I.a formule donne

oubien i.2x — 3 — y'— iXsx — 3-|-v^ — l)*

CoNSKOl'ENCE. Trouver les conditions pour qu’un trinôme ax’ -|- bx + c soit un carré, ou plus exactement pour que sa racine carrée soit fonction rationnelle dex.

Ladéeoinposition en faefenrsdu trinôme ffx*-l-to-|-c,faitedans

le calcul précédent peut être exprimée par + î

or le nombre a peut être considéré comme un carré, poi»- (ju’on peut toujours en trouver la racine, soit exactement, soit par approximation ; il faut donc que les deux facteurs

suivants soient égaux , ce qui exige qu’on ~ ^ ou

— 4ac b — j... . . i <

2^ = 2^ condition qui se réduit a

b* — ■4ae=0 ou à b*=-4ac, ce qui s’accorde avec le n“

Problème. Trouver les relations qu'il doit y avoir entre les coefficients de l'équation ax’-t'bx-)-c = 0 , pour que les rexines soient entre elles comme deux nombres donnés m et n.

Première solution. Les racines sont ~ ^ ^ ~ • il

suffit donc de poser :

— ^ + b' — 4«<j , — b — — 4ae

ET LES ÉOl’ AXIONS DU SECOND DEGRÉ.

il où l’on lire successivement :

m{ — b — y/ 6* — Aac) — n( — b -|- ^b' — 4ac),

b(n — »i) = (ffi -f- »V 6* —

b\n — nij* = (m -f- nfb' — 4{m -f- n)*«c,

4'm -j- n)’oc = 4mnb‘,

ac mn

Deuxième solition. Les racines doivent être entre elles comme ;n et n, elles peuvent donc être représentées par mz et par nz\ or , ces deux nombres doivent satisfaire à l’équation donnée ; on a donc ;

[I] am’i’ 4* + f = O,

an^z' -|- bnz -j- c = 0.

Pour éliminer z entre ces deux équations, on multiplie la première par n’, la seconde par m\ et l’on fait la difl'érence, ce qui donne

(6»wn* — bnm')z e»‘ — cm' = 0.

. cm} — en} c{m-\-n)

' “ bmn' — bnm} bmn ’ *-

celte valeur étant substituée dans l’équation [l] donne

c*(TO + n)> c{m-\-n) ,

ou ac[m -f- »)* — b'n{m + n) + b'r? — 0,

et par suite ,

b' (wi + n)»

ac mn

Troisième solution. Le rapport des deux racines est — ; leur

somme est — elles sont donc respectivement égales à

— - (145 , prob. XIV);

a m-\-n' om + n '