FIX CE LA TABLE DES MATIERF.S

TRAITK ËLélENTAlUE

DU

CALCUL DES l'ROBABILITÉS.

NOTIONS PRÉLIMINAIRES SUR LE SENS DES MOTS CERTITUDE ET PROn.lBJLTTÉ .

{. La co//JCïe/zce d'une sensation actuelle, \dL perception instantanée cl avec pleine évidence delà convenance ou de la disconveuancc de deux idées : voilà où se trouve, sous le double rapport de nos facultés physiques et intellectuelles, le plus haut degré de certitude, la certitude absolue ; bien entendu qu'il faut écarter de la sensation les jugements dont on pourrait l'accompagner pour prononcer sur sa cause ou la rapporter à un objet particulier, et de la comparaison des idées tout ce qui ne se réduirait pas à des idées simples et tellement circonscrites, que rentendement puisse les embrasser d'une seule vue (■*'). C'est en vain que les philosophes ont cherché pendant longtemps un critérium de vérité différent de la parfaite intuition que je viens de rappeler, puisqu'au bout des plus longues explications il faut toujours en venir à reconnaître dans l'esprit la faculté de saisir immédiatement l'accord ou la convenance de deux idées ou de

(*) En employant les mois facultés physiques et intellectuelles, je u'ai vn vue que de me conformer à la division établie par le langage ordinaire, sans rien préjuger sur l'origine et la connexion de ces facultés, ^•^ édition^ i

deux notions. Aussi tous leurs clTorls, quand ils les ont bien dirigés, j/onl servi qu'à les ramener à ce terme avoué maintenant par tous les bons esprits, qui paraissent convaincus que le seul objet des règles essentielles du raisonnement est de prévenir toute illusion dans le jugement que nous portons de celte évidence, en examinant avec soin Tétendue que reçoit chaque idée dans les diverses combinaisons qu'on en fait, et en contrôlant sans cesse la vérité de nos souvenirs et l'exactitude de nos énumérations. C'est en e(ïet à cela que se réduisent les fameuses règles deDeseartes, auxquelles on n'a rien ajouté d'essentiel (*).

2. Des sensations et des jugements simples confiés à notre mémoire, naissent des séries de conséquences dont la certitude dépend d'un nouvel élément, la fidélité avec laquelle cette mémoire nous rend ce que nous avons éprouvé. La conGanee que nous acquérons à cet égard n'est fondée que sur la constante répétition du fait, et sur l'assurance que celte répétition nous donne de son renouvellement chaque fois que nous le désirerons ou que les circonstances l'exigeront. Ici se montre un penchant ou

(") Voici ces rL'jjIes, suivies de celles <iiic Nowlun a prescrites pour les recherches physiques.

Règles de Descaries {Discours de la Méthode, édit. de iGS^, p. ao).

(( 1*' Ne recevoir jamais aucune chose pour vraie que je ne la connusse » évidemment être telle : c'est-ii-dire, éviter soigneusement la pré- » cipitation et la prévention, et ne rien comprendre de plus en mes ju- » gemcnls que ce qui se présenterait si clairement et si distinctement à » mon esprit, que je n'eusse aucune occasion de le mettre en doute.

» 2° Diviser chacune des diflicultés que j'examinerais en autant de .1 parcelles qu'il se pourrait, et qu'il serait requis pour les mieirs rei> soudre.

« 3° Conduire par ordre mes pensées, en commençant par les objets « les plus simples et les plus aisés h reconnaître, pour monter peu à peu, » comme par degrés, jusqu'à la connaissance des plus composes, et en

r)r,.s i'iioi)Miii,iTl':s. 3

une loi de l'esprit humain, la tendance générale à eroire au retour dos faits (jne nous avons observés plusieurs fois sur nous-niènies ou sur les autres objets, pen< haut qui se lie à l'opinion (|ue nous aetpiércnis bientôt delà constance des lois de la nature.

Ces propositions : Tout lioinnic mourra; le soleil se U'.K'era demain ; jai suivi telle dcmonstralioti, fcii ai irouvc toutes les parties exactes, et fai la conviction de la vérité énoncée, n'ont pas d'autre fondement.

Tant de faits, auxquels on n'a pu jusqu'ici en opposer aucun de bien constaté, ont vérifié la mortalité de l'es- |)cce humaine; le soleil s'est levé un si grand nombre de fois 5 tout homme, reconnu en état de santé et doué d'une

» snpposnnl même de l'ordre entre ceux qui ne se précèdent point natu- •1 rellenienl les uns les autres.

» 4" l'aire partout des dénombrements si entiers et des revues si jéni'- )> rnles, que je fusse assuré de ne rien omettre. »

f{èf;lis de JS'owlon (Traduction de ses Principes, par M"'*" du Chasielet, t. II, p. i).

« 1° Il ne faut admettre de causes que celles qui sont nécessaires pour » expliquer les pliénomènes.

» '2° Les effets du même genre doivent toujours être attribués, autant » qu'il est possible, à la même cause.

» 3° Les qualités des corps qui ne sont susceptibles ni d'augmentation Il ni de diminution, et qui appartiennent à tous les corps sur lesquels on •1 peut faire des expériences, doivent être regardées comme apparte- » nant à tous les corps en général.

Il 4" liaus la philosophie expérimentale, les propositions tirées par » induction des phénomènes doivent être regardées, malgré les hypo- » thèses contraires, comme exactement ou à peu près vraies, jusqu'à ce Il que quelques autres phénomènes les confirment entièrement, ou 11 fassent voir qu'elles sont sujettes à exception, n

Comme développement de ces règles, je crois devoir rapporter le passage suivant du même auteur:

(i Eu Physique, il faut, de même qu'en Mathématiques, employer dans » la recherche des choses dilTiciles la méthode analytique, avant de re-

inlelligcncc saine, a si conslarumcnl senti, quand il a voulu y revenir, la vérité de cliacuu d(;s jugements simples qui composent une démonstration, qu'on ne forme aucun doute sur la répétition de ces événements, quoiqu'on ne puisse s'crmpèclier d'y reconnaître une dillércnce essentielle avec la conscience d'une sensation ou l intuition d'un jugement porté sur deux idées simples dont la connexion est évidente. Aussi le degré de certitude acquis par cette voie est-il bien près de la certitude absolue; cependant, quelle garantie avons-nous qu'une loi naturelle, qui ne s'est pas encore développée à nos yeux, ne modifiera pas la succession de ces faits répétés un nombre presque inlini de fois, mais pourtant sans que nous ayons

» courir à la méthode synthétique. La première consiste h faire des n expériences, à observer les phénomùties, à en tirer, par induction, des 11 conclusions générales, en n'admettant d'objections que celles qui ré- » sultent des expériences, ou d'autres vérités certaines; car, dans la phin losophie expérimentale, il ne faut avoir aucun égard aux hy]>othèses; 1) et bien que tirer des inductions des observations et des expériences ne >> soit pas une méthode générale de démonstration, cependant c'est » la meilleure manière de raisonner que puisse admettre la nature des >• choses. La conséquence doit être jugée d'autant plus ferme, que l'in- » duction a été plus générale. Si les phénomènes ne fournissent rien à » opposer a. cette conclusion, on pourra la regarder comme universelle; 1) mais si des faits ultérieurs y font reconnaître des exceptions, on devra » les indiquer toujours dans son énoncé. Par cette analyse on pourra » remonter des composés aux simples, des mouvements aux forces mo- » triées, et en général, des effets à leurs causes, des causes particulières » à d'autres plus étendues, jusqu'à ce qu'on parvienne aux causes les » plus générales. Telle est la méthode analytique. La synthèse consiste à » prendre pour principes les causes reconnues et vérifiées, à donner par » leur moyen l'explication des phénomènes qu'elles produisent, et à la » prouver. » {Optique de Newton, vers la fin du Livre Ul.)

Telle est la marche qui a conduit Newton à ses immenses découvertes; mais Descartes n'eut pas plulôt pose ses règles, qu'il s'en écarta, niême dans le petit ouvrage où elles sont énoncées; et, ne s'occupanl plus que de construire l'univers à />n'ori, sa philosophie n'a guère été qu'un tissu d'hypothèses téméraires que les observations ont bientôt renversées : c'est toujours des faits qu'il faut partir, et c'est aux faits qu'il en faut revenir, dans toute science véritable.

DKS PllODABILlTÉS. 5

j)U saisir la luaiiièrc (Fagir des causes (|ui 1rs produisent, nti la iiéccssiléde leur dépendance itriproque (*) ?

'A. Si des faits au\([uels nous ne connaissons encore aucune exception nous passons à d'autres ([ui nous en ont ollci't, nous verrons le doute s'introduire dans notre cspiit, par des nuances de plus en plus fortes. Quand il s'agiia, par exemple, de nous en rapporter aux témoignages des autres, la multitude d'erreurs involontaires et de mensongesprcmédités rendra très-circonspect l'homme de sens, dans son acquiescement aux informations qui lui seront données. Chaque fait qu'il aura pu vérifier par iMi-même, ou qui, ne sortant pas du train habituel des choses, n'aura été le sujet d'aucune réclamation, établira dans son esprit la validité des témoignages, mais les déceptions Tébranleronl d'autant plus qu elles seiont plus répétées. Il balancera les uns avec les autres les résultats contraires, demeurera souvent en suspens, et, s'il est forcé de prendre un parti, il ne le prendra que dans le sens où les autorités lui paraîtront plus nombreuses, mieux d'accord entre elles, plus conformes à ses observations ou aux faits bien avérés.

Un observateur qui a remarqué les fréquentes coïncidences de la chute de la pluie avec l'abaissement du naercure dans le baromètre, avec le règne de certains vents, avec un certain état des nuages, lorsqu'il veira le concours de tous ces indices, regardera la pluie comme prochaine, sans pouvoir assurer néanmoins que le fait arrivera infailliblement 5 car il se rappellera en même temps que ces apparences ont été c^uelquefois trompeuses, ([ue le mercure a baissé dans le baromètre et que le temps a été couvert sans qu'il ait plu, que des vents ou des courants supérieurs inaperçus, ou d'autres modifications de

(*) Voyez, dans les Essais philosophiques de Hume, ses réflexions sui

l idcc dr connexion nécessaire.

6 TUAITÉ l':i.KME.MAir.E

l'air ont dissipé les nuages les plus menaçants : mais il aura une ronfiance d'^julant plus grande dans rarrlvée de la })lui(', que la comparaison des faits conformes à sa conjecture avec les faits contraires lui donnera lieu de foimer un plus grand nombre de jugements pour l'afOrraer que pour la nier.

L'événement, qui est ici la cliule de la pluie, quoique douteux pour celui qui en observe les indices, n'est point cependant livré au hasard; il résulte de Kétat antérieur et présent de l'atmosphère et des conséquences nécessaires de cet état. Une intelligence supérieure, qui en saisirait toutes les conditions, en conclurait tout de suite ce qui doit arriver : l'homme, borné dans ses connaissances, ne pouvant démêler les conditions premières qui établissent la nécessité de l'événement, ou n'en pouvant faire une énumcralion exacte, récapitule les indices qui lui en tiennent lieu; et si, dans cette opération, les jugements successifs qu'il porte sont plus fréquemment affirmalifs que négatifs, « la vue de son esprit (dit Hume) revient » donc plus fréquemment sur un événement que sur son » contraire. C'est cette concentration de plusieurs vues ■» dans un seul événement qui produit, par un mécanisme » inexplicable de la nature, le sentiment de croyance: )) c'est par là qu un événement triomphe de son antago- )) niste, qui a moins de ces vues pour lui, et qui revient )) plus rarement à l'esprit (*). »

i. L exemple développé ci-dessus est de ceux où les jugements se forment immédiatement sur les indices tirés de l'expérience; mais c'est encore le même procédé lorsque la chaîne des raisonnements est plus longue.

Dès que le sujet n'oflVe pas toutes les conditions nécessaires pour arriver à la ccititude dune dénionsliation,

( " ) Lisais philcfophiijucs ilo nimii-: siii la l'iobahilitr .

Dl'.S 1>H0BABILITÉS. J

on ne sauiail plus faire qu'un examen de toutes celles de SCS conditions qui sont connues, en peser l'iinportancc, en considérer le nond)rc. S'il s'agit, par exemple, d'une question de crititpie littéraire, comme de déterminer si un ouvrage est bien de l'auteur dont il porte le nom, il faut puiser d'abord dans la discussioii des faits et des témoignages, dans la comparaison des formes du style, tous les indices qui sont favorables et ceux (jui sont contraires à l'attribution supposée. Si d'un côté aucune des circonstances, ne présentant de contradiction manifeste, n'établit rimpossibilité absolue du fait avancé; et de l'autre, si toutes les aflirmalions ne portent que sur des énuméralions qu'on puisse démontrer incomplètes, ou auxquelles on puisse trouver des modifications, il ne résultera de tout le travail qu'un assemblage de jugements allirmatifs et de jugements négatifs, qui produiront un effet proportionné à leur nombre ou à leur force, si d'ailleurs celui qui fait l'examen a soin de se garantir de toute illusion, et n'a pas pris son parti d'avance.

Ici se présente la distinction de la force des indices et de leur nombre : mais presque toujours la première qualité se ramène à la seconde; car qu'est-ce (ju'un indice plus fort? c'est celui qui trompe le moins souvent, qui, par conséquent, embrasse un plus grand nombre de cas favorables à la production de l'événement qu'il annonce, ou des développements duquel il sort un plus grand nombre de circonstances qui ramènent à la même conclusion. En suivant ce raisonnement, on voit que, dès que l'esprit humain ne peut plus rencontrer la certitude, la marche du raisonnement prend la forme d'une sorte de calcul dont le résultat acquiert de l'empire sur notre croyance, précisément par l'ellet de la répétition des jugements ou des observations. La bonté de ce calcul dépend ici, comme partout, du choix des données, et ensuite du bon emploi qu'on en fait; et ce bon emploi ne peut

consister que dans rexanien le plus détaillé dos circonstances de chaque donnée, dans le soin de les décomposer autant qu'il est possible, afin de n'avoir à prononcer que sur des propositions d'une égale simplicité et d'une égale évidence, et surtout de tenir son esprit en garde contre toute partialité en faveur du résultat, <juel qu'il puisse être.

5. Il n'y aurait rien à désirer si l'on pouvait amener les choses au point qu'il y eût une parité exacte a\ec le jet d'un dé comprenant un certain nombre de faces marquées de couleurs ou de points divers. Si la figure de ce dé était bien régulière, sa matière bien homogène, les circonstances de son jet bien variées, bien inqirévues, en sorte qu'on n'eût aucune raison de s'attendre à le voir tomber sur une face plutôt que sur toute autre, et qu'il y en eût, par exemple, cin([ blanches et une noire, l'esprit, trouvant le nombre des faces blanches plus grand que celui des faces noires, reviendrait plus fréquemment à juger possible l'arrivée de l'une des premières que celle delà dernière, et, par l'eiret de celte répétition du/wij-enienl de possibilité, cojume je l'ai déjà dit, d après Hume et Condorcet, croirait plutôt à l'ariivée d'une face blanche qu'à celle d'une face noire. Ce que tout esprit tant soit peu éclairé ne peut manquer de sentir dans lexemple précédent frapperait les plus ignorants, si, au lieu d'un dé à six faces, on en supposait un ayant un million de faces blanches et une seule noire, ou bien une urne contenant un million de boules blanches et une seule noire. Dans ce cas, on ne pourrait s'empêcher d'attendre avec une très-grande confiance l'arrivée d'une face ou duni' boule blanche, et de manjuer une très-grande surprise si c'était la face ou la boule noire qui se présentât : or, on verra bientôt fjue le calcul rattache le premier cas au second.

DKS l'KOnAniî.lTÉS. 9

Je ferai remarquer, à eclle occasion, que si c'est le scnlimcnt do la coiislanec des lois de la nature (|ui fonde notre confiance dans le retour des événements observés un grand nombre de fois, c'est encore ce même sentiment qui fonde notre incertitude, notre indifférence d'opinion sur les cliances offerles par les instruments aléatoires bien construits et fidèlement employés-, car c'est parce qu'il résulte de la constance des lois de la nature, que quand toutes les circonstances déterminantes sont les mêmes, les effets sont aussi les mêmes, que ceux-ci doivent être différents toutes les fois que les premières varient 5 et c'est aussi à les varier que nous nous appliquons dans la production des événements des jeux de basard. On évite, par exemple, de mettre le dé dans le cornet sur la môme face, de mesurer les mouvements qu'on donne à ce cornet; on cbercbe à prendre une manière très-irrégullère de remuer les urnes contenant les numéros, ou de mêler les jeux de cartes. De môme l'irrégularité du mouvement de nos membres, lorsqu'il n'est pas dirigé par une liabitude bien piise, transforme d'abord les jeux d'adresse en jeux de basard; mais à mesure que l'une s'acquiert, les cbances de l'autre diminuent.

G. Il est donc bien vrai dédire « qu'il n'y a point de » basard, à proprement parler, mais qu'il y a son équi- » valent : l'ignorance où nous sommes des vraies causes )) des événements (*), » d'où nait la prohabilité, quand nous ne pouvons énumérer exactement les causes, ou prévoir infailliblement leurs effets. Le cas le plus simple est bien évidemment celui où le nombre de ces effets est connu, et où cbacun d'eux est également possible : tel est le cas du dé. Le nombre des jugements que l'on peut former pour l'arrivée dune certaine couleur étant le

C* "1 Essais de Hume : sur hi Vrohahililc.

lO TUAITl": ÉI,ÉME>TAir.E

niônie que celui des faces de celte couleur, ce dernier délermiiie le degré de confiance avec lequel on attend l'apparition <le l'une; de ces faces 5 puisque si Ton en augmentait le nombre, le degré de confiance augmenterait aussi. Mais ce n'est pas le nombre absolu qu il faut considérer dans cette circonstance 5 car si le nombre des faces noires du dé augmentait en même temps que celui des faces blanches, que l'un et l'autre fussent doublés, par exemple, la proportion des jugements aflirmatifs et des négatifs, relativement à l'arrivée d'une certaine couleur, demeurant la même, on ne voit pas pourquoi le degré de confiance dans l'arrivée de l'événement désigné changerait. Sur dix faces blanches et deux faces noires, on pourrait encore former cinq jugements en faveur de la couleur Itlanche, contre un seul pour la couleur noire.

Il suit de là que la mesure du degré de confiance dans l'arrivée d'une couleur doit être le rapport du nombre des jugements aflirmatifs au nombre des jugements tant affiruiaiifs que négatifs, c'est-à-dire à leur nombre total, ou bien le rapport du nombre de faces de la couleur que l'on considère, au nombre total des faces 5 c'est-à-dire j pour la couleur blanche dans le dé proposé.

Ce rapport est ce qu'on appelle la probabilitr mathéiiuLtique, qui se forme.) comme on le voit, en divisant le nombre des chances favorables à révcnement par le nombre total des chances j mais il faut bien faire attention rjue toutes les chances comparées soient également possibles. Le jet des dés va nous donner le moyen de rendre bien évidente la nécessité de cette restriction.

7. Lorsqu'on jette à la fois deux dés ayant six laces manjuées chacune de l'un des nombres depuis i jusqu'à G iiu'lusi\enient. pour peu (judii réfléchisse sur ce qui doit arriver, on reconnait (jue chacune des faces de 1 un des dés peut se montrer avec chacune des faces de Tautre,

ni;s l'rKMiAiiiLiTÉs. il

eu sorlc (juc si Ton désigne le piriuier par A, !<; second [)ar B, ou aura les '^G cliaiiccs indiquées dans le lal)l('au suivant :

Toutes les combinaisons marquées dans ce tableau sont des chances également possibles, tant que l'on considère isolément chaque dé. Ainsi, amener 5 avec le dé A et 1 avec le dé B, est une chance pareille à celle d'amener 6 avec l'un et l'autre en même temps; mais si l'on attend l'arrivée des points 2 et 5 sans distinction d'ordre, la possibilité de l'obtenir sera différente de celle d'amener 6, 6, ou le sonnez, puisque la première condition sera également remplie par la chance 2, 5 et la chance 5, 2, tandis que 6, 6 ne se trouve qu'une seule fois parmi les 36 combinaisons également possibles des faces de ces dés. Ainsi, suivant la définition donnée ci-dessus, la probabilité d'amener les points 5 et 2 sans distinction d'ordre est yi on -pj, et celle d'amener G, 6, ou du suiinez^ est seulement y^.

Si l'événement désiré était, non pas l'arrivée des points considérés chacun à part, mais celle du nombre marqué par ces points pris collectivement, on trouverait des possibilités très-divci^ses. Par exemple, le nombre i ne pourrait s'obtenir que d'une seule manière, savoir : par

12 TRAITÉ ÉLÉMEJSTAIRE

Ja chance i , 1 5 le nombre 7, au contraire, résulterait de six chances dilléientes, savoir :

et suivant ces conditions, la probabililé d'obtenir le nombre 2 serait seulement -5^, tandis que celle d'obtenir le nombre 7 serait -3^ ou j.

8. La déGnition de la probabilitc vialhênialique, donnée dans le n" 6, et les exemples précédents, font bien voir que cette probabilité sera toujours exprinu'-e par une fraction proprement dite, ou moindre que l unité ^ dont elle approchera d'autant plus que le nombre des chances favorables à V événement que Von considère sera plus grand par rapport au nombre total des chances possibles j mais elle ne pourrait se changer dans lunité, que s'il n'existait aucune chance contraire à cet événement, ce qui en rendrait la production certaine; en sorte que l'unité est le sj^mbo/e de la certitude.

Il est à propos de remarquer aussi que chaque événement incertain donne lieu à deux probabilités contraires, savoir : celle que cet événement arrivera, et celle qti il n'arrivera pas; et que la somme de ces deux probabilités est toujours égale II Ï unité. Lorsqu'il s agit, par exemple, d'amener le nombre 7 avec 2 dés, puisque sur les 36 chances (pi'ils ollrent il n'y en a que 6 tpii donnent le nombre 7, il y en a 3o qui ne le donnent pas : la probabililé d'obtenir le nombre 7 est donc ^- ou ^, la probabilité coMlraire tÎ ou -^ 5 et -^ -f- ^ =^ 1 .

'). Après avoir exposé coinincnl la notion île probabililé s'établit dans notre espiit, et comment elle peut, dans certains cas, être susceptible de mesure, il ne sera peut-être pas hors de pro}ios de passer en revue l«^s iliverses acceptions tpii ont été données au mot probable^ dont est dérivé celui de proludnlilé. La racini- est dans

ijKs l'noiiAnu.iTits. l3

le mol probabi/is, Jc([iicl, (r.iprcs l'analogie de sa loiiuation, doit sii^nillcr ce qui peut se proni'cr [*). Ciccion a dil : « Le pro])al)lc est ce qui aiiive le plus souvent, M ou ce qui est établi dajis l'opinion, ou enfin ce ([ui a » en soi (juelquc similitude avec l'une ou l'autre de ces '> choses, que ce soit d'ailleurs vrai ou faux, n'importe ; » définition qui ne paraît pas très-lumineuse {**).

» Le probable, suivant Aristoie, est une proposition )) qui parait vraie, soit à tout le monde, soit au plus » grand nombre, soit à tous les sages, ou à la jilupart » d'entre eux, ou aux plus célèbres (***). » Oji voit bien là le fondement de cette ridicule théorie du probabilisme, suivant laqiudle les théologiens jésuites affirmaient que l'approbation donnée par un docteur grave à une proposition quelconque suffisait pour la rendre probable, théorie dont Pascal a relevé si plaisamment l'absurdité [Provinciales, lettre Y).

Aucun des passages que je viens de citer ne contient le vrai sens que donnent maintenant au mot probable les écrivains qui s'expriment avec exactitude. Le probable n'est point ce qui peut actuellement se démontrer, mais ce qui doit arriver dans le plus grand nombre des cas, ce qui résulte du plus grand nombre des chances, ce qu'on peut affirmer par plus de raisons qu'il n'y en a pour le nier, enfin ce dont la probabilité mathématique surpasse^.

Un événement ou une pioposition peut être plus ou moins probable qu'une autre ; mais un événement ou une proposition /^e« probable est à peu près l'opposé de pro-

(*) Probabilix, qui prohari et credi potest. (Facciol.Vti Lexic.)

(**) Prohahile est id, quod fcre Jieri solet, nul qiiod in opinione posilum

est, aut quod habel in se ad hœc quamdam similitudinem, sit'e id folsum est,

sive verum. (Cicero, de Inventione, lib. I, cap. xxix.) .(***) Profiabile Aiistoteli e.il propositio qua: omnibus, aut pleiisque, eut

sapientioribus, iisque vel omnibus, vel plei isqur, vel ccleberrimis, vcra vide-

lur. (Chai'vini Lexicon pliilosophiciini.)

l4 TRAITÉ ÉLÉME>'T\IIVE

bable^ car on entend alors qu'il y a moins de motifs de croire que l'événement arrivera ou que la proposition est vraie, que de croire le contraire, et que sa probabilité mathématique est beaucoup moindre que \.

10. 11 suit de tout ce qui précède que le mot probabilitc est bien mal appliqué, quand on le donne à ces aperçus vagues et souvent contradictoires qui s'offrent cji foule lorsqu'on n'envisage que superficiellement un sujet. Cicéron affirme « qu'il n'y a rien qu'un ne puisse » i^endre probable dans le discours (*) : » mais ce prestige de l'éloquence ne peut s'opérer qu'en présentant des énumérations incompleLcs, en dissimulant avec art une partie du sujet. C'est aussi comme cela que, par la préoccupation, par l'influence du désir sur le raisonnement, on se trompe soi-même, en ne considérant un sujet que sous un seul des points de vue qu il peut oiVrir, en fixant son attention avec opiniâtreté sur une seule conséquence. L'imagination se monte alors, et l'on en vient à regarder comme très-probables, même comme certains, des faits reconnus manifestement faux par tous ceux qui les ont soumis à l'examen, dans le calme de la raison. L'entrai ncment qui nous fait adopter une opinion n'est pas toujours sa probabilité. Dès qu'il n y a point de discussion complète, de développement des cas favorables et des cas contraires, il n'y a point, à proprement parler, d'estimation de probabilité -, il y a croyance aveugle, illusion, emportement. C'est l'habitude de céder à cet entraînement qui produit dans \in si grand nombre d esprits une vacillation continuelle, une fluctuation d'idées qui les rend le jouet de toutes les sottises et les exagérations que la mode ou l'intérêt enfante chaque jour.

11 est vrai que les habitudes de l'esprit et les disposi-

(*) ^ihil csl tani incrrdihi'r, qnod non diccndo Jlat probahilc. ( CiCtRO, Prœfal. Paradox.)

DES IMIOBABILITÉS. l .)

lions de rindividu adaiblissent certaines impressions et en exaltent d'aulres; mais c'est à prévenir cet eHct que tend le calcul des probabilités ou la discussion raisonnée qui cil ticul lieu, (loinme le dit Condorcei, a il n'y a per- » sonne (jui n'ait observé sur lui-mcrnc qu'il a cliangé » d'opinion sur certains objets, suivant làge, les circon- » stances, les événements, sans pouvoir dire cependant » que ce changement ait été fondé sur de nouveaux mo- M tifs, sans pouvoir y assigner d'autre cause que l'impres- » sion plus ou moins forte des mêmes objets. Or, si au » lieu do juger par cette impression qui multiplie ou » exagère une partie des objets, tandis qu'elle atténue ou » empêche de voir les autres, on pouvait les compter ou » les évaluer par le calcul, notre raison cesserait d'être » l'esclave de nos impressions. » {Essai sur V application de V analyse à la prohahilité des décisions^ etc. Discours préliminaire, p. clxxxv.)

H. Ce vœu, qui ne pouvait être que celui d'un ami de l'humanité, est malheureusement fort loin de son accomplissement. Jus({u'ici l'on n'a résolu qu'un bien petit nombre de questions vraiment intéressantes par rapport à la conduite de la société ou des particuliers, et l'on a pu abuser du calcul dans cette partie des Mathématiques appliquées, comme dans toutes les autres, faute de connaître les principes fondamentaux dont il fallait partir, ou d'avoir des faits en assez grand nombre et suffisamment constatés 5 mais l'examen scrupuleux qui sera fait, dans la seconde section de cet ouvrage, des diverses applications du calcul, montrera qu'il est permis de concevoir quelque espérance de progrès ultérieurs, si la multitude d'observations auxquelles l'organisation sociale peut donner lieu ne se perd plus par la négligence des spectateurs, ou n'est plus condamnée à l'oubli par l'amour-propre des hommes en place, dans la vue de cacher leurs fautes ou

l6 TRAITÉ ÉLÉME>TAIRi:

d'obscurcir le nicrilc de leurs prédécesseurs. I:.n elTet, uue circouslance bien digue d'alteuliou, cl sur laquelle uous aurons occasion de revenir, c'est que les faits qui paraissent les plus accidentels, quand ils sont considérés un à un, nianifijslent un ordre lorsqu'on p(;ut en observer un grand nombre de simultanés ou de consécutifs : et le calcul fait voir comment, sans connaître la nature de leurs causes ni le nombre des combinaisons qui les produisent ou les contrarient, on peut assigner des limites à leurs possibilités respectives, et par conséquent spéculer alors sur l'avenir conformément aux règles de la prudence {*).

Cette théorie assez récente, qui soumet au calcul des probabilités les questions dans lesquelles le nombre total des chances et ses rapports avec le nombre des chances de chaque espèce sont illimités ou inassignables, sera exposée dans la seconde section de ce Traité, la première ne comprenant que des questions où ces rapports peuvent se déterminer à priori.

( " ) Lorsque ces secours nous manquent, ce serait encore mettre à profit les sages réflexions de Condorcct que de consigner dans des notes exactes les impressions que nous recevons des objets ou des lectures qui nous frappent, les principes que nous adoptons en conséquence de ces impressions, et les niolil's sur lesquels ils sont appuyés, afin de pouvoir remonter, quand nous le voudrons, à l'origine de nos jugements, en nous reportant aux époques où nous les avons formés, et en nous remettant sous les yeux les bases que nous leur avons données. Par de fréquentes revues de ce genre on rendrait, ce me semble, ses déterminations plus constantes, ses changements d'opinions mieux motivés; et peut-être parviendrait-on à séparer entièrement ce qui est dû aux forces variables des impressions, de ce qui constitue la vérité des choses, qu'on doit toujours chercher; car « il ne faut pas recevoir les opinions de nos pères comme n des enfants, par la seule raison que nos pères les ont eues. • [Ptrnsérs de Marc-Aurèle, traduction de Joly, chai>. xix, § jg.)

i)i:s luouAiiii riÉs.

SECTION PliKMIiau:.

DÉTERMINATION DE LA l'KOBAIULllÉ, LORSQLE LE NOMBRE DES CnANCES DE CHAQUE ESPÈCE OU LE RAPPORT DE CES NOMBRES EST ASSIGNABLE, ET PEUT SE DÉDUIRE A PRIORI DE l'ÉNONCÉ DE LA QUESTION.

12. On a VU, dans le n" 0, que la probabilité d'un ôvéucment avait pour mesure la fraction formée en divisant le nombre de chances favorables à cet événement par le nombre total des chances, en ayant soin d'ailleurs de n'employer pour cette évaluation que des cliances également possibles. Si donc on désigne par /// le nombre de chances favorables à un événement, par n le nombre de cliances contraires, sa probabilité sera exprimée par

cl la probabilité contraire par

en sorte que si 1 on représente par e la première de ces probabilités, la seconde sera i — c.

Ayant, par exemple, un jeu composé de 32 cartes, parmi lesquelles il y a ii figures^ la probabilité qu'en tirant au hasard une carte de ce jeu on aura une ligure, sera W ou ^, et la probabilité contraire W ou j.

Dans cette question on ne considère que deux sortes de chances, celles qui amènent une figure, et celles qui amènent une carte d'une autre espèce : il n'y a par conséquent que deux sortes d'événements, dont l'une ne peut avoir lieu qu'à l'exclusion de l'autre; mais si Ion dislin- 4*^ édition. ?■

l8 TIUITI'C ÉI.ÉME^TAII'.F,

giiait la couleur des figures, en cousidéranl à [)ai'l la possibilité de prendre une figure en cœur, en carreau, en pique ou en trèfle^ on aurait 5 événements possibles. La probabilité d'avoir une figure dans une couleur étant j7, puisqu'il y en a 3 dans chaque couleur, le détail de tous les événements possibles donnerait les probabilités

■^ pour une figure en cœur, ~ •» en carreau,

4^ » en pifjue,

-i- » en trèfle,

Y7 pour ne pas tomber sur une ligure, fractions dont la somme compose l'unité.

Il en sera de même quelque multipliées que soient les diverses sortes d'événements possibles. Une urne comprenant un nombre m de boules blanches, n de rouges, p de bleues, q de vertes, /• de jaunes, a de noires, et de laquelle il faut tirer une boule au hasard, offre six sortes de chances composant un nombre total

/// -f- /; + />> -+- 7 + /• -h i = T, et donnant les j)robabilités

— d'obtenir une boule blanclie,

- d'obtenir une boule rouge,

et ainsi des quatre autres. La somme de toutes ces probabilités est

tn -\- n -\- p -\- q -^ r -^ s T

Je ferai observer ici que toutes les questions de probabilité auxquelles s'applique le calcul peuvent être lepréseutées par un tirage à faire dans une ou plusieurs urnes

DE» l'HOIlABII iTÉS. ly

conlcnanl diverses sortes de boules, ou par des dés ayani un nombre f|uclconquc de laces marquées diversement. Pour concevoir le jet de pareils dés, il faut les supposer d'une forme prismatique très-allongée, ou terminés paides pyramides, afin (ju'ils ne puissent rester que sur les faces parallélogrammes.

13. Dans les exemples ci -dessus nous avons cherché la pi'ohahililc absolue de chaque sorte d'événements; mais il y a des (juestions qui mènent à ne considérer ini.c probabilité que relativement à d'autres.

Si, par exemple, dans le jet de deux dés on voulait connaître la prubabililé d'amener le point 'j plutôt que le point 4? il faudrait ne tenir compte que des chances relatives à ces événements. On verrait dans le n" 7 qu'il y a 6 chances différentes qui peuvent former le premier point, et qu'il n'y en a que 3 pour former le second; par conséquent, si deux personnes jouaient ensemble sous la condition, pour l'une, d'amener le point j, et pour l'autre le point 4? Gii regardant comme nuls tous les autres coups, la première ayant 6 chances pour elle, tandis que la seconde n'en aurait que 3, les probabilités seraient

— pour le ^am de la i'"'^, — pour celui de la 2*^.

Ces résultats s'obtiendraient aussi en comparant les probabilités absolues des points 7 et 47 lesquelles sont f^ et Y^ ; car en les divisant par leur somme, il viendrait

De même, on trouvera que dans lexemple de l'urne contenant des boules de six couleurs différentes (12), la probabilité de tirer une boule blanche plutôt qu'une