XnAlTÉ l'.I.ÉMF.NTAIRi

lioulc rouiïc csl

m n m -t- ii

cl. la pro])a1)ililc coiiirairc, c'csl-à-dirc celle de lircr une

houle roui;e i)]ulùt qu'une boule Llanclie, •

Dans la détermination de la prohabilitê rclalive, on fait donc abstraction de toutes les chances étrangères aux deux événements, que l'on considère comme s ils devaient seuls avoir lieu, puisque tous les autres sont nuls par rapport aux conditions qu'on s'est imposées; et de là résulte, ainsi qu'on l'a vu par les exemples ci-dessus, que la probabihtc relaliï'c s'ohlic/it en divisatit la prohabilitê absolue de réuàfientcnl dont il s'a^^it par la somme des probabilités absolues des deux éi'énements que t on compare.

\\. Il faut remarquer aussi qu'une probabilité peut s'obtenir en prenant la somme de plusieurs autres; et cela arrive lorsque de plusieurs classes de chaTices on ncn forme plus qu Une seule, en cessant d'avoir égaid aux circonstances qui les distinguent. Si, par exemple, on jouait avec deux dés, sous la condltiou d'amener indistinctement soit j, soit 8, on verrait par le tableau de la page ii qu il y a 6 manières d amener le point j, 5 d'amener le point 8 : la probabilité d'amener l'un ou l'autre serait donc

— A — ll 3(> ~*~ 3(1 ~ 36 '

ce qui est d'ailleurs évident, puisque la condition proposée embrasse n cliances sur les 36 (|ue le jet peut amener.

l»li:s l'UOIlAlJll.lTlïS. -M

i<). Souveul rcvisuciiienl alleiidu se coiuposo du coiicoiiis do plusii.'urs autres (|ui oui chacun leur pi(d)al)ilitt': propre, cl de Lnjuelle il faut déduire celle du picuiier. Si, par exemple, lors(pi"iI s'agil de lirer d'un jeu de ^2 caries une ligure d'une couleur donnée, on pailage d'abord ce jeu en 4 paquets, diml chacun ne contienne (jue les 8 caries d'une même couleur, mêlées d'ailleurs d'iiu(; manière quelconcjue, la carie désignée pouvant être indi(Téremnient dans l'un quelconque de 4 patpiels, la probabilité de nicllre la main sur le paquet qui la renferme est j 5 mais comme ce paipiel contient 8 cartes, sur lesquelles il y en a 3 qui remplissent la cozidiliou dejuandée, la probabilité de mettre la main sur l'une de ces cartes, lorsqu'on en prend, une dans le paquet où elle se trouve, ost|. Ainsi, pour arriver à\a carte demandée, il faut le concours de deux événements dont les probabilités particulières sont j et |. La probabilité de ce concours est le produit des deux précédentes-, car, puisque les paquets sont égaux, et qu'un seul contient la carte désignée, il ne faut chercher les cbances qui la donnent que dans le I du nombre total des clianccîs-, et comme des 8 cbances renfermées dans ce j , 3 seulement remplissent la condition demandée, il faudra donc prendre les 7 de 7 pour obtenir le rapport du nombre des cbances favorables au nombre total des cbances, ou la probabilité cbercbée, qui sera -^ X j = yj .

L'exemple ci-dessus peut être représenté par le jet simultané de deux dés, le premier ayant 4 faces, i marquée A, les 3 autres blanches; et le second ayant 8 faces, 3 marquées B, les 5 autres blanches : le concours des lettres A et B sera précisément semblable à celui des événements indiqués dans le numéro précédent; mais en raisonnant comme dans le n° 7, ou volt que l'une quelconque des faces du premier dé pouvant se présenter avec toutes celles du second, le nombre total des chances

2 Ci TI'.AITÉ I^.LÉMEI^TAIRi:

sera 4x8 = 32, et sur ce nombre, 3 seulement, formées par la combinaison de la face A du pr(;micr dé avec les 3 faces B du second, lemplirout la condition demandée : la probabililé clieichée sera donc -^n=-|-.|, comme on l'a trouvé d une autre manière.

IG. En vénérai, soit la probabilité dun événe-

ment, — - — celle d'un autre; la probabililé de leur

concours sera

car le genre de hasard proposé peut être assimilé au jet de deux dés, dont le premier aurait ni faces marquées A, et n faces blanches, le second p faces marquées B, et tj faces blanches. Alors le nonibre total des chances possibles serait [ni -h n) [p -h ç) -^ mais sur ce nombre il n'y aurait que les nip combinaisons des faces marquées A avec les faces marquées B qui produiraient l'événement demandé; ainsi la probabilité du concours des événements A et B serait

On étendrait sans peine ces considérations au concours (le trois événements A, B, C, dont les probabilités particulières seraient

m -h // P -^ q r -\- s ou trouverait pour la probabililé de ce concours nipr /;; p

( m -+- ri ) [p -^ '/ } (/• -I- v j "i -+-//' p

et ainsi de suite, quel que fût le nombre des événements. En désignant sous la dénomination de prohabililc

liKS l'UOUAlilLlTÉS. 2^

simple «clic de <lia([ti«' évéïu'UKMil pris on j)arliciilici'. cl (\c pi'ohabililc co/nposcc celle de leur concours, on peut donc poser généralement ce principe : la probahiUlé composée s'obtient en faisant le produit des probabilités simples.

17. La considération des probal)ilitcs composées, dispensant de former Icdéveloppenicnl de toutes les combinaisons possibles, abrège qucbjucfois les calculs : en voici un exemple assez simple. Su})posons qu'on ait assemblé dans un paquet les i3 cartes d'une même couleur qui se trouvent dans un jeu complet de Sa cartes, etqu'ow demande la probabilité que les deux premières cartes du paquet soient un as et un deux 5 la probabilité que Vas soit à la première place est -j^ , puisque cette carte pourrait occuper Tune quelconque des i3 places du paquet; celte carte ôlce, il en reste 125 ainsi la probabilité que le deux se trouvera la première carte de ces 1 2 sera -^ : la probabilité du concours de ces deux événements sera donc

Pour résoudre celle question en rcmontani à lénuniération de toutes les chances possibles, il faut d'abord chercher le nombre des arrangements dont peuvent cire susceptibles i3 cartes, et qui, d'après la formule des permutations donnée dans les Éléments d'yllgèbre, est le produit i.2.3...ii.i2.i3. On observera ensuite que lorsque 2 des i3 caries du paquet ont une place déterminée, il en reste 1 1 que l'on peut arranger entre elles de toutes les manières possibles, c'est-à-dire de 1.2.3. . .11 manières : ce sont là les chances qui produisent l'événement désiré, dont la probabilité sera par

conséquent

a4 THAITi: ÉLiiME.NTAIRC

En supprimant les facteurs i.2.3...ii, comniuns au numérateur et au dénominateur, il viendra seulcmtMil

I 2 . I 3 I 56 ainsi qu'on l'a trouvé ci-dessus.

18. La question suivante montrera mieux encore la facilité que la considération des probabilités composées procure pour résoudre les problèmes, et donnera lieu à quelques remarques utiles.

Soient, deux urnes dans l'une desquelles il j ait 2 houles blanches et i noire, et dans Vautre 4 boules blanches et i noire ^ on demande la probabilité d'amener une boule blanche, en prenant au hasard dans l'une quelconque de ces urnes. La probabilité qu'on mettra la main dans la première urne étante, et la probabilité (|u il en sortira une boule blanche étant {, la probabilité du concours de ces deux événements est donc '. . ; ou ,'.

On a de même, pour le tirage dans la seconde urne,

Les deux probabilités \ et -\ doivent s'ajouter; car, suivant ce (ju'on a vu dans les n"^ 6 el 8, ces fractions se rapportent à la même unité qui représente la certitude, et sont en conséquence deux parties de la probabilité cherchée : on aura donc pour cette dernière

:rr

lO

IJ

La probabilité de tirer une boule noire se calcule de même. On trouve pour la première urne ^.-^, pour la seconde -j.-j, et la somme ^ -\--^z= -^. Eu l'ajoutant à -f-i-, il vient l'unité, ainsi que cela doit être, puisqu'il s'agit de deux événements dont l'un ou lantro arrive nécessairement.

V). Pour achever d'cc l.iiicir ce >;iij(|. |r vais lésoudre

uKs l'RoiiAiiiLiiiis. aS

la nièiiic (jucslidii iii consitléraiil les deux tirages coiijoiiilciucni, cl je préviendrai d'ahord une erreur dans la(juelle il paraît facile de tomber. Au premier coup d'œil, ou pourrait peuser que puisque les deux tirages s'opèrent sur la totalité des boules coulenues dans les deux urnes, et dont le nombre est 8, sur lesquelles il s'en trouve G blanches, la probabilité d'en obtenir une de cette couleur est -^ ou 7, fraction qui surpasse y^.

L'erreur (pie Ion commettrait vient de ce que, pour mettre eu commua les boules de la première urne avec celles de la seconde, il faut que le nombre en soit le même dans l'une et dans l'autre, afin que toutes les chances soient également possibles, ce qui n'aurait pas lieu sans cela. En effet, les boules étant séparées, la probabilité d'avoir une boule quelconque de la première urne est égale à celle d'avoir une boule quelconque de la seconde urne; mais quand on mêle les boides, qui sont alors au nombre de 8, sur lesquelles 3 sont de la première urne et 5 de la seconde, les probabilités précédentes deviennent inégales, la première étant ^ et la seconde -|.

Cette inégalité disparaît lorsqu'on réduit au même dénominateur les probabilités | et |, relatives au tirage d'une boule blanche dans chaque urne, ce qui d'ailleurs n'altère point les valeurs respectives de ces probabilités. En procédant ainsi, on change les fractions 7 et { en -f^ et -|-| : alors la première urne est censée contenir 10 boules blanches et 5 noires: la seconde, 12 boules blanches et 3 noires 5 les probabilités respectives sont les mêmes qu'auparavant, et le nombre total des boules est devenu le même dans chaque urne : considérant donc ces boules comme réunies dans une seule urne, au nombre de 3o, dont 22 blanches, on a pour le tirage de Tune de celles-ci la probabilité || ou 77.

On s'assurera en général de l'identité des résultats obleinis pai' l'un et par laulre do < es deux procédés, en

l6 TRAiTt ÉLÉME-NTÀIKE

supposant fies urnos en nombre «, contenant chacune /7i boules blanclies et n noires, et des urnes en nombre b^ contenant p boules blanches cl rj boules noires. Par le premier procédé, on aura, pour la probabilité du tirage d'une boule blanche,

a m b p am[fj-\-fi)+bp{m-\-n) am^-\-bpr

a-\-bm -\-n a-\-bp-\-q [a-\-b)[in-\-n][p -\-q) ers

en faisant, pour abréger,

« -h i = c, m -\- n r=^ r, p -{- rj z= s.

Si l'on réduit au même dénominateur les fractions

Ul /> ., • 1 '"^ /-"■ 1' I

— > -1 11 viendra — ;> — ? et 1 on pourra remplacer toutes

/• s rs rs '■

les urnes par inic seule contenant ers boules sur lesquelles il y en a arns ■+- hpr qui sont blanches: d'où résultera la probabilité trouvée ci-dessus, bien dilïerente, en général,

de la fraction ~~ formée en divisant le nombre ac-

ar->f- bs

tuel des boules blanches par le nombre total et actuel des

boules.

Mais ces expressions s'accordent :

1° Lorsque le nombre des boules est le même ilaiis chacjue urne, ce ((ui donne /■= 5, d où

nrns -+- ùpr mu -4- bp ers nr-{- br '

2" i.ors(]u'il y a dans toutes le même rapport entre le nombie des boules blanches et celui des boules noires 5 car si Ton désigne ce rapport par /. , on a

ce qui rcduil

(inis-{- bpr a m -\- pb

— — ■ il

tir-\- bs I -\- A

DES PRonAnii.i ri':s. l'j

Cet exemple lail \(»ir c<)inl)ieii il est aisé de se tromper Jans la recliertlu,' des proijabililés, et il s'en présentera encore d'autres du même genre dans la suite.

Détermination des Prohahiliiés dans les épreuves répétées des mêmes hasards.

20. Les cpreiwes répétées les plus simples sont les jets successifs du même dé, ou les tirages de numéros pris dans une urne, et remis elia(|uc fois, afin de conserver toujours le même nombre de chances de chaque espèce. •

Ce genre de prohabilités se détermine d'abord par la considération des probabilités composées. Se proposer, par exemple, d'amener deux fois de suite le point 6, en jetant deux fois le même dé, c'est demander le concours de deux événements dont la probabilité simple est \ : on aura donc pour la probabilité cherchée ( IG) ^X\ = ji ; on trouvera de même que la probabilité de ne pas amener du tout le point 6 est | X | = yf • La somme de ces deux probabilités n'est pas i, parce qu'outre les deux événements que nous venons d'indiquer il y a encore celui de n'amener 6 qu'au premier jet, ou de ne l'amener qu'au second : la probabilité du premier événement est ^.-1=-^, celle du second, -.- = --, et la réunion des quatre probabilités qu'on vient de trouver donne

Au lieu de calculer ainsi, l'une après l'autre, les probabilités des divers événements qui résultent des jets successifs du même dé, on peut les obtenir toutes à la fois dans une même formule. Il suffit pour cela de considérer que si, dans une épreuve, il y a m chances qui produisent l'événement A, n chances qui produisent l'événement B, sur le nombre [ni -\-fi) [ni-\- n) = (m+ Ji)' qui embrasse tous les arrangements possibles des chances

28 TRAITÉ ÉLÉME-NTAIRE

dans les doux épreuves, il y en aura ///' qui piuduii (Mil la succession AA, rnn la succession Alî, ntn la succession BA, et tr la succession BIj (1^) \ en sorte que les probabilités pour obtenir les événements composés