LIVRE PREMIER

INTRODUCTION

SOMMAIRE

t. But de l'Introduction. — ’i. Classificiition des questions en théorèmes et en problèmes. — 5. Démonstration de quelques théorèmes DéPiniiion précise du théorème. — 4. Si quatre nombres sont en proportion , le produit des extrêmes est égal uu produit des moyens. Démonstraiion arithmétique. Autrement par l’emploi des signes d’opérations. Reinaroues sur les démonstrations précédentes. — B. Emploi des lettres pour déirontrer le théorème précédent. — 6. Comment on pourrait obtenir le même degré de généralité que par l’emploi des lettres. Pourquoi on ne le fait pas. — 7. Changement qu’une fraction éprouve lorsqu’on aug* mente ou lorsqu’on diminue ses deux termes d'un même nombre. — 8. Inconvénient du moyen précédent. — 9. Emploi des lettres. — 10. Résolution de quelques problèmes. — 11. La somme de deux nombres est 53 ; leur dilférence est 7 ; quels sont ces nombres? Solution arithmétique. — 12. Emploi des signes d’opérations. — 13. Nouvelle abréviation. — 14. La mkhode précédente ne donne pas lu solution des problèmes semblables. Ambiguité qui peut résulter de lu simple indication des opération.s. Exemple. — liî. La somme de deux nombres est 53; leur différence est 2; quels sont ces nombres? Néces.<iié de remplacer les nombres par les lettres. — 18. La somme de deux nombres est a; leur différence est 6; quels sont ces nombres? — 17. Réglé pour trouver deux nombres, conniiis.'^ani leur somme et leur différence. — 18. Application des formules à la résululion des problèmes qui de prime abord sont autant de qii&siions distinctes. — 19. Exemples. — 20. Résolution des problèmes currélatifs. — 21. Quantité littérale. — 22. Formule. — 23. Traduire une formule en langage ordinaire. — 24. Mettre une formule en nombre. — 28. Algèbre. — 26. Exercices.

But de l’introduction.

1. Le besoin des gmértUisatimt s’est fait sentir dès le commencement de l’arithmétique. En effet , comme les règles du

INTRODCCnON.

calcul et les principes seraient sans utilité, si ces règles et ces principes ne s’appliquaient indistinctement à tous les nombres, il a fallu faire des raisonnements généraux sur des exemples particuliers. Toutefois, l’arithmétique gagne en laconisme quand on représente par des signes les relations entre les nombres , et la généralité se manifesterait d’ellermème , si on représentait les nombres par des signes qui n’eussent aucune relation avec leur grandeur particulière.

Faire comprendre ce perfectionnement apporté dans la science des nombres, tel est l’objet de l’introduction.

Classiflcation des questions en Ihéorèmes et eu probtèmes.

8. Les questions sur les nombres sont de deux sortes : 1» mettre une vérité en évidence h l’aide d’un raisonnement appelé démonstration', 2° trouver un ou plusieurs nombres d’après des relations connûtes avec d’autres nombres donnés.

La dénomination de théorème s’applique aux premières ; celle de problème s’applique au.\ secondes.

Démonstration de quelques théorèmes.

5. Préalablement, précisons l’idée qu’on doit se faire d’un théorème en général.

ün théorème est une proposition telle que des relations étant supposées avoir lieu entre des quantités données, il enexiste nécessairement d autres. Faire voir que les secondes relations sont des conséquences des premières, c’est ce que l’on appelle démontrer le théorème.

Les relations supposées portent le nom d’hypothèse', les relations à déduire des précédentes portent celui de cotsclusion.

4. Exxmple : S« A nombres sont en proportion , le produit des extrêmes est égal au produit des moyens. L’hypothèse est l’égalité des deux rapports; lu conclusion est l’égalité entre le produit des extrêmes et celui des moyens.

Démontrer ce théorème, c’est faire voir que la deuxième égalité est la conséquence nécessaire de la première. Happelons ici la démonstration de ce théorème fondamentid des propm'-

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lions , telle que nous l’avons donnée en arUbmétique , ou n* 211.

Soit la proportion ,

le produit des extrêmes 12 X 2 est égal au produit des moyens 3X8.

DËMONSTBiTioN. En effet, le premier antécédent 12 est égal à son conséquent 3 multiplié par le premier rapport ; donc le produit des extrêmes est le produit de trois facteurs : les 'deux conséquents et le premier rapport.

Le second antécédent 8 est égal à son conséquent 2 multiplié par le second rapport ; donc, le produit des moyens est le ' produit de trois facteurs : les deux conséquents et le second rapport.

Or, par supposition, les deux rapports sont égaux; donc il en est de même des deux produits qui sont composés des mêmes facteurs.

Autrement. 4 étant le rapport de 12 à 3, on a 12=3X4; donc 12x2 = 3x4x2. Puisqu’il y a proportion, 4 est aussi le rapport de 8 à 2 ; donc 8 = 2X4; par conséquent 8X3=2x4X3; mais 3x4x2 = 2x4x3, donc 12X2=8X3.

Remarqcbs. I. La comparaison de ces deux manières de présenter le raisonnement, fait déjà voir que l'emploi des signes d’opération ( =, x J abrège l’écriture , et par suite permet à l’esprit de saisir plus rapidement l’enchaînement des idées.

II. Les nombres ont une valeur unique et déterminée; par conséquent , pour se convaincre de la généralité de la démonstration précédente , il faut : 1" s’assurer que ce qui a été fait sur des nombres peut être refait sur d’autres ; 2° concevoir que l’identité dans la forme des raisonnements permet de les répéter sur tous les exemples du même genre; mais, si l’on employait des caractères d’une nature telle que les nombres fussent > indistinctement représentés, les conséquences auxquelles on , arriverait, convenant à tous les nombres auraient tout le degré de généralité désirable; or, c’est à quoi l’on parvient en repré*

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scntani les nombres par les lettres de l'alphabet , qui n'ont aucune relation avec la grandeur de ces nombres.

K. Cela posé , soit la proportion

Prouvons que aXd = b'X.c.

En clTct, g désignant le rapport de a à 6, on a : a = 6 X9 ; donc, le produit des extrêmes axd devient bxgXd.

Puisqu’il y a proportion , g est aussi le rapport de c à d; donc c = dxg; par conséquent, le produit des moyens bxe devient bxdxg.

Mais bXgXd=bX d Xg, donc aXd = bXc.

6. On pourrait obtenir la même généralité en employant les dénominationsprcBuer an<ccéden/,prmier conséguent, deuxième antécédent, deuxième conséguent, rapport, au lieu de a, h, e.d.g; mais outre que l'on perdrait la concision , il y aurait encore la difficullé de trouver dans le langage ordinaire des dénominations générigues pour désigner les düTérents nombres connus ou inconnus d'une question.

Traitons un second exemple qui présente une circonstance remarguable.

7. Une fraction augmente ou diminue de valeur lorsqu’on augmente ses deux termes d'un même nombre, selon gue la fraction est plus grande ou plus petite gue l'unité.

1" Cas. Soit la fraction 5.

Ajoutons 3 à ses deux termes , et prouvons que ^ est plus grand que f. .

Ces deux fractions réduites au même dénominateur ont pour valeurs respectives yS , 55 ; or, la seconde est plus grande que la première; donc....

2' Cas. Soit la fraction

On reconnaîtrait d’une manière analoguê que est plus petit que

8. Notre raisonnement s'applique spécialement à la (t'acHion 5 ; donc il ne démontre pas le principe énoncé, parce qu'on ne voit pas la dépendance de l’ordre de grandeur des numérateurs

limiODUCTlON.

50 et 56 avec les deux tonnes de la fraction soit avant, soit après leur accroissement simultané. Pour écarler cctle difficulté, on suit en arithmétique une marche détournée que voici :

Des deux fractions ^ et la plus jn^nde est celle qui diffère le moins de l’unité; or, la première diffère de l'unilé de c’està-dire d’une fraction ayant même dénominateur que la proposée, et dont te numérateur est la différence des deux termes de cette fraction. La seconde diffère de l’unité de -j^, c’est-à-dire d'une fraction d’un dénominateur plus grand, et dont le numérateur est le même que précédemment, parce que la différence de deux nombres ne change pas quand on les augmente d’une même quantité ; donc diffère moins de l’unité que donc elle est plus grande. ’

Le second cas de la question se traiterait d’une manière analogue.

Passons maintenant à l'emploi des lettres.