A — B)(C-D) = AC — BC— AD+BD
Cela pose , remplaçons les lettres A, B, C, D par les quantités qu’elles désignent respectivement , et le premier membre deviendra
ou (a+6 — c — d) («n — ’n+p — g)',
quant au second , il devient successivement ;
(a+ô)x(»»+p)— (e+d)x(»ï+p)— (a+6)X(n+î)+(c+d}X(n+g) = (om + 6m+ap+ bp) — (cm+dm+çp+dp)
— (an + 6n + oç + + cq) + (cn+ dn + cg + dq)
= o»>+ bm +op+6p — cm — dm — cp — dp — an
— bn — ag — bq — cg+on+dn+cg+dg.
Ce dernier produit renferme tous ceux que l’on peut obtenir en multipliant chaque terme du multiplicande par chaque terme du multiplicateur; ces produits ont le signe +, lorsque
MÜLnPLICiTIOIl.
les termes multipliés ont le môme signe , et le signe — , quand > ils sont de signes contraires.
Remabque. Si l'on multiplie successivement tous les termes du multiplicande par chacun des termes du multiplicateur, en ayant soin d’affccler le produit du signe ou du signe — , se-
lotn que les deux facteurs ont eu n’ont pas le même signe , on obtient les mêmes termes que précédemment dans un ordre différent (ce qui ne change pas le produit), ainsi qn'on le voit dons le tableau ci-après.
Multiplicande...... a+6— « — d
MulUpUcaleur..... m— n+p— 9
om+lnn— cm — *»
—an — bn+cn+dn +ap -H>P —cp —dp —aq—bq+cq +dq
Etoduit total,
oaH-bav— cm — dm — on— bn+cn+dn+ap+bp — cp — dp — aq—bq+cq+dq
En conséquence ,
62. Règle. Pour multiplier deux polynômes l’un par l’autre, on multiplie successivement et à partir de la gauche, tous les termes du multiplicande par chacun des termes du multiplicateur ; on donne à chaque produit partiel le signe -|- ou le signe — , suivant que les deux termes que l’on multiplie sont de même signe an de signes contraires; enfin, on ajoute tous les produits partiels en ayant soin de faire, s’il y a lieu, la réduction des termes semblables.
65. Reuabqubs. l. La règle précédente n’est autre que ccUe du n° 61 bis, sauf que le produit de deux termes affectés de signes contraires est soustractif
II- Les règles des n°’ 59-et 62 donnent le moyen d’ élever an carré un monomc et un polynomc. (Nous reviendrons plus tard sur cette opération.)!
ni. Pour plus de commodité , la règle des signes de la multiplication des polynômes s’énonce ainsi qu’il suit :
-[- multiplié par -j- donne -f
-|- multipné par — donne —
— muKiplié par -j- donne — ' •
— ranlliplié par — donne -!- '
Produits partiels. . .
HtnTITLICinON. 39
Pour abréger encore davantage , on sous-entend le mot muifi-
plié, et l’on dit simplement :
-f par donne 4- -|- par — donne —
— par -{- donne —
— par — donne -f- . . . -
Application. Multiplier 2a’4-ax’— 3a’ar par 4a’x— 5x*— 3ax*.
Multiplicande . .
Mulliplicateur..
Produits partiels.....
2o’ + <u? — 3a’x to’i — 5i^ — 3<u?
8o‘x +4oV— 120'»’ , — I0o’»> — 5a»* + 150’»’
— 60*»’— 3oV+ 90’»’
Produit 8o‘»+lo’»’ — l2o'»’ — lOo’»’ — Soi’+lSo’»*— 6o'»’ — 3a’»’+9a’»*
Produit réduit. 8o’»+îo’»*+l2o’i‘— 18a’»’ — So*’.
(On multipiie chaque terme du multiplicande, à partir de la gauche par le premier terme à gauche du multiplicateurO 4- par 4“ donne -f- ; 2a* par 4o*x donne 8o*x (que l’on pose • ' au produit en omettant le signe 4-) ; 4- par 4* donne «** par 4a*x donne 4o*x* (que l’on écrit avec le signe 4- à la droite ' de 8a“x); — par 4- donne — ; 3a*x par 4o’x donne 12a*x* (que l’on écrit avec le signe — à la droite de 4o’x’,
On obtient de la même manière le deuxième et le troisième produit partiel ; on fait la somme, on réduit et l'on trouve
.. '8o‘x4-3û‘x’4- 12aV — 18o*x* — 6ox*.
Application numérique.
Soient a = 1000 et x = 1, nous aurons successivement :
P = îx(1000)»+1000— 3X(1000)».... Ï= 19970010000
PXP = 1997001000X3996694...^ = 7982008011894000
Soit P” le produit trouvé, il viendra ’
comme précédemment.
MULTIPLICATION
Remarqcb. La multiplication des polynômes est souvent susceptible d'une simplification qui tient à une certaine disposition de l’opération qu’il importe de faire connaître.
Des polynômes ordonnés.
04. Ordonner vn polijnome par rapport à une lettre, c’est écrire ses termes de manière que les exposants de cette lettre aillent toujours en augmentant ou toujours en diminuant d’un terme à l’autre.
La lettre par rapport ù laquelle on a ordonne les polynômes porte le nom de lettre principale.
Un polynôme est ordonné par rapport aux puissances ascendantes ou descendantes de la lettre principale suivant que les paissances ilc cette lettre vont en croissant ou en décroissant.
Un polynôme est complet ou incomplet, suivant qu’il renferme ou qu’il ne renferme pas toutes les puissances consécutives de la lettre principale depuis la puissance la plus forte que l’ou considère jusqu'à la plus faible, ou depuis la plus faible jusqu’à la plus forte.,
• Exemples. Les polynômes complets ax^-^bx-\-c et c-\-bx-\-ax^ sont ordonnés, l’un par rapport aux puissances descendantes de la lettre principale x et l’autre par rapport aux puissances ascendantes de la même lettre.
Au contraire, les polynômes incomplets et
c -\-bx-\-aa? sont ordonnés, le premier suivant les puissances descendantes de x, et le second suivant les puissances ascendantes de la même lettre.
65. Ijorsqu’on ordonne un polynôme dont plusieurs termes renferment la lettre principale à la même puissance, on ordonne ces termes peu- rapport à une autre lettre. Si, par exemple, le polynôme à ordonner renfermait les termes 4x*à*, 5x’c* et — 12**Ac, on pourrait les ordonner par rapport à b, et écrire 4**à* — 12x’6c -f- ôJr’c*.
On peut aussi n’écrire qu’une seule fois dans ces termes la lettre principale avec son exposant, et placer devant elle entre parentliôses la somme do scs multiplicateurs, en ordonnant ■ ceux-ci par rapport à une autre lettre. Cette transformation fort
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MULTIPLICATION. <41
usitée est ce que l’on appelle mettre une quantité on facteur commun.
D’après cela , mettant x' en facteur commun , les termes du polynôme ci-dessus pourront s’écrire :
(4b — 12ÔC -(- 5c')z’,
Souvent on adopte une autre disposition ; on écrit dans une môme colonne, et les uns au-dessous des autres, les multiplicateurs (ordonnés) de ta quantité que l’on veut mettre en facteur commun ; on tire à droite de cette colonne un trait vertical, et on place àla droite de ce trait la Ictlre principale avec son exposant ; ainsi, au lieu de la notation précédente, on aurait celle-ci .•
— 12ÔC -j-5c*
Par extension, on appelle coefficient le polynôme — 126C + 5c*
qui précède la lettre principale x; en conséquence , le coefficient d'une quantité est un multiplicateur quelconque , numérique ou littéral, monome ou polynôme, de celte quantité et que ion écrit à la gauche de cette quantité.
6G. On appelle degré d’un terme le nombre des facteurs littéraux-que renferme ce terme. »
Le degré d’un terme s’eslime par la somme des exposants ' '' ^
dont sont affectées les lettres qui entrent dans ce terme.
Les termes 2a’é, 10o‘i* sont respectivement du 3', 5“
et 6* degré, car ils équivalent à
iaab, àaabbb, lOaaaabb. *
(fn POLYNOME HOMOGÈNE cst Un polynome dont tous les termes sont du même degré.
Le degré d'un polynome homogène s’eslime par le degré de iun quelconque de ses termes.
Le degré d'un polynome non homogène s'estime par la somme des exposants des facteurs littéraux, dans celui de ses termes où cette somme est la plus grande.
MOLTIPLICÀTIOIf.
Le polynôme homogène — 76* est da' cinquième
degré.
Le polynôme non homogène 5a:* + 4a:*y — 2 est du troisième degré.
L’exposant de la Icltre principale dans un tenue est le degré de ce terme par rapport à la lettre principale.
Le degré d'un polynôme, ordonné par rapport à une lettre principale s’estime par l'exposant de la lettre principale dans le terme qui la contient au plus liaut degré.
Le polynôme 7a’6*x* lOa’ôa:* -j- 7ax + 5 est du quatrième degré pai- rapport à x.
Reprenons actuellement la multiplication du n° 65, et ad«litionnons les produits partiels après avoir placé les termes semblables les uns au-dessous des autres.
Mullipticandc..;.
MulUplicaleur . . .
Produits partiels
Produits partiels avec arrangements des termes semblables
Produit réduit
Produit ordonné
Jo^ + ai’ — 3o’i ta’i — Si’ — Soi*
!Sa‘i+ 12aW
— lOa’i’ — iai* -f-lSa’x*
— Ga«i’— 3o’i'+ 9a’j^
Sa^i-f- taV — 12a*i’ — 5oi*+lSo’i* — lOa’i^ ea'!* — 3a»»*
8a’x 3a‘x‘—iSa‘x‘~ Soi* +HoV 8a‘i— I8a‘i»+ aaV+lîo’i*— Soi*
Rbuabodes. 1. Pour obtenir immédiatement ce produit ordonné par rapport à a:, il suffit d’ordonner les deux facteurs , ainsi qu’on le voit ci-après :
2a* — 3a’i+ or’ 4 0*1 — 3 ai* — Si*
