CHAPITRE IV
MULTIPLICATION
SOMMAIRE
jjfl. Définition rfe la mnliipl'Mticn algébrique. — 87. Mulliplicalion des monomes. Exemples. — 80. Comment on forme le produit des puissances d’une même qiianlilé. — 80. Règle pour multiplier deux monômes quelconques l’un par l'autre. — OU. Multiplient on des polynômes. Exemples. Produit de a-\-h par c-f-d (c et d désignant des nombres entiers quelconques). — CI . Produit de a + 6 parc-)- (c et d désignant des frarlions arithmétique-). — 01 bis. Réglé pour multiplier l’un par l'autre deux polynômes à termes additifs. Exemple. Produit de a-\-b — c — d par m — ri-j-p — q. — 02. Règle pour multiplier deux polynômes quelconques l’un par I nutre. Exemple. Application numérique.— 03. Remarques. — 01. Définitions. Ordonner un polynôme. Lettre principale. Polynôme complet. Polynôme incomplet. Exemples. — 68. Comment on ordonne un polynôme dont plusieurs termes renferment la lettre principale à la n èmo puissance. Ce qu’on a|ipelle mettre une quantité en facteur commun. Autre dispo-ilion. Défini ion plus générale du (oelTicient. — 00. Degré d'un terme. Manière d’estimer le degré d’un terme. Exemples. Polynôme homogène. Degré d'un polynôme homogène. Degré d’un polynôme non homogène. Exemples. Degré d’un terme par rapport à une lettre principale. Degré d'un polynôme par rapport à une lettreprincipale. Exemple. Multiplication de polynômes ordonné.^. Remarques. — 07. Multiplication dans laquelle les coefificients de la lettre principale sont des polynômes. — 08. Autre disposition du calcul. — 09. Propriétés du produit de deux polynômes. Le produit de deux polynômes quelconques ne peut jamais renfermer moins de deux termes. Cestermes sontdits termes irréduclibles. Remarque relative au maximum du nombre des termes. Le produit de deux polynômes homogènes est un polynôme homogène dont le degré est la somme des degrés des deux facteurs. Le produit de deux polynômes non homogènes, est un produit qui ordinairement n’est pas hoinogène, mais le degré du produit est encore égal à la somme des degrés des deux facteurs. Multiplications remarquables.— 70. Carré de la somme de deux nombres. — 71. Ctirré de la différence de deux nombres. — 72. Produit de la somme par la différence de deux quantités. Comment le dernier principe permet dans certains cas d’abréger la multiplication. Exemple.
Définition de la multiplication algébrique.
ISO. La mulliplicalion algébrique a pour but de trouver un polynôme dont la valeur numérique soit le produit des vakurs
MULTIPLICATION
numéfiqves de deux polynômes quelconques , quelles que soient les valeurs des lettres que l'on considère. ’
Les polynômes proposés et le polynôme cherché se nomment respectivement : multiplicande, multiplicateur, produit.
Multiplicalion des tnonomes.
iî7. Exemples. 1° Multiplier a par b.
D’après le signe indicatif de la multiplication , on écrira ab, et il n’y a lieu à faire aucune réduction tant qu'on n’assigne pas de valeurs particulières aux lettres a et b.
2° Multiplier o* par a".
Multiplier o’ par a’, c’est-à-dire aa par aaa, revient à multiplier aa 3 fois de suite par a, parce que mxdtiplier une quantité par un produit, revient à la multiplier par les facteurs successifs de ce produit; on aura ainsi aaaaa ou a‘.
Plus généralement pour multiplier o" par a", il faut à la suite des m facteurs a du multiplicande écrire les n facteurs a du multiplicateur, ce qui donne en tout m-\-n fois le facteur a ou a"**. Pareillement , a” Xar x,a''X.
En conséquence , ' .
88. Le produit des puissances d'une quantité est une puissance de cette quantité dont le degré est la somme des degrés des facteurs.
3° Multiplier 3a’ôc par Wb*d'‘.
Puisque multiplier par un produit revient à multiplier pai’ les facteurs successifs de ce produit, l’opération proposée revient à multiplier le multiplicande 3a*àe par les facteurs 5, o*, à’ et d* du multiplicateur. Mais, poxtr multiplier un produit par un nombre, il suffit de multiplier un de ses facteurs par ce nombre, on pourra donc multiplier le coefficient 3 du multiplicande par 5, ce qui donne 15; on multipliera de môme le facteur a' du ' multiplicande par ce qui donne o'; on multipliera b par 5*, ce qui donne 6’; le facteur c restera tel qu’il est, et l’on multipliera enfin le résultat par le facteur d‘ du multiplicateur; on , aura donc en tout lba*b\d\ En conséquence,
M(ILTIPLIC1TI0N.
tiO. Pour multiplier des monomes quelconques-, on multiplie leurs coefficients-, on ajoute les exposants qui affectent les lettres communes, et l’on écrit les lettres non communes, chacune avec l’exposant dont elle est affectée. . . ■ ^
Multiplication des polynômes.
60. Exbmples. 1" Multiplier 0+6 parc 4- rf (c et d désignant des nombres entiers quelconques).
Multiplier o + 6 par c + d, revient à répéter a + 6 autant de fois qu’il y a d’unités dans c + d ; donc il faut , 1° prendre c fois 0 + 6; 2“ d fois o + 6; 3° ajouter ensemble les deux produits partiels.
. . Premièro multipUcation.
oc + 6c.
Prendre c fois o + 6 revient h prendre c fois chaaine des parties de 0 + 6, ce qui donne oe + 6c.
Multiplions de la même manière o + 6 par d.
Deuxième muUiplication.
ad + 6d.
En conséquence , la multiplication proposée sera la suivante ;
' oc + 6c + od + 6d.
Cl. 2* Multiplier o + 6 par c + d (c et d désignent des fractions arithmétiques).
Les fractions c et d étant réduites au même dénominateur, d’après la règle ordinaire , on pourra les représenter pour un
instant par - et ainsi « = ^ — c-\-d=- >
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MCLTIFLICATION.
cela posé, pour multiplier a-f-5 par — suivons la régie
prescrite en arithmclique pour multiplier un nombre par une (iraction; à cet effet, raultiptiaDt a-f^ par iious aurons, d'après le cas précédent ,
’ • ah-\-bh-^ak-\-bk.
Divisant cette somme par », il viendra , .
ah .bh .ak ,bk n n ■ n ' "n ’
ou a.- + b.~-\-a.~-\-b.-, -
c’est-à-dire ac-{-àc-\~ad-\-bd. ^
■ Donc , finalement,
(g-^ b) ou {a-\-b){c-\-d) = ac-\-be-\-ad^M.
'■ Le môme raisonnement pouvant s’appliquer à des polynômes composés d'autant de termes qu’on voudra, nous dirons :
01 bis. Povr multiplier entre eux deux polynômes à termes additifs, on multiplie chacundes tenues du premier par chacun des tervMs du second, et l'on fait la somme de tous les pfoduits partiels.
Application. Multiplier
4a’ + 2o’ + 3a + 6 par 2^ + 5a + 3é.
Multiplicande Aa' + 2a’, + 3a + S ‘ -
HuUiplicaleur 2a' + 50+36
I" produit partiel... 8a' + 4a' +6o' +2o+
2* produit partiel +20a‘ +10o’ +t5a’ +5o6
3' produit partiel +12o’6+ 6o'6+ 9ob+3b’
Produit 8a‘+ 4a‘+Co'+2a'b+20o'+l0a'+t5o’+5ab+t2a'b+0o’b+9ob+3b’ produit réduit 8a>+24o‘+16o»+8o’b+15(<'+14ab+I2a’b+6o’5+36’.
3* Multiplier le polynôme a-\-h — e~d par le polynôme m — B -f- P — y.
36 MÜLT1PLIC4TI0N.
Le multiplicande peut s’écrire (a + 6) — (c + d), ou A— B, on posant a-}-6 = A et c-|-d = B.
semblablemcnl, le multiplicateur revient à (m+p) — (n+g)
ou à C — B ,
en posant »i+p=C et n+y=D.
La question est ainsi ramenée à multiplier A — B par C — B; (A, B, C, B désignant des polynômes qui ne renferment que des termes additifs).
1° Supposons d’abord que C et D soient des nombres entiers quelconques.
Pour multiplier A — B par C— D, il faut prendre C — D nombres égaux à A— B, c’est-îi-dirc C nombres égaux à A— B, moins D nombres égaux à A — B. La question est ainsi décomposée en trois : 1» multiplier A — B par C ; 2» multiplier A — B par B; 3° retrancher le second produit du premier.
Première opération.
