Soit P le polynôme proposé
Concevons que ce polynôme et sa racine soient ordonnés suivant les puissances descendantes, par exemple, d’une lellre principale que nous désignerons par x.
P csl, par hypothèse, le produit de deux facteurs égaux à sa racine; donc son premier terme est sans réduction le produit du premier terme de la racine par le premier terme de la racine, c’est-à-dire le carré de ce premier terme; par suite, on obtiendra le premier terme de la racine en extrayant la racine carrée du premier terme du polynôme proposé; on peut donc toujours trouver le premier terme de la racine carrée d’un polynôme.
Cela posé, concevons, pour plus de généralité, que l’on connaisse un certain nombre de termes consécutifs de la racine, à partir du premier; désignons par A l’ensemble des termes connus , et par S l’ensemble de tous les autres termes. l.a racine cherchée se trouvera alors assimilée à un binôme A S; le carré de cette racine sera A’ -f- 2AS -f S* ; ce carré devra être identiquement égal au polynôme donné P; de là l'égalité
P = A*-l-2AS-f S’.
Mais, comme l’ensemble des termes représentés par A est censé connu, on peut, en vue de simplifier l’opération, former le carré A* en multipliant A par lui-même, et le retrancher de P; on aura ainsi un reste; soit R ce reste, on pourra écrire
R = 2AS-f S’, ou R = S(2A-f-S).
Cela posé, chacun des facteurs S et 2A-|- S est ordonné par rapport à x\ on peut de môme ordonner le reste R ; le premier terme de R est sam réduction le produit du premier terme de S par te premier terme de 2A -j-S, mais le premier terme de S
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EXmCTION
est le premier terme de la partie inconnue de la racine; le premier terme de 2A -|- S est le premier terme de 2A , c’est-à-dire le double du premier terme de la partie connue ; ainsi , le premier terme du reste est le produit du double du premier terme de la racine par le premier des termes encore inconnus ; donc, pour trouver un nouveau terme de la racine cherchée, il suffit de diviser le premier terme du reste par le double du premier terme obtenu à la racine. En conséquence , lorsqu’on connaît un certain nombre de termes consécutifs de la racine , à partir du premier, on peut trouver le premier des termes inconnus; or, on sait trouver le premier, donc on peut trouver le second; quand on en aura deux, on aura le troisième; quand on en aura trois, on aura le quatrième, et ainsi de suite, jusqu’à ce que le premier terme de la partie inconnue soit en même temps le dernier terme de la racine cherchée, auquel cas l’opération est terminée. Ce raisonnement conduit à la règle suivante :
508. Pour extraire la racine carrée d’un polynôme, on ordonne ce polynôme par rapport aux puissances d'une même lettre; on extrait la racine carrée du premier terme, et l’on écrit lerésultat à la racine ; on retranche le carré de ce premier terme du polynôme proposé; on divise le premier terme du reste par le double du terme obtenu à la racine, et on écrit le quotient d la racine; on fait le carré de l’ensemble des deux premiers termes; on le retranche du polynôme proposé ; on divise le premier terme de ce second reste par le double du premier terme de la racine, et on écrit le quotient; on fait le carré de l'ensemble des trois premiers termes, et on le retranche du polynôme proposé ; on divise le premier terme du reste par le double du premier terme de la racine, et ainsi de suite.
Remarque. Tous les termes de la racine s’obtiennent par une division, à l’exception du premier, qui s’obtient par une extraction de racine. Les divisions successives ont toutes même diviseur : le double du premier terme de la racine, et pour dividendes successifs le premier terme de chaque reste.
Exemple. Extraire la racine carrée du polynôme — 12o’àa)’-j- lOrt‘6*®*— > ^(âl^x -\-a’b^.
DE LA nACINI CARKtE ALGÉBRIOIE.
Vuici le tublenu des opérations :
9o’x' — IJa’bi’+lOo'yj' — la'b'i+0'6' SnaS— 2u’l)j+o’b^
eoa* 3oi’— ia'br
l"resle — IJo'fer'-f-lOn'b^i* — to‘b’i+a‘4‘ Sm’ — ia’bx
—9a'x‘+12a‘bx^ ia'b’j’ 9o’i*—
2" reste + Oa'b’x* — Aa'bH+afb' ag'b»*+4o*b*jr'
— 9a’r*+ 1 2a^br‘— IOo‘b’jS+Ao^b^j^-g*b* 9a’x*— 12«‘bT’-f Aa'b'z''
3* reste 0
Zax‘ — 2o’bi + o’b’
3af — 2o’b» +o’b*
OoV — Co'bi’ + 3a'bV
— 6o’b*“ + AoibV — 2o*b^
+ 8aW— 8g»y«4-o*h*
9o’x' — i2a‘bjfi+ •(ta'b’*’ — Aa^(ex + «‘b*
La racine carrée de 9aV est 3ox', que l’on écrit à la racine. Le polynôme diminué de 9«*a;* donne pour premier reste — 12a’éar’+ 10a*l»*a:’ — ia'l/'x-^-a^b'. — 12a’6x’, divisé, par le double de 3ax‘, c’est-à-dire par 6«x’, donne pour quotient — 2a'bx, que l’on écrit à droite du premier terme. Le carré de 30^*— 2a*à« est 9aV— 12o’6x’-f 4a‘6’Æ*. On écrit ce polynôme, changé de signe sous le polynôme proposé, do manière que les termes semblables se correspondent ; on additionne les deux polynômes, ce qui donne, pour deuxième reste, le polynôme ürt‘i«x«4a'6’*-}-a'ô‘. 6a‘6*x’, divisé par le diviseur constant 6oa% donne pour quotient -j-a’à’, que l’on écrit à la racine, à la suite des deux premiers termes. Le carré de 3ax'—2a*bx-\-a^b‘ est 9aV— 12a’6a:’-f 10a‘6V— 4a®é’x-j-a‘6‘. On écrit ce polynôme, changé de signe, sous le polynôme proiwsé ; on fait la somme; le nouveau reste est 0. L’opération est terminée. Le trinôme Zax'‘—ia‘bx-\-c?l/esi la racine cliercliéc, ainsi que le prouve le calcul lui-méme.
Des cas oit le polynôme n’esl pas un carré.
500. 1* Si le polynôme proposé est un carré j»arfail, l’opération se termine, parce qu’on trouve 0 pour reste.
2" Si le polynôme n’est pas un carré, on le traite comme s’il en était un, et l’on n’arrive pas à 0 pour reste.
3" L’opération ne se terminera pas, premièrement lorsque le
EXTRACTION
premier terme thi polynôme proposé ne sera pas un carré: secondement, lorsque le premier terme d'un reste ne sera pas divisible par le double du premier terme de la racine.
4° Quand le polynôme sera ordonné suivant les puissances descendantes de la lettre principale, l'opération s'arrêtera dès que l’on parviendra à un reste d’un degré inférieur à la moitié du degré du [wlynome proposé.
5° Si le polynôme est ordonné par rapport aux puissances ascendantes, et «i l'on ne s'arrête pas au coefficient fractionnaire, on ne pourra reconnaître l’impossibilité qu’après avoir obtenu à la racine un terme d’un degré plus grand que la moitié du degré du dernier terme du polynorac proposé, car ce dernier terme devrait être, sans réduction, le carré du dernier terme de la racine.
6° Dans tous les cas, et pendant toute la durée de l’opération, le polynôme proposé est égal au carré de la partie trouvée augmenté du reste correspondant.
Manière d’abréger l'opération.
507. Pour abréger l’opération qui donne le reste à chaque nouveau terme, observons que, par le fait même de l’opération, on a déjà retranché le carré de l’ensemble des termes précédents. Soit toujours A l’ensemble des premiers termes, et soit H le nouveau terme, la partie obtenue de la racine est assimilée à un binôme A -f- H , dont le carré est A* -f- 2AH -j- H*, ou A*-f-(2A-f-H)H. D’après l'observation précédente, on a déjà retranché A’; donc il suffit de retrancher la quantité représentée par (2A-|-H)H. A cet effet, on doublera la partie connue de la racine ; on écrira à la suite le nouveau terme H ; on multipliera par H et on retranchera au fur et à mesure comme dans la division. Cette simplification, qui correspond à la manière d’extraire la racine carrée d’un nombre, donne lieu au calcul suivant :
9o’a:‘ — 12a’éa:* -|- 10a‘à*j:’ — 4a‘é’j; -f- o*6‘ 6a‘6’a:* — 4«’à’x-|-«®é*
3aa* — ia*bx -|- a* 6* &ax‘ — 2a’6x — 2o’ftx
üax^ — 4a'bx -J- a’6’
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DE LA RACINE CARRÉE ALCÉBRIQllE.
Du carré d’un polynôme.
308. Nous aurons h faire une remarque importante sur la formation du carré d’un polynôme.
Soit à faire le carré d’un polynôme
o+6 + c-fd4-... + A.
En l’assimilant h un binôme
le carré sera
ou a* -j- 2aô -{■ + -f 2aA + (6 + c + d+ +A)’;
d’où l’on voit qu’on peut faire le carré en faisant d’abord le carré du premier’ terme ; en multipliant ensuite le double de ce premier terme par tous les autres pour y joindre ensuite le carré de tous les autres termes ; la question est alors ramenée à former le carré d’un polynôme qui renferme un terme de moins. On traitera ce carré de la même manière que le précédent, et ainsi de suite, d’où l’on lire la règle suivante :
300. Pour faire le carré d’un polynôme, on fait le carré du premier terme-, on multiplie le double du 'premier terme par tous ceux qui le suivent; on fait le carré du second terme ; on multiplie le double du second terme par tous ceux qui le suivent; on fait le carré du troisième terme ; on multiplie le double du troisième terme par tous ceux qui le suivent , et l'on continue de la même manière.
Evbiiplks. (a -f è -f c)* = o’ -f 2aé -f 2ac 6’ -1- 26c -f c*,
(O -f- 6 -j- c -|- d)’ = a* -|- 2a6 -f- 2ac -{■ lad -|- 6’ -j- 26c 26d -j- c*
-|-2cf/-ffZ«,
(a — b-\-c — d)’ = a* — 2a6 -f- 2ac — 2ad -j- 6’ — 26c 26d -|- c*
— 2cd -j- d*,
(Sao:;* — 2a’6x-j- a*6*)’ = Oa’x* — 12o’6«* -J- 60*6*0^ -f- 4a‘6*x*
• = 9o*Æ* — 1 2a*6j:" 1 Oa‘6*a’’ — 4 a*6*jr -f- a®6‘ .
EXTRACTION'
Remarque. Le carré d’un polynôme se compose de la somme des carrés de ses termes, et des doubles produits de ces termes pris 2 à 2 de toutes les manières possibles.
Résolution d’une équation algébrique conduisant à l’exlracUon de la racine carrée d’un polynôme.
3i0. Chercher les racines de l’équation
(a; — a* — 6*)» — (2o‘ + 3aô — b*)* = 0.
D’après ce qui a été dit au n' 230, cette équation revient à a;’ — 2(0* + — 30* — 1 2o’ô — 3o*é* + 6oi»> = 0,
d’où .r = o’ + i>* ± v^4a* + 12o’é -f- 5o*é’ — Goé* -f- ô*,
»= o’ + é* ± (2o* -f- 3aé — 6*), a;' = 3o* -f- 3aô = 3fl(a -}- ft),
a/' — —fil ..,346 +
Recherche de ta condition pour que le trinôme aisq- l>x +< soit le carré d’un binôme rationnel et entier par rapport à x.
3H. Proposons-nous d’extraire la racine carrée du trinôme aa;*-|-i»a;-j-c.
ax* -^bx-\-e ^ 1
2y/fl
Parvenu au second reste, la division par 2a:y'o de l’expression — considérer comme le coefficient dea^) ne peut pas sc faire; l’opération se termine, et le polynôme proposé est égal au carré de xJa-\-—^ anementé du
Oâ//» ■■ •
PE LA RACIXB URRÉE ALGÉBRIQUE.
reslc, en sorte que — ^ + c = o , ou ô* — 4ac = O est la condition nécessaire et suftisonto pour que la racine du trinôme «X* -|- ôx -|- c soit rationnelle et entière par rapport 5 x.
Si l’on admettait les exposants négatifs on pourrait continuer les opérations qui, alors, se prolongeraient Indériniment.
Le calcul précédent est un exemple où l’on considère les opérations par rapport à x sans tenir compte des difficultés que peuvent présenter les coefficients.
La relation ô*— 4ac = 0 ayant lieu entre trois quantités n, b, c, deux d’entre elles peuvent être prises arbitrairement.
La condition nécessaire et suffisante pour que le trinôme ox’-f-éx-fc soit un carré parfait, étant exprimée par 5' — 4ac = 0, correspond au cas où l’on trouve des racines égales quand on égale le trinôme ù 0.
312. Si on demandait les relations qui doivent exister entre le coefficients du polynôme
ox*-}- èx* -f- ex* -j- dx -f-c,
pour que ce polynôme fût un caiTé parfait, on opérerait comme précédemment.
On trouverait pour racine
et pour reste \d-
é(4ac — é*)
jx-f (
(4ac— 67 64a* '
Or, ce reste doit être nul quel que soit x, par suite les termes ne peuvent se détruire par l’opposition des signes; il faut donc que chacun d’eux soit nul séparément; en conséquence, on devra égaler à 0 chacun des coefficients, ce qui donne
,, 6(4ae-.ô*)„ ^ (4o<»~6*)*
ou 6* — 4a6c-f-8o*d=0
(6* — 4ac)*— 64a*e= 0.
Ces deux équations ayant lieu entre cinq quantités, on (veut disposer arbitrairement de trois d’entre elles.
