Pour éliminera; dans les deux équations

Résolvons séparément les équations [1] et [2] par rapport à x, comme si y était connu, il viendra

112 RÊSULUTION DÛS KULaTIUNS üO PREMIER DKllRÉ

inaûi il faut exprimer que x a ia même valeur dans les deux équations', or, cette condition se trouvera remplie si nous égalons entre elles les deux valeurs de cette incoiuiue ; nous aurons ainsi ..

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d’où y = 8 ,

et par suite a: = 6.

Gette méthode porte le nom de méthode par comparaison. En conséquence ,

156. Pour éliminer une inconnue, y ^r exemple, entre deux équations du premier degré à deux inconnues, on peut comparer entre elles les deux valeurs que l'on obtient de cette inconnue en résolvant les équations proposées, comme si l’autre inconnue x était connue, Cette comparaison donne lieu à une équation du premier degré à une seule inconnue i -,

Méthode par substilulion.

157. Au lieu de résoudre séparément les deux équations proposées par rapport à l’inconnue que l’on veut éliminer, on peut n’en résoudre qu’une, la première, par exensqile ; cette valeur une fois obtenue, on exprime qu elle est la même dans les deux équations en la substituant dans la seconde des équations proposées , ce qui donne encore lieu à une équation du premier degré à une inconnue. 4

Appliquons cette méthode dite de substitution aux équations

[1] 4x+3y = iS,

La première, résolue par rap|>orl à x donne,

A PLUSIEURS INCONNUES

substituant celle valeur dans l'équation [2] il vient :

d’où, y==8;

par suite, a; = 6.

En conséquence,

158. Pour éliminer une inconnue entre deux équations du premier degré à deux inconnues, il suffit de prendre dans l'une des équations la valeur de cette inconnue et de la substituer dans l'autre équation dont on ne s’est pas encore servi.

150. Remarques. I. Chacune des méthodes d’élimination repose sur la nécessité d’exprimer que les inconnues ont cliacune la même valeur dans les deux équations.

II. Nous avons vu au n° (ISl) que la résolution d’une équation du premier degré h une inconnue conduit parfois aux consé- . quences suivantes :

0=un nombre (3 par exemple),

Dans le premier cas, l’équation est impossible, dans le second, elle est indéterminée.

Des circonstances semblables peuvent se présenter dans lu résolution de deux équations du premier degré à deux inconnues.

Soit l’équation

doublons le premier membre sans doubler le second ; écrivons, par exemple ,

puis, accouplons les équations [1] et [2] ; il est alors évident que les inconnues x et y ne sauraient avoir la même valeur dans les

(leux équations. Si, au contraire, nous doublons les deuxmem- . bres de l’équation [1], ce qui donnera

[3] 2x-\-Atjz=\A,

le système des équations [1] et [3] sera illusoire, en ce sens qu’au lieu d’avoir deux équations, on n’en aura en réalité qu'une seule, ce qui laissera l’une des inconnues complètement arbitraire (128).

Actuellement, résolvons mécaniquement chacun des deux systèmes d’équations que nous venons de former :

La méthode par comparaison domie 7— 2y = 4 — 2y,

ou 0 = 3,

ce qui est absurde.

[2] 2ar-f4y=l4.

La méthode par substitution donne . ,

Ainsi, dans le cas où le système d’éqnations est impossible, on trouve 0= un nombre, tandis que dans le cas où il est indéterminé, on trouve 0=0, comme dans les équations du premier degré à une seule inconnue.

Nous reviendrons plus tard sur ces cas particuliers-

A PLUSIKltRS 1^C0JINI ES

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