ni/i

réduit à 2.

D'un autre côté, pour (ju'il soit permis de négliger le

/•■■' ;' terme - — dans la série exponentielle du développement ouï-

de I I H -\ (p. 291), il faut (ju'en y faisant z = c, ce terme

demeure fort petit. Or, en mettant à i)art le facteur - — qui ne ' 6/n-

peut pas tomber au-dessous de ^, il reste le facteur rz-^

qui, devenant rc^ à la limite de l'intégrale, et se changeant

eu r % lorsqu'on fait c = —^', prendra un exposant négatil

si -^1. Joignant cette condition avec la précédente, on en

conclura que, pour obtenir l'approximation supposée, c doit être entre — = et -j-x? que par conséquent plus r sera considérable, toutes choses d'ailleurs égales, plus on pourra prendie e |)elit,

( * ) Vojtz à l:i lin du Traité élénwnlairc de Calcul diJfcicrUiel et de Calcul intégral, 4*' cdilion.

294 iiîAiTÈ I!:LÉMI•:.^TAll',^:

et que moins on réduira la valeur de r, plus la limite de / deviendra grande, plus alors la probabilité cherchée approchera de l'unité.

2" L'usage fréquent que l'on peut faire de l'intégrale Jc^'-' d/, qui se présente souvent dans cette recherche, comme dans beaucoup d'autres, est une raison pour entrer ici dans quelques détails à son sujet.

D'abord la valeur de cette intégrale étant la même pour les t négatifs que pour les t positifs, on peut, aux limites t=z — infini et t =zo, substituir c' = o et ^ = infini, qui se succèdent dans le même ordre par rapport à l'accroissement de la variable t.

En substituant à e~^ son développement suivant les puissances ascendantes de /, et en intégrant, on forme une série qui donne la valeur de Jc~'^ àt, lorsque la limite de t n'est pas un grand nombre ; mais, dans le cas contraire, il faut chercher une série descendante qui s'obtient en faisant attention que

At e

et en continuant cette intégration par parties sur le facteur c~^ , après avoir multiplié et divisé par f. On trouve de cette manièie le développement.

fc dt = I 1 H

•^ 9.t \ 2t^ 7.-t^ iW^

qui, s'évanouissant lorsque c est infini, donne, depuis / = T jusqu'à t infini,

Retranchant ce résultat de Iv^r, on aura la valeur de /V"~' Ai depuis t =: o jusqu'à / = T.

La série ci-dessus cesse d'être convergente, mais d'autant plus tard que T est plus grand ; et comme ses ternies sont alternativement positifs cl négatifs, elle donne juscpic-là des limites trés-resserrées de la valeur (|iu' l'on (■luichc.

i)i:s l'uoii.viiii.n i^,s. u»;r>

5" Dans la Iraiisloriiialiou précédente de J.i"'(i.i\i — x)"

vfi Je~' lit, nous n'avDns employé (pie les premiers termes de

la série exponentielle en z [p. 2()i ); il est eependant possible

d'avoir égard aux autres, en faisant d'al)(»rd égal ;\ — /- l'expo-

saut de r dans le produit des (lev( l()ppeu)ei)Is de I i -f- — 1 ?

.'t d<' Il j , ce tjui donne

r-z' / I 1 \ rz-' / I I \

ou bien ,

/•'s' r^z'irn — // ) r-'z' (/«' — mn -+- //') 2W/7 6iir/r i^iii^rr

en changeant les signes, réduisant et observant que

//- — tn- =: — r[m — n), /r -f- /n^ = /(/;/' — i//n -\- //'), ....

On déduira d'abord de cette équation les limites de ( au moyen de celles de z; puis on y fera

|)0ur obtenir dz, et les coelficients A, B, C, etc., se détermineront à l'ordinaire en établissant l'identité des deux membres : on aura ensuite

■ - > m"'/i" -, , / rz\ '" j rz \ "

Jc^'' i\t{\ -f- 2Bf H- ZCt'-{-.

Lorsque la variable t doit être comprise entre des limites positive et négative de même grandeur, on simplifie le calcul en séparant l'intégrale en deux parties, l'une embrassant les valeurs positives de t, et l'autre les valeurs négatives ; car ayant d'une part

/■6'--'\U(A + 2B/ -f- 3C^'-i-.. .), de l'autre

— fc-'\\t[\ — ?V,t + HZi- — . . .),-

296 XUMTÉ ÉLÉMEKTAIRE

et retraDchant le second résultat du premier, on olitienl

Dans le cas particulier rjue nous examinons, les limites de t ne pourraient être supposées de même grandeur qu'autant cpi'on né{^ligerait les puissances de z supérieures à la seconde ; mais s'il s'agissait d'obtenir l'intégrale y jr"'dj: [i — x)", entre les limites jc = o et x = i , cela reviendrait à supposer nuls alternativement les facteurs