AA, AB, BB

ayant les probabilités

( m -\- n)- [ m -{-«)' ( ni H- n )•'

dont les numérateurs sont les termes du développement de la seconde puissance du binôme ni-\-u, et dont la somme est égale à l'unité.

21. On trouverait d'unenianière sendjlable les diverses probabilités dos événemonts (jui peuvent avoir lieu dans un nombre (quelconque d'épreuves; mais, pour plus de généralité, je supposerai d'abord que le nombre des oliances varie à obacjue épreuve. En bornant à trois celui des épreuves, je désignerai par

///' et //, m" et /.'", ///'" et n'

les nombres de ohanoos (pii amèuint li's é\énoinonls A ol B à 1,1 ])ronilèro. à la ilouxièuio, à 'a lrui>iènio oprou\o.

DES l'IlOliAlill.lTÉS. HJ

D'apios co ([iii ;i de dil dans le n" H>, \c prodiiil

(///+ n') {m"-^-n") {m'" -^ n" ) = m' m" m'" -\- m' m" n'" \- nt'n" m"'-\-n' m" in"'-\-ni' n" n"'-\- n' m" n"'-{-?i' n" ni"'+n' n" n" ,

(loiiiuîra le iioMil)rc de toutes les coinbinaisoiis j)ossil)les dans les trois épreuves proposées, et un terme quelconque exprimera le nombre de chances qui amènent l'événcmcnt composé des événemeuts simples A et lî, lépétés, le premier autant de fois que la lettre m entre dans ce terme, elle second autant de fois qu'y entre la lettre 7i, les accents marquant d'ailleurs l'ordre des épreuves. Par exemple, les termes

m' m" n'" \ l AAB

m' n" m'" > répondront aux sucressions < ABA n' m" m" ] \ BAA;

et l'on aura par conséquent la probabilité de chacune en donnant pour dénominateur, au terme qui lui correspond,

le produit

Si maintenant l'on pose m' = tu" = m"' = ni , et Ti' = ji" = n"' 1= n, ce qui changera

( m' -\- n') ( tu" -\- n" \ [ m'" -|- n'" ) en (m-\- n )%

les termes indiqués ci-dessus deviendront tous égaux à m*n, nombre qui sera celui des chances relatives à chacun des trois événements désignés, tous distincts, lorsqu'on fixe l'ordre de la succession des événements simples dont ils se composent.

Si l'on fait abstraction de cet ordre, ils n'en formeront plus qu'un seul, répondant à la somme de toutes leurs chances qui est 3 /?i^^i, et ne difrère de ni^n que par le coefficient dont ce produit est affecté dans le développement de [ni -+- ny. Il est aisé de voir qu'on arriverait

3o TUAIT!. ÉLÉMEKTAIRE

aux mêmes coiitlusloiis pour un nombre quelconcjuc d'épreuves.

Ainsi donc, p étant le nombre des épreuves, et le développement de

P . P ' P — ï [m ->r n]P=^ ml' -f- - mP-' n + '—^ mP-^- n- -\- . . .

pip — \\{p — 2 ) . . . (/?— <7+ I ) \ .1.0 ... (j

il suit de ce qui précède que le premier terme ///'' indique le nombre de chances qui, sur un nombre p d épreuves, donneiît p fois l'événement A;

Le second terme - ///^~' n. le nombre de chances qui

donnent p — i fois 1 événement A et une fois l'événement B, dans quelque ordre que ce soit 5

Le terme général '— ^ '-!- ^ '- -mP-int.

le nombre de chances qui donnent p — q fois lévéne-

ment A. ci q fois révéncnient B, sans distinction d'ordre.

Si l'on voulait établir une succession déterminée, il faudrait supprimer le coefficient . et ne prendre que tnP-1 n'i.

En divisant donc chacun de ces termes par le nombre total des chances, qui est (/n-f-zz)'', on aura les probabilités de chacune des successions d'événements simples aux([uelle3 ils se rapportent.