cr-lfl

lormule dans laquelle un lernic pris isoléiuent cxptime la probabilité d'un événement composé de A répété autant de fois que le marque l'exposant de la lettre e, et de H répété autant de fois que le marque l'exposant de la lettre /.

Le plus souvent on ne fixe pas d'une manière précise le nombre de répétitions du même événement, mais on lui assigne seulement une limite. C'est ainsi qu'on peut chercher la probabilité de n'avoir pas moins de p — i événements A sur le nombre p d'épreuves, énoncé qui admet aussi le cas où il arriverait p événements A, et auquel satisfont par conséquent les deux premiers termes de la formule ci-dessus : la probabilité de ces événements sera donc indiquée par

eP-h^ eP-'f,

somme des deux premiers termes.

De même la somme des trois premiers,

indiquera la probabilité de ne pas avoir moins de /> — 2 événements A, et plus de 2 événements B.

Et en général la somme des termes de la formule, depuis le premier jusqu'à celui qui est affecté de eP''' J'', c'est-à-dire

eP + '- cP-'fi- . . -t- ^-^ 7ç-^ eP-'i/'J,

32 TIlAlTÉ Él.ÉME>TAIRIi

indiquera la probabilité de ne pas avoir moins de p — q événements A, et plus de q événements lî.

Si, par exemple, on demande la probabilité d'amener le point 6 au moins deux fois dans quatre jets successifs d'un dé à six faces, on fera

et il viendra pour cette probabilité

I I entre - et 3-

Si l'on eût demandé seulement d'amener 6 au moins une fois, il aurait fallu prendre la somme des quatre premiers termes du développement de [e-\~fY\ mais comme e ~\-f= i, et que par conséquent {e-{-fY = i, la somme des quatre premiers termes est égale à i — f' : il est donc plus court de calculer directement le terme y^* pour le retrancher de l'unité, ce qui donnera

6' l 'j.qô I j-gG

pour la probabilité demandée ; et puisqu'elle surpasse 4, il en résulte) qu'il est probable que le point 6 arrivera au moins une fois dans quatre jets (9).

La probabilité de l'événement contraire esl f^= ^^'^^ , puisque le terme/^*, ne contenant pas la lettre e, indique la répétition des seuls événements B : c'est donc par sa contraire que nous avons déterminé la probabilité demandée, et il faut opérer ainsi toutes les fois (jue l'expression de la première est plus siniple que celle de lu seconde.

^3. On voit encore par rcx.inplc précédent coniiuenl

IJKS I r.Ol! MUIITÉS. 3.i

la proliabililé d amoncr \c poinl 6 au moins une lois, uni n'étail (]iic' ^ à la ptcmièrc éprouve, s'est accrue par la répélilion des jcls du dé. Ce changement peut faire naître la question suivante : diUerminer le nombre d'épreui^c: nécessaire pour qu\in événement acquière une prohahilité donnée. Si Ton demandait f^i combien de jets du même dé on olniendra la probabilité g que le point 6 arrivera au moins une fois, on aurait e = -^ ^ f=.j,.^ <J = p — I, et il faudrait déterminer p par la condition que la somme des termes

(■r -f- <- ci'-'J -I- ,.,-} -L pfp->

fût égale h g, ce qui ne pourrait se faire immédiatement que par des essais répétés -, mais en prenant la probabilité contraire, exprimée par le seul terme y ^, et qui, dans riiypothèse proposée, doit être égale à i — g ou Â, on aura l'équation

//■= /. , d'où p lo-/ ~ log / , pz= -i:— .

Si Ton substitue aux Ictlresyei A les fiactions -j -,

ou trouvera

77 " rr

J'appliquerai celte formule au problème qui parait avoir été le premier de ce genre que les géomètres aient résolu, c'est celui de trout^er le nombre de jets de deux dés, dans lequel ilj a autant de probabilité d 'amener deux 6 (ou sofjnez) que de ne pas le faire. Pour cet exemple, on a

^=l''=W'^=h^'^^^ ^^'"^^ ^' = 736^5 = ^-^'^' 4' édition. 3

34 TllAlTÉ ÉLÉME>TA1EE

ce (|ul inonlrc ([ue l\;vcncm(!iil ])rf>posé (sl moins probable que le coiilrairc!, quand on n'embrasse que vingtquatre jets, et pluspiobable quand on en prend viugt-cimj.

24. Celle conclusion paraissait fausse au clievalier de Méré, qui proposa le problème à Pascal dont il tourna les médilalions sur le calcul des probabilités. Ce chevalier, liomnie d'esprit, mais étranger aux mathématiques, croyait que puisqu'il suffisait de 4 jets pour arriver à une probabilité^ surpassant •^, d'amener le point 6 avec un seul dé, qui n'offrait (|ue 6 chances à chaque coup, le jet de deux dés en présentant 36, ou 6 fois 6, il devait suffire de 6 fois 4 ou 24 jets pour obtenir le même résultat par rapport à l'événement 6, 6 (ou sonnez) ; le contraire lui paraissait un grand scandale, qui lui faisait dire hautement que les pi oposilions 11 étaient pas constantes, que VAriihnic tique se démentait. (Lettres de Pascal à Fermât, QEin^res de Pascal^ t. IV, p. 4^9-)

La difficulté précédente, fondée sur l'ignorance des formes du calcul, n'est pas la seule qu'on ait élevée contre révalualion des probabilités dans les épreuves répétées : d'Alembcrl a voulu jeteidu doute sur les principes mêmes. L'exposition et la réfutation d'une seule de ses objections suffiront pour les faire apprécier toutes-, car elles n'ont obtenu l'assentiment d aucun géomètre distingué, et (dles prouvent seulement qu'il peut arriver aux hommes le plus justement célèbres de s'égarer, même dans un sujet iort simple.

Suivant d'Alembert, lorsqu'on jette un dé à deux faces. f|Ue je désignerai par A et 13, le pari damoner la face A au moins une fois en deux coups n'a en sa faveur cprune

probabilité -» au lieu de y que donne li- pi incipe du n" -0 ;

car, dit-il, si l'on amène A du premier coup, le jeu est lini. et si Ion amène au contraire, la l'ace H, il faudra

lii;S IMIOBMUI ITÉS. 35

jouer le second coup, qui donnera A ou I>, en sorte qu'il ne pcul rcelleniciU arriver que l'un de ces 3 événements, A, lîA, lîlî, dont 2 font gayiier le pari (*). Cela est vrai^ mais Terreur consiste à supposer aux deux derniers la même possibilité qu'au premier : elle est du genre de celle qui a été indiquée dans li; n° 18.

En effet, la probabilité de l'arrivée de A au premier

coup est -•> comme celle de B5 mais celledes événemcïits

composés BA et BB, qui n'ont lieu qu'au deuxième coup,