Décomposer en facteurs du premier degré le trinôme
Cx‘-l-lla:-l-3.
Cherchons les racines de l'équation
6x*-t- lla:-f3 = oi
284 nÊSOLUTION BT DISCUSSION
Parsuitc, &c>+ ll«+3 = 6(a;4-i)(® + i).
= 3(x + i)2.(ar4-i),
UI. Décomposer X* — 9 en facteurs du premier degré.
Les racines de l’équation x* — 9 = 0 sont x' = 3, x" = 3, par suite , X* — 9 = (x — 3) (x + 3), ce qu’on pouvait apercevoir immédiatement puisque X* — 9 est la différence de deux carrés.
OîKiusion de l'équation ax> + &x+ e=0.
2dS . Les racines de l’équation générale du second degré sont :
— é-j-y/fc* — 4gg 2a
. 1. Si c est positif, 4oc est positif; par suite, 6* — 4ac est une soustraction arithmétique, et donne lieu aux trois hypothèses é* — 4ac>0, é’ — 4oc<0, 6* — 4ac = 0.
l" Cas. é*— 4oc>0.
II. Les racines sont réelles et inégales; la valeur absolue du radical est plus petite que la videur absolue du nombre b ; donc le signe des racines dépend du signe de b. Si b est positif, l’équation a ses deux racines négatives , et la valeur absolue de chacune d’elles vérifie l’équation
ou ox* — bx -\-c = 0.
Si b est négatif, l’équation a scs deux racines positives.
2* Cas. — 4oc<0.
III. Les racines sont imaginaires; l’évaluation des racines est donc impossible , soit exactement , soit approximativement , en sorte qu’il n’existe aucun nombre susceptible de satisfaire à l’équation.
DE l’ÉQDàTION la plis GÉNÉRALE DU SECOND DEGRÉ. 285
Forme du premier membre de l’équation lorsque les racines sont imaginaires.
îiiîS. IV. L'impossibilité que nous venons de signaler peut être prise sur le fait en remontant à l'équation [1].
En effet , la condition 5* — 4oc < O donne
( K désignant une quantité positive); par suite, l’équation [1] devient
ce qui est absurde , attendu que le premier membre de celle dernière équation ne sera jamais nul (même raisonnement qu’au n“ 251). En conséquence, lorsque les racines de l'équation ax’-j- b.\-f-e = O son < imoÿ»nairej<, son premier membre est un carré parfait augmenté d'une quantité essentiellement positive.
V. Le premier membre de l'équation [l]ync' pourra jamais s’évanouir, avons-nous dit, tant qu'on attribuera à x des valeurs positives ou négatives , mais ce qu’on ne pourra pas obtenir avec des nombres réels , on l’obtiendra aveepes expressions imaginaires :
et c’est pour cela que, par analogie, on continue à les appeler racines de l’équation.
d’où
‘wr’-|-êar-f-^4-K=0,
ou [3]
— — 4ac
ou
— 5 ± y/ 4ac — 5* — ï 2a
286 BÉSOLOTION ET DISCUSSION
Voici le calcul dans lequel on remplace K par sa valeur *
/2aa; -|- b\* , 4ac — 6* .
(2ac + 6)*+4a4? — 6* = 0,
4a’x* + 4al(x + 6’ + — 6* = O ,
4aV 4- 4aôx -f 4oc = 0, ia^ax' -j- èa? + c) = 0 ,
l’ 1 fr— » 1 A
2« ) , l ô‘— 2ôs/4rtc—
4ac+b^ 6»4 6y/4ac— 6*v/— 1
4ac — 2t*-|-26v^ 4ac — 6*\/^^-|-4a(’'
