V. Dans ce cas la racine prend la forme — et en effet

O Os

dans ce cas l’équation [t] se réduit à c = 0, c’est-à-dire qu’elle est impossible. ^

Si l’on faisait cette double hypothèse dans les formules primitives, elles prendraient toutes les deux la forme malgré l’impossibilité de l’équation. Ainsi , quand on trouvera la forme g pour les deux racines, on remontera à l’équation.

Si l’on avait, en outre, c=0, il y aurait une véritable indétermination, et on pourrait attribuer à x telle valeur qu’on voudrait.

En effet, dans ce cas, l’équation se réduit à 0=0.

Digilized by Goc^le

292 BÉSOLCnON ET DISCUSSION

VI. La réciproque est vraie. Si dans une relation de la forme 3X*-f-l)X + c = 0, X est susceptible déplus de deux valeurs, on peut en conclure que a = 0, b = 0, c = 0, auquel cas la relation est vraie, quelque soit x. ^

En effet, soient w, n, p, trois valeurs de x, on aura les identités

[1] am* + f>m + c = 0, -,

[3] «p» + ép+c = 0;

Otant [2] de [1], on aura' -

[-4] (m — n)(am + an + b) = 0;

Otant [3] de [1], il viendra

[5] . ’ (m— p)(a»i + qp + i) = 0;

»i — n et m — p, ne peuvent être nuis, donc

[6] am + on + 6 = O, .

[7] • am + <ip + * = 0>

Otant [7] de [6], on aura . ...

or, n — p n’est pas nul, donc

Substituant cette valeur dans Tune des égalités [6] et [7], on en conclura que & = 0; portant les valeurs a = 0, b — 0 dans [1], on en conclura que c = 0; donc, en résumé, a=0, 0 = 0, c — 0. ^

Vn. Remarque. Ainsi que nous l’avons déjà obsen’é au n° S44, le raisonnement précédent qui se fonde sur la condition de l'évanouissement d’un produit exige, pour être général, que le principe que l’on a invoqué soit étendu au cas des facteurs imaginaires. ■ " <

DE l’Équation u plus générals ou second deuré. 293

VIII. En résumé, pour exprimer qu’une équafion du second degré de la forme ax^-^-bv -\-c=:0 a une ou deux racines infinies , on posera « = 0 da is le premier cas , et a = 0, b — 0 dans le second.

IX. Pour exprimer que le trinôme oa:* -f ôo; -j- e est nul, quel que soit x, on posera a=0, é = 0 et c = 0.

SiiO. Remarque. Il est important de bien saisir l'esprit de f artifice de calcul, qui, dans le cas de a=.0, nous a servi à

trouver la vraie valeur x=z — ^ , qui, de prime abord, était de

la forme 11 ne pouvait y avoir aucune réduction entre la

quantité engagée sous le radical et le tenue indépendant <le ce radical , tandis que les réductions peuvent se faire dès qu’on est parvenu à la diRérence Je deux expressimis débarrassées de radicaux; et comme le facteur introduit au dénominateur ne peut pas s'évanouir dans les mômes 'circonstances que le numérateur primitif, il s'ensuit que l’irrationnalité introduite au dénominateur ne présente aucun inconvénient; d'ailleurs l’hypothèse de a = 0 a permis de tout évaluer

Le même artifice de calcul pourrait servir s’il y avait deux radicaux au lieu d’un. Il suffirait alors de multiplier cl de diviser par la somme ou par la différence algébrn]ue des mêmes radicaux.

Exemples. i/A— y^j

Dans le premier cas , on multipliera et on divisera par -f* dans le deuxième cas, on multipliera et on divisera par v'A — v'B, et l’on aura

* Quelquefoli pour trouver la vraie valeur *=—|, on développe s/b^—iac

en une suite illimilée de termes; mais celte mélhode, pour être rigoureuse, exige que l’on connaisse la théorie des iMtt.

RÉSOLUTION BT DlSCUSSIOH

Tableau résumé.

S60. <KC*-f- &a:-[-c = 0,

— b 6* — 4ac

, 1"Cas.

fc*— 4(^<;>0 1

tî-'

6*— 4or<0

( x' et x" imaginaires. Le premier membre de l’équa- 1 lion est la souunc de deux quantités positives.

6* — 4ac=o|

1“ i>0{x' = x"<0 ,2» 6<0jx'=x^>0j

/ Le premier inemlire de ! l’équation est un carré [ parfait.

2* Cas. ’

fx'>0. 1" 6>0,

x' >x" (en valeur absolue), x' > x" (en valeur absolue).

Cas PARncüUERs. 1"Cas. c = 0,

2* Cas.

fl" c>0,. . . a;' et imaginaires, '•

2" c < 0 I ^ Q x' = x" (en valeur absolue) .

3* Cas. 6=r0 et <r=0,

DB l’éqi'atio:* la plus gè:<êbali dU second degré. 295 4* Cas. a=0.

{ a/'= — OD. ,

5* Cas. a=0 6 = 0. '

\x' et af inQnis,

6" Cas. a = 0, 6 = 0, c = 0,

j X arbitraire.

Des équations irrationnelles du second degré.

201. On peut avoir à résoudre des éqtialions qui renferment des radicaux du second degré sousles^jucls se trouve placée l’inconnue qu’on veut déterminer. Ces cejuations pourront être résolues toutes les fois que l’équation rationnelle à laquelle on sera conduit par l’évanouissement des radicaux, sera du second degré , ou pourra se ramener h une équation du second degré.

Exemple. I. Résoudre l’équation

Faisons passer le second radical dans le second membre, autrement dit, isolons l’un des radicaux, le premier, par exemple , dans l’un des membres , et nous aurons

Élevant les deux membres au carré, il vient successivement : . ^ a; = 25 — lOy/x — 6-|-a: — 5,

2€6 ÉQUATIONS IRRAT10NKBLLE3

élevant encore au carré et réduisant, on obtient, réductions

faites

VÉRinCATION. v'9+v'9 — 6 = 5,

E\KMrtB. II. Résoudre l'équation ^

v'ix+f +v^3x— I8=v'7a:+1 .

D’après ce qui précède, nous aurons successivement , 2a;+7+3x— I8 + 2v'6x*— I5x — 126=7« + 1,

d’où x' = 9, x" = —

VÉRIFICATION. Calculons la valeur de chaque radical pour x = 9.

l.es valeurs respectives de ces radicaux sont 5, 3, et 8.

Or, 5+3 = 8, donc 9 satisfait à l’équation proposée. Les valeurs respectives dos mêmes radicaux pour x = — ^ sont

I2y'=l et

or, le troisième radical, au Heu d’être la souiwe des deux premiers, en est la différence. Cela vient de ce qu’ayant chassé les radicaux par une élévation au carré , l’équation rationnelle [2] serait la même quels que fussent les signes de ces radicaux ; on ne peut donc compter sur les solutions trouvées, qu après avoirvéritié directement qu’elles satisfont à l’équation proposée. En effet , si on fait toutes les combinaisons auxquelles donnent lieu les signes des radicaux on trouve les quatre équations :

— v/2x + 7 — v'Sx — 1 8 = y/7x + l"

DU SBCOND DEGRÉ.

qui conduiraient toutes à la même équation finale. Or, x—9 satisfait h la première; ar= — ^ salisfait à la troisième, et aucune de ces solutions ne satisfait ni à la deuxième ni à la quatrième. Une observation du même genre s’applique au premier exemple.

Remarque. Ces dernières obscrvalious font voir que la méthode de résolution précédente peut devenir illusoire ix)ur des équations irrationnelles correspondantes à certaines combhiaisons de signes des radicaux. En oflet , la seconde et la quatrième équation sont étrangères aux racines trouvées, en sorte que, par rapport h la question proposée, elles n’admettent aucune solution positive ou négative, et même imaginaire.

kBSOLUnON