CHAPITRE IV
RESOLUTION DE QUELQUES PROBLÉUES DU SECOND DEGRÉ — PRORLÈMES DES LUMIÈRES. — DES RA- DICAUX DU SECOND DEGRÉ. — DIVISION D’UNE DROITE EN MOYENNE ET EXTRÊME RA1S(K«.
SOMMAIRE
262. Résolution de quelques problèmes dépendants d'une équation incomplète du second degré. — 265. Résolution de quelques problèmes dépendants d’une équation complète du second degré. — 264. Problème des lumières. Discussion du problème. On distingue trois cas principaux : a>b, a<b, a = b. — 268. Remarque sur les solutions négatives infinies et imaginaires. — 266. Calcul des radicaux du second degré. — 267. Diviser une droite en moyenne et extrême raison. Discussion.
Problèmes dont la solution dépend d’une équation incomplète du second
degré.
202. Problème 1. La superficie d’un rectangle est de 216 mètres ' carrés; la base est les \dela hauteur , quelles sont les dimensions de ce rectangle ?
Soit X la hauteur du rectangle; — en sera la base; or, la géo-
niélrie enseigne que la superficie d’un rectangle s’obtient en multipliant la mesure de la base par la mesure de la hauteur; on aura donc
[13 XX y =216,
DigilizecK.. Ci 'Ogle
DE QUELQUES PROBLiXES OU SECOND DEGRÉ. 290
équation qui donne successivement :
Les dimensions d'un rectangle étant essentiellement positives, nous rejetterons la r:x:inc négative de l’équation [1] puisqu’elle n’est susceptible d’aucune interprétation. Cette dernière observation montre pourquoi dans l’interprétation des solutions négatives, nous avons dit d’une manière reslricrtec , qu’en changeant a: en — ar dans l’équation du problème, on avait la traduction algébrique d’une question possible et à peu près scmblaljle à la question proposée. Reportons-nous, par exemple, au problème du testament, qui a été résolu au problème XIV, n’ 127 ; soit x le bien du père; y la pai’t de chaque enfant , et’s leur nombre. On a trouvé
x = a(» — 1)*; y=a{n — 1) et c=n — 1.
Or, pour n<;i , par exemple, » — 1 est négatif; il en est de môme de y; changeant y en — y, et s en — z, on a
x = a(l — «)*; y = a(y—n) et s = l — n;
ces valeurs satisfont aux équations du problème , et cependant l’interprétation n’est pas possible , puisque le nombre des enfants est fractionnaire , ce qui est absurde.
Vérification du problème. La hauteur étant île 18 mètres , la base qui est les § sera de 12 mètres; et, en effet, 18 fois 12 font 216, en sorte que la superficie rectangulaire est de 216 mètres carrés.
Problème II. La somme des carrés de deux nombres est a ; leur rapport est celui denà m; quels sont ces nombres 1
RÉSOLUTIOS
tttCD
Soit X l’un des nombres, — sera l’aulre, el nous aurons
fl
successivement :
w’-fn*’
%nx / g
VÉRIFICATION. Les deux nombres sont évidemment entre eux dans le rapport de »n à n ; reste à vérifier la seconde condition.
(Vs^)'+(V54^)’ '■
~ »i’ ’n* + «* wi’ n’ *
Application numériqür. Soit 80 la somme des deux nombres, et 2 le rapport de ces nombres.
Posons a = 80,w=2,»=l et nous aurons
Vs^=*-
Problèmk III. Trouver trois nombres connaissant leurs produits deux à deux.
Soient; le produit du premier par le deuxième ; p' le produit du deuxième par le troisième , et p' le produit du troisième par le
DE QUELQUES rRODLÈMES DU SECOND DEGRÉ. , 301
premier ; x désignant le premier, ^ sera le deuxième ; — sera
le troisième, et comme le produit du deuxième par le troisième est p' , on aura successivement :
x' et x" désignant le deuxième et le troisième nombre cherchés , on aura
J P PP v'pp'p"
^-x-^pp’f- P" ’ î
.. t/' pY y/ÿÿ?
X \Ipp‘p” p
Application numérique.
Soient 12 le produit du premier par le deuxième ;
15 te produit du deuxième par le troisième;
20 le produit du troisième par le premier;
posons p = 1 2 , p’ = 15 , p" = 20, cl nous aurons respectivement 4, 3, 5 pour les nombres cherchés. • .
Deuxième application.
Soient 10 le produit du premier par le deuxième ;
1 1 le produit du deuxième par le troisième ;
5 le produit du troisième par le premier.
Posons p = 10 , p' = 1 1 , p" = 5 et nous aurons à moins d’un centième, 2,13; 4,69; 2,35.
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