Soit I la fraction proposée, et m la quantité que l'on
ajoute à ses deux termes.
Les fractions à comparer sont :
2 Pt
b b + tn
Après la réduction au même dénominateur,
a.b-\- a.m a,b-\-m.b lê-\-b.m * è’-j-in.ô ’
le numérateur de la première sera le produit de a par è-f-m, ou a. fr -|- a .m , parce que multiplier un nombre par une somme, revient ale multiplier successivement par chacune des parties de la somme, et à ajouter les deux produits partiels.
Le numérateur de la seconde sera le produit de o -f- in par b, ou 0 . 6 -j- »» . è ; car, multiplier une somme par un nombre, revient 4 multiplier chaque partie de la somme par ce nombre.
Cela posé, la question est ramenée à comparer
a.ê-f-a.m avec o.6-|-m.6.
6 WTRODCCnO».
Or, il y a une partie commune a . b, donc il suffit de comparer les parties non communes
a.m et m.b
Mais , dans ces deux produits , le facteur m est le même pw supposition , donc jl suffit de comparer les deux autres facteinrs,
a et b.
En conséquence, la nouvelle fraction
sera plus grande
ou plus petite que la première ^ selon que b sera plus grand
ou plus petit que a, c’est-à-dire selon que la fraction proposée sera plus petite ou plus grande que l'unité.
Ainsi, la réduction des ' fractions au môme dénominateur à laquelle il a fallu renoncer dans le raisonnement purement arithmétique, malgré qu’elle se présentât d’clle-môme, a, au contraire , fourni une démonstration directe et générale à la faveur de l’emploi des lettres ; c’est là, en effet, une circonstance remarquable dans la question proposée.
Résolution de quelques probtinKs.
10. Dans tout problème, deux choses principales sont à distinguer ; les données et les inconnues. ^Découvrir la liaison mutuelle qui exi^e entre ces quantités , de manière à déduire les secondes des premières ; c’est ce que l’on appelle résoudre un problème.
1 1 . Exemple. La somme de deux nombres est Si; leur différence est 7 ; qttels sont ces nombres ?
Puisque la différence des deux nombres cherchés est 7 , le plus grand vaut le plus petit plus 7; or, la somme des deux nombres est 53, donc, le plus petit nombre, plus le plus petit nombre plus 7, valent 53; ou bien, deux fois le plus petit nombre plus 7 valent 53; par conséquent, deux fois le plus petit nombre valent 53 diminué de 7, ou 46; donc enfin, pour avoir le plus petit nombre on prendra la moitié de 46, ce qui donne 23 ; par suite, le plus grand nombre vaut 23 plus 7, ou 30.
ISTRODCCTION.
1Î8. Reprenons la solution précédente en faisant usage des signes abréviatifs (=, — , :).
Le plus grand nombre = le plus petit nombre + 7 Le plus petit nombre + 7 + le plus petit nombre =53 Deux fois le plus petit nombre 7 = 53 Deux fois le plus petit nombre =53—7=46 Le plus petit nombre = 46 : 2 =23
Le plus grand nombre = 23 + 7 = 30.
15. On obtient une nouvelle abréviation en remplaçant l’expression le plus petit nombre par une seule lettre x; car l’on a successivement :
X le plus petit nombre a: -j- 7 le plus grand nombre a: -1- a: + 7 = 53 2x + 7 = 53
2ar = 53 — 7 = 46 x-f 7 = 23 + 7 = 30.
14. Cette maniéré de traiter la question est plus expéditive que chacune des précédentes, mais elle ne donne pas la solution de tous les problèmes de même espèce. Dans les problèmes qui ne différent de celui-là que par les valeurs de la somme et de la dilTérence des deux nombres cherchés, il faudrait recommencer des raisonnements semblables, et suivre de nouveau la même marche; cela tient à ce que les calculs effectués à mesure qu'ils se présentent , allèrent les nombres donnés : rien ne retrace à la fin de l’opération la dépendance de l'inconnue ovec ces nombres. On pourrait croire que l’on obvierait à cet inconvénient si, au lieu d’effectuer les calculs au fur et à mesure, on sebornaità les indiquer, car alors les nombres donnés parvien-' draient au résultat final sans aucune altération ; mais une difficulté d’un autre genre se présente pour obtenir la valeur de
IMRODCCTION.
l'inronnue on peut avoir à faire sur los lcrmcs qui la renferment certaines opéralions qui amènent des nombres égaux h des nombres parliculiers contenus dans la question proposée ; de là, une ambiguité qui peut induire en erreur.
Traitons un exemple.
Itt. La somme de deux nombres est 53; leur différence est 2; quels sont ces nombres J
On a successivement :
' it 4- a: 4- 2 = 53 ^ 53 — 2.
Or, le nombre 2 qui se trouve dans 2a: provient de ce qu'on a remplacé a: 4- a: par 2a:, et non pas de ce que le nombre 2 se trouve parmi les données de la question, en sorte, que confondant le nombre 2 avec l’une des quantités données, on commettrait une erreur en interprétant ainsi qu’il suit le résultat final :
Connaissant la somme et la différence de deux nombres, on aura le plus petit des deux en retranchant la différence de la somme, et en divisant le résultat par cette différence.
L’inconvénient dont nous venons de parler serait encore plus grand si ta question présentait par elle-même des nombres égaux entre eux. Or, toute difficulté disparaîtra si l’on représente les quantités données par des lettres; car, !• elles parviendront dans le résultat final sans aucune iUtération, puisque les calculs auxquels les lettres sont soumises ne sont que des indications d’opérations arithmétiques; 2* elles ne pourront pas se confondre avec les nombres amenés par des réductions;
INTRODUCTION
3° le résultat final sera général , puisque les lettres sont indépendantes de toute valeur particulière.
Celte modification appliquée à ta question actuelle donne lieu au problème suivant :
16. La somme de deux nombres est a, leur différence est b; quels sont ces nombres^
Soit toujours x le plus petit de ces nombres x-\-b sera le plus grand d’où x-\-x-\-b=^a
Quant au plus grand des deux nombres, il suffit, pour l'obtenir, d’ajouter è à ? ; r^^uisant l'entier en fraction d'a-
près la règle ordinaire, il vient — ; or, augmenter la
différence a — b de deux fois b revient à l'augmenter d'une fois 6, puis le résultat obtenu de encore une fuis b ; on aura
ainsi ° è + è + è . diminuer a de ô, et augmenter le
reste de b, sont deux opérations qui se détruisent ; donc enfin
- est le plus grand des deux nombres cherebés.
Les expressions générales telles que
