CHAPITRE XII
CALCUL DES RADICAUX D’UN DEGRÉ QUELCONQUE CONSIDÉRÉS DANS LEURS VALEURS ARITHMÉTI- QUES.
SOMMAIRE
513. Puissance des monomes. — 314. Règle. Exemples. — 313. Racine des monomes. — 310. Règle. Exemples. Cas dans lesquels on ne pourra qu'indiquer la racine. Exemple. Simplific.'itions. Faire sortir des facteurs hors du radical. Transformation inverse. Usage que l’on peut en faire en arithmétique. — 317. Calcul des radicaux d’un degré quelconque. Explications préliminaires ayant pour objet de faire comprendre ce que l’on doit entendre par les déterminations d’un radical , et par In valeur arithmétique d’un radical. — 318. Radicaux semblables. Exemple. Des radicaux peuvent n’étre dissemblables qu’en apparence. Exemple. Pourquoi nous ne pouvons énoncer de règle générale à l’égard de cette simplification des radicaux. — 318. Addition et soustraction des radicaux semblables. L’opération ne porte que sur les coefficients. Exemples. — 320. Multiplication et division des radicaux semblables. Exemples. — 321 . Réduction des radicaux au même indice. Démonstration du principe sur lequel repose cette réduction
— 322. Ce que cette égalité renversée nous apprend. Réduction au même indice des deux expressions radicales * A et Comment on réduit'au même indice des radicaux dont les indices ne sont pas premiers entre eux. Rapprochement entre la réduction des radicaux au même indice et la réduction des fractions au plus petit dénominateur commun.
— 323. Règle. — 324. Multiplication et division des radicaux quelconques. Exemples. — 323. Puissance d’un radical. Exemples. — 326. Règle. — 327. Comment la puissance d’un radical se simplifie lorsque l’indice est un multiple du degré de la puissance. — 328. Règle.
— 320. Racine d’un radical. — 330. Règle. Règle inverse. Exemple. Remarque sur les opérations relatives aux radicaux combinés par voie d’addition, soustraction.... avec d’autres quantités.
Puissance des monomes.
313. La puissance m‘ d'un monoinc est le produit de »t monômes égaux au monoinc proposé; dans ce produit, le coelli-
I)’us DKGBÉ yUKtCONQüK. 3‘J7
dont sera le produit de m facteurs égaux au coefiident du monome proposé.
L’exposant d’une lettre sera la somme de m nombres égaux à l’exposant de la même lettre dans le monome proposé ; d’où l’on lire cette règle :
5i4. Pour élever un monome à la puissance m, m désignant un nombre entier positif quelconque, on élève le coefficient à la puissance m et l’on multiplie les exposants par va.
Exemples.
(a" .bT=ar".b^.
Racines des monomes.
518. Le monome proposé dont on veut extraire la racine c'st la puissance de sa racine ; donc , le coefricicnt est égal à la puissance m* du coefficient de la racine , et les exposants sont respectivement égaux aux exposants de la racine multipliés chacun par m ; de là la règle suivante :
316. Pour extraire la racine m' d’un monome, il faut extraire la racine m' du coefficient et diviser chacun des exposants par m.
Exemples. ^8a*é“= 2a6*
V A"o’’"ô»" = Aa'*’.
Conséquence. Pour que la racine m* d’un monome puisse s’obtenir exactement, il faut et il suffit que son coefficient soit une puissance m‘ exacte, et que l’exposant de chaque lettre soit un multiple de m.
Lorsqu’on doit extraire la racine tn* d’un monome qui n’est pas une puissance m* exacte, on l’indique. L’expression radicale ou irrationnelle qui en résulte est souvent susceptible de simplification. Soit, par exemple, l’expression suivante :
4v36ÔôW,
pour extraire la racine d’un produit, il suffit d’extraire les racines de chacun des facteurs; si donc on peut décomposer l’expression soumise au radical en deux facteurs dont l’un soit une
calcul des badicaiix
puissance exacte d’un degré marqué par l'indice du radical , on pourra cxlrairc la racine de cclui-lii , cl la multiplier par la racine Indiquée de l’autre; or, on peut écrire
3’.5.aô*d;
par suite ab'd,
ou Mb^ibal^â.
C’est là ce qu’on appelle , comme nous l’avons dit dans les radicaux du second degré , faire toriir des facteurs hors du radical.
Réciproquement, en partant du même principe, on peut faire entrer sous le radical un facteur qui précède ce radical sous la condition d’élever ce facteur à une puissance d'un degré marqué par l’indice du radical.
Qn peut Caire usage du même principe en arithmétique quand on veut évaluer par approximation une expression qui r^crme une racine carrée , ou une racine cubique multipliée par un nombre quelconque. On fait passer ce nombre sous le radical avant d’évaluer l’expression soumise au radical , avec l’approximation convenable pour obtenir à la racine rapproximallon demandée.
Remarque. Ce serait ici l’occasion de faire connaître l'extraction de la racine w' d’un polynôme. Celte question sera traitée dans des compléments d'algèbre.
Calcul (les radi(»ux d’un degré quelconque.
517. Nous avons vu qu’une racine can’»3e a deux valeurs. On apprendra plus lard qu’une racine cubique a trois valeurs dont une réelle et deux imaginaires ; et cpi’en général , un radical d’un indice quelconque!», a m valeurs: une seule est réelle quand m est impair, et deux sont réelles et de signes contraires loi’sque »» est pair.
Il est aisé de voir que dans le cas du radical de degré impair, il y a une valeur réelle de même signe que la quantité soumise au radical ; on peut donc changer d’avance le signe du radical cl le signe de la quantité placée sous ce radical. Dans le cas du
d’un degré quelconque. 399
radical de degré pair, si la quantité soumise au radical csl négative , il n’y a pas de racine réelle par la môme raison que pour un radical carré. Si, au contraire, cette quantité est positive , il y a deux racines réelles. Tune positive et l’autre négative. .Nous tiendrons compte du signe dans les opérations indiquées , et nous ramènerons ainsi le calcul des radicaux au cas où l’on considère seulement leurs valeurs absolues.
ExemplÈS. (— ^34} X (— v^)= + v'âi X
X v'Ï9 = (— V'^) X v'ïl = — X ^Î9 ■
Ainsi, dans les deux cas, la question est ramenée à la multiplication de ^34 par y^l9.
Quand on considère un radical de degré m avec toute sa généralité il a m valeurs ; mais comjne la plupart de ces valeurs ne sont pas réelles , on les désigne souvent sous le nom de dcterminalions du radical, et quand parmi ces déterminations on considère seulement la valeur absolue du radical , on dit que l’on réduit le calcul ^ sa valeur arithmétique.
Dans tout ce qui va suivre nous ne considérerons que les valeurs arithmétiques des radicaux. (Le lecteur qui désirera connaître cette théorie dans toute sa généralité, consultera avec fruit l’ouvrage de M. Lefébure de Fourcy.)
Radicaux semblables.
S18. On appelle radicaux semblables, des radicaux de môme indice ({ui ne dilTèrenl que par les facteurs hors du radical.
Exemple. — lOv'^.
Des radicaux dissemblables en apparence peuvent sc ramener souvent à des radicaux semblables en vertu de la simplification du n® 516. Tels sont les radicaux ^32o*6* et ^lOOOOOo*6* qui se ramènent aux précédents.
Toutefois , nous rcmaniucrons qu’il nous est impossible de prescrire une règle générale à cet égard , puisque nous ignorons la décomposition des polynômes en facteurs.
CALCDL DES RADICAUX
Audition et soustraction des radicaux semblables.
510. L’addilion et la soustraction des radicaux semblables SC fait sur les coefficients d’après la règle ordinaire pour les quantités rationnelles.
E.xcinplcs. 1 I4^«’è*,
Mulliplicalion et division des radicaux de mime indice.
520. La multiplication et la division des radicaux de niéiiic indice s’exécutent d’après les mêmes principes que pour les railicatix du second degré, parce que :
1° La racine d'un produit est égale au produit des racines.
2° La racine d’un quotient est égale au quotient des racines.
X 20^âÎ6V^
12v'ô^’ : 4^ôè?'=3^«6-,
12^0^ ; 4^âW=3v/«-’6-’c-'.
Kédiiction des radicaux au mime indice.
521. La réduction des radicaux au même indice repose sur le principe suivant :
La valeur d’un radical n'est pus altérée quand on multiplie l'indice du radical par un certain nombre entier positif, et qu'on élève la quantité qui lui est soumise à la puissance d'un degré marqué par ce nombre.
En effet , soit le radical yÂ, A désignant une quantité quelconque (positive si m est pair); posons
don
d'un DKGHb QUELCONQUE. 401
Élevant les deux membres de celle égalité à une puissance quelconque entière et positive, n, il vient
ou A" = s’"".
Extrayant des deux membres la racine »m', on obtient
et par conséquent vA=7A’*-
Si l’on renverse la dernière égalité, on a
donc,
322. La valeur d’un radical ne change pas quand on divise l'indice par un nombre et qu’on extrait une racine d'un degré marqué parce nombre, de la quantité soumise au radical.
Cela posé, proposons-novs de réduire au même indice.
ÿ/A cl ;/B.
Le premier est la môme chose que 7-^" ! le second est la môme chose que 7B"-
Remarque. Si les indices n'élaient pas premiers entre eux il y aurait lieu ü une siinplilication coinine dans la réduclion des fraclious au même dénominateur. Si l'on avait, par exemple,
7Â cl 7b,
q étant le plus grand commun diviseur des deux indices, on multiplierait l’indice du premier par n, en ayant soin d’élever en même temps A à la puiss;incc a; on multiplierait l’indice du second par m, en ayant soin d’élever B à la puissance m, cl l’on aurait
’7r- et '7F.
Plus généralement on établira la règle suivante :
