières puissances, on réduix'a celte expression aux termes

2 /•// d'où il résultera enfin

I m H- n -1 r \m'^ Il / / m H- n

y 2 71- nnn y 2 tt r/nn

m -t- Il

expression qui donnera une valeur approchée du rapport entre le ternie affecté de /«""+?'«"'-?' et la puissance (/// + /?)'"'"+'^", si l'on néglige la série exponentielle qui compose le second facteur de l'expression proposée, et qu'on regarde q'^ comme compa-

rable seulement aux premières yniissanccs des nombres rm et rn (*),

Si l'on compare cette expression à celle du rapport entre le développement de (/«-{-«)'''""*"'■" et son plus grand terme (p. 274), on verra que

7« -f- Il ,,

2 rmn

est une expression approchée du quotient de ce ])lus grand terme divisé par celui qui est affecté de m^'^-^'i' n'"~'f ^ et si Ton y fiùt w = 18, « = 17, /•/« -h /■« = i4 000, d'où r^^L\oo, (f = i63, elle donne 44»7> valeur qui ne diffère pas sensiblement de celle qu'a trouvée Nicolas Bernoulli dans l'endroit cité sur la page i5g, et d'oili il conclut que la somme des i()3 termes qui précèdent le plus considérable du développement de (/« -A- «)"""• et des i63 qui le suivent est au reste de ce développement dans un rapport plus grand que celui de 43,58 à i. On peut parvenir à ce résultat au moyen des remarques faites dans le n" 3i; car si Ton conçoit que les groupes de termes formés à partir de M, de L, etc., soient composés chacun d'un nombre </' de termes, et qu'on les représente par g^, §•', «'",...on aura

Si donc on fait — =: ^, il viendra

et, par consécjuent,

et cela, en quelque nombre (pie soient les groupes : donc enfin le groupe o, sera à la somme de tous les autres dans un rappt)rt plus grand (jue h — 1:1.

(*) Elle devient celle qu'on trouve p. 278 de la Thcorie analj tique des Pràhiihililés, lorsqiroii y change riii -+- rit en n, rm on -r . rn en x' et 7' on /.

DES l'HOBADILITÉS. 270

8" On poul fiicoio ol)tciiir plus dircclonioiil la valeur approclit'c (lu rapport entre le groupe de termes désigné par ^' et la totalité du développement de (/« + n)i', en cherchant la somme des valeurs que prend l'expression

depuis fj' = o jusqu'au nombre assigné pour sa j)lns grande valeur, an moyen de la série sommatoire donnée j)ar Kuler dans son Calcul différent/cl, et qu'on trouve aussi aux endroits cités en note au bas de la page 272. Cette formule, qui est

o ri ' 1 il ff

Su = I iiûx -\ — Il -] 4- . . . ,

•^ 2 12 dx '

lorsqu'on y fait x = 7', n ■= h(~ '"l'\ don

ne

<i,bc~"l"=bJe-'"l"\\q'-^lbc-'"i''~~haq'c-"l'^'-\-... :

niais on j)eut se borner aux deux premiers termes quand bn est fort petit, ainsi que cela a lieu pour l'exemple proposé, puisque

/" + /; , I m -\- n la

înnn y intm/i y 77

En posant alors fi's,a=^ t, on obtient l'expression I ,, ,-- , I /a ,'.

qu'il faut prendre depuis t^o jusqu'à la plus grande valeur de t et doubler, si l'on veut réunir le groupe qui précède le plus grand terme à celui qui le suit; puis on y ajoutera ce terme. Dans la Note III, je reviendrai sur l'intégrale indiquée.

On peut tirer de ces formules une démonstration de la projjosition du n° 3i; mais celle de Jacques Bernoulli paraît préférable, non-seulement parce qu'elle est élémentaire, mais encore parce qu'on y voit mieux la marche de l'approximation que dans les calculs ci-dessus, fondés sur des séries qui ne sont point convergentes dans toute leur étendue, et où l'on néglige beau-

aSo TnAni-; éj-émi:ntaike

coup de quantités dont il ne scndjie pas facile d'apprécier exactement rinfluencc sur le résultat.

En terminant cetle ]Sote, je dois dire que la sommation de la partie moyenne des termes des puissances élevées du binôme a été ramenée à des intégrales définies par Laplace dans les AVmoires de l'Académie des Sciences, anne'e 1782, p. 60, et par Legendre dans les Exercices de Calcul intégral, V partie, p. 235.

Sur le \\° 91, page \^S.

1° Si l'on applique à l'expression de S,'"' (89) la formule <le Stirling rapportée p, 272, on trouvera, en faisant abstraction des séries exponentielles,

ni H n-\ —

— m '■'- n '^ ^"'+"+1 = V 2 TT . X

[m /fi"'n"

[m + « -hi

On peut simplifier la dernière de ces expressions en observant que si p est un très-grand nombre par rapport aux nombres A et /, on a sensiblement

puisque

X 1 14-^ ^ -H ^AL^A'l^ iii-,)ii- .,)A^ i p 1 .2 p^ 1.2.3 p^

i)i;s l'uoitAiîiLiTits. 281

ft que, si l'on passe aux limites des différents teimes de ces séries, en supposant j) infini, la première devient

et la seconde se réduit à son premier ternie i. Par ce moyen, la quantité

HH- n -t- -

se change en

donc

e : la valeur de S, "'"^ devient

hy. r. inn y m-\-n

comme on le voit dans les Exercices de Calcul intégral par Legendre (IIP partie, p. 348) ; et il observe avec raison que l'approximation exige que les nombres m et n soient tous deux trèsgrands.

2° On trouve de même que

' [m-irp — q-\-\) [in+p — q-^-T.). . .(/«+«+/>> H- 1)

wi -t- n H- p-\

et, comme on suppose que les nombres m et n sont très-grands par rapport aux nombres /j et 7, on peut réduire

[rn-irp~q)

•282 TRAITÉ ÉLÉMEKTAIRE

à m ^ e''~f', et ainsi des autres : il vient alors

m -1-/7— 0-1 n-hq-i

valeur qui, divisée par celle de S,'"'" obtenue précédemment, donne pour quotient

C'est à peu près ainsi que Laplace a démontré, dans le tome VI des Mémoires des Savants étrangers (p. 626), la proposition énoncée à la fin du n" 91.