CALCUL DES RADICAUX DU SECOND DECRÈ

Multipliant haut et bas par a — ^5, on aura

or,

et par suite ou

posons encore et il viendra

d’où

cl par suite

Multipliant haut et bas par 19—12^3, le problème sera résolu.

Les méthodes d'approximations décimales que nous avons données en arithmétique, pennettent de calculer l’expression

proposée avec un degré d’approximation marqué par

■ Résolution d’un problème de géométrie par le secours de l’algèbre.

2C7. Problème. Diviser «ne droite en moyenne et extrême raison, c'est-à-dire en deux parties telles, que l'une x soit moyenne proportionnelle entre la ligne entière et l’autre partie.

322 RiaoLtmoN

Soit AB=a la ligne donnée , et ÂD = a-, nous aurons

d’où [2] x' = a(a — x) ;

et par suite [3] x*-{-ax — a* = 0.

Les racines de cette équation sont :

La quantité soumise au radical est essentiellement positirc ; donc les racines sont réelles; cette même quantité est plus

grande que donc le radical est plus grand que ^ P-**!" suite ,

la première solution est positive , tandis que la seconde est négative. Au reste, puisque le dernier terme de l'équation [3] est négatif, on pouvait prévoir que les racines seraient réelles et de signes contraires.

Construction de la racine positive.

Occupons-nous d’abord du radical.

La valeur de ce radical est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit sont a et ^a. Élevons donc à l’extrémité B de la droite donnée une perpendiculaire BQ égale à la moitié de AB, et joignons le point À au point 0. Pour retrancher J a ou BO de l'hypoténuse AO, décrivons du point 0 comme centre avec OB pour rayon un arc de cercle BC jusqu’à sa rencontre G avec AO; ainsi AC=AO— BO, donc AC est la valeur de x\ enfin, prenons sur AB, AC'=AC, ce qui se fait en décrivant de A comme centre avec AC pour rayon un arc de cercle, et la droite donnée sera divisée au point C' comme on le demande , c’est-à-dire que l’on a la proportion