Résoudre les équations
[t] bx-\-Az—%y=\b,
Si nous pouvions tirer de ces équations deux équations à deux inconnues; de celles-ci nous déduirions une équation à une inconnue qui étant résolue donnerait la valeur de cette inconnue ; substituant cette valeur dans l’une des équations à deux inconnues, ce qui fournirait une équation à une inconnue, nous résoudrions cette équation ; enfin , substituant les deux valeurs déjà connues dans l’une des équations proposées , nous n’aurions plus qu’une troisième équation du premier degréàune inconnue à résoudre. Cela posé, appliquons successivement à l’exemple ci-dessus les méthodes d’élimination exposées a«x n« 150, 15» et 157.
116 HüSOLUtiUN DES ÉUL'ATIONS DU PHEMIER DEOitE
Méthode par réduction.
L’inconnue y ayant pour coefGcient l’unité dans la troisième équation, nous l’climinerons de préférence aux deux autres entre les équations [1], [2], [3].
[1] et [3] donnent
5* + is— 6y=15.
ajoutant, il vient
[fl 17x4- 40a = 291. •
[2] et [3] donnent , ' . .
Retranchant , il vient
’ La question se trouve ainsi simplifiée puisqu’elle est ramenée à résoudre les équations
c’est-à-dire que l’on a une équation et une inconnue de moins. Éliminons x entre ces deux équations
d’où [6] , 4193 = 2514;
par suite s = 6.
L’une des équations [4j et [5], la (Icriiière, iKir exemple, donne, par la substitution de a, x = 3.
A PUSIKfRS INCONNI'BS.
L'une des équations [I], [2J, [3], la première, par exemple, donne, par la substitution de x et de z, y =4. Ainsi,
Rbmarqub. Les équations [1], [2], [3] ont été remplacées par les équations
tn
ar -1-275 = 165,
La dernière ne renferme qu’une inconnue , l’avant-dernière n’en renferme que deux , et la première les renferme toutes les trois; mais on voit, d’après ce qui précède, que ces équations ne sont pas les seules qui conduiraient aux valeurs des inconnues; on pourrait, par exemple, considérer les suivantes:
7ar-|-4y— 33 = 19,
En outre , comme au lieu d’éliminer x cX y entre les équations [1], [2], [3], ce qui a fourni une équation finale en z [6], on pourrait éliminer x et z, ou bien y et s, auxquels cas l’équation finale serait en y ou en a;, on peut conclure qu’il y a plusieurs systèmes d’équatbns capables de fournir les valeurs des inconnues.
Bornons-nous, pour l’instant, à constater ce fait de la résolution des équations ; tontes les discussions relatives à ce sujet seront plus tard approfondies.
118 RÉSOLlTrON PES ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ
Méthode par comparaiion.
Éliminons x entre les trois équations proposées [1] [2] [3); à cet effet , nous aurons
3J rj f
Égalant ces valeurs 2 à 2, on a une équation et une inconnue de moins ; on obtient ainsi
• ' is + 6y — 4a 46 — y— 6a
On éliminera y ou a entre ces deux équations, selon qu’on voudra que l'équation finale soit en a ou en y, et 1 on aura une équation et une inconnue de moins; l’élimination sera alors terminée , puisque l’on sera parvenu à une équation du premier degré à une seule inconnue.
Nous laissons aux élèves le soin de terminer ce calcul.
Méthode par «ubsUluUon.
Nous avons tiré la valeur de x de l’équation [1] ; substituons-la dans les équations [2] et [3] , et cette inconnue se trouvera éliminée entre les trois équations ; on obtient ainsi
7(!^±f=éî)+<S.-3= = 10.
j(Ütf^) + ,+».=46
d’où y = 4, a=6, etpar suite ar = 3.
La résolution de quatre équations à quatre inconnues, de cinq
A PLUSIEURS INCONNUES
équations à cinq inconnues s’exécuterait par les mêmes
procédés, et un système de quatre équations à quatre inconnues, par exemple , se trouverait de fait remplacé par quatre autres équations :
La première renfermerait les quatre inconnues;
La deuxième en renfermerait trois ;
La troisième en renfermerait deux ;
Enfin , la quatrième en renfermerait une.
En conséquence ,
141, Pour résoudre n équations du premier degré entre n inconnues,
1° On chasse les dénominateurs ;
2° On transpose dans un membre les termes qui renferment Vinconnue, dans Vautre les termes t<mt connus, et Von fait les réductions ;
3° On élimine Vune des inconnues entre l’une des équations proposées et toutes les autres, ce qui donne une équation et une inconnue de moins ; le système est alors réduit é n — 1 équations entre n — 1 inconnues;
4" On élimine de même une des n — 1 inconnues entre Vune de ces équations et toutes les autres, ce qui donne encore une équation et une inconnue de moins, et par suite un système de n — 2 équations entre n — 2 inconnues ;
5“ On opère de même à Végard de ce nouveau système, et ainsi de suite.
On parvient à deux équations entre deux inconnues, et par suite ' à une équation finale du premier degré à une seule inconnue.
La résolution de cette équation donne la valeur d'une inconnue ; puis par des résolutions successives d" équations du premier degré, chacune à une inconnue, on détermine séparément la valeur de toutes les autres inconnues.
Remarque. Le système des n équations proposées se trouve de fait remplacé par un système de n autres équations du premier degré :
La première renferme les n inconnues ;
La deuxième en renferme » — 1 ;
La troisième en renferme n— 2j
130 HKâOLL'TION DE:; EOCaTIOMS DI PREUIBH nSCiRt
[.a quatrième en renferme » — 3 ;
L’avant-dcrnière en renferme deux;
Enfin , la dernière n’en renferme qu'une.
Celte dernière équation donne la valeur de l'une des inconnues; la substitution de celte valeur dans l'avant-dernière équation donne lieu h une deuxième équation à une inconnue.
La substitution des deux inconnues déjà trouvées dans la troisième avant-dernière équation, conduit à une troisième équation à une inconnue.
On continue ainsi à substituer toutes les inconnues déjà cîdculées, en ayant soin de résoudre au fur et à mesure l'équation du premier degré à une inconnue proienant de ces substitutions.
Ia’s n — 1 inconnues une fois trouvées, on les substitue dans la première des équations du nouveau système; la résolution de cette éijualion donne la valeur de la dernière inconnue, et l’opération est terminée.
Pour vérifier a posteriori les valeurs trouvées , on les substitue chacune dans les équations proposées , et ces équatimis doivent être satisfaites simultanément.
142. Remarques I. L’emploi d’une méthode d’élimination de préférence à toute autre ne saurait être prescrit d’une manière absolue ; tout déjiend des coefficients des inconnues et de la forme des é(|ualioiis; dans tel cas, il faudra employer la mélliode par substitution, et dans tel autre, il faudra recourir à l’une des autres méthodes que nous avons enseignées.
II. Üans certains cas , laissant de côté la métltode générale, on retranchera la somme de plusieurs des équations proposées, de la somme de plusieurs autres; dans d’autres, on fera la souiine de toutes les équations, soit dans leur état primitif, soit après les avoir respectivement multipliées par des nombres convenables; quelquefois encore, on aura recours à un artifice qui consiste à introduire ce que l’on apjiclle une inconnue auxiliaire. Plus tard , on trouvera l’occasion de faire ce que nous venons d’indiquer; Ijornons-noiis , pour l’instant, aux deux exemples suivants :
A PHISIBI'BS INCONitUBS. J21
Exempli I. Éliminer y et 5 entre les équations :
tO a-=cy-{-b3 ,
b = ex-\-az, c=bx-\-ay.
Multiplions les équations [1] [2] [3] par les quantités respectives a, b, c et retranchons de la premjère la somme des deux autres, il viendra :
W — é* — c^ — acy — 2bcx — aoy,
ou 2bcx = c' — a* ;
d’où
Exemple If. Résoudre les équations
y-|- 2 = 14, ,^+ar-f y + 3a = 24, ' / + «+2y-t-33 = 28, ^t+x+ y+ * = 16.
dront
Remplaçant S par sa valeur dans l'équation [2] on a *=5; remplaçant S et 3 par leurs valeurs dams l'équation [3] on trouvey=4; enfin, l’équation [4] donne < = 2, par suite a: =3. .4insi,x = 3, y = 4, 3 = 6, < = 2.
HâSOLUTION DBS PROBLfiMKS DU PRBMIBB DBCRÉ
Rétolutlon de quelques problèmes du premier degré è plusieurs Inconnues.
i45. Problème I. Trouver deux nombres dont la somme soit 10. Soient a; et y leg deux nombres cherchés , nous aurons une seule équation à deux inconnues
d’où ‘ a:=10 — y.
Attribuant à y toutes les valeurs entières ou fractionnaires qu’on voudra, mais qui ne surpassent pas 10, on calculera les valeurs correspondantes pour x,"en sorte que le problème admet une infinité de solutions.
Problème II. Trouver deux nombres dont la différence soit 3.
d’où ar = 34-y-
Le problème est encore indéterminé ; toutefois, y peut recevoir ici telle valeur qu’on voudra lui assigner.
Problème 111. Rembourser 26 fr. avec des pièces de 1 fr. et de 5 fr.
Soient x et y les nombres de pièces demandés, nous aurons 2x-|-5y = 26,
d’où
Dans le cas actuel, on ne peut pas attribuer à y telle valeur entière que l’on voudra; généralement , la valeur correspondante de X sera fractionnaire , et la question proposée exige qu’elle soit entière ( nous renverrons à des compléments d'algèbre la résolution, en nombres entiers, d’une équation du premier degré à deux inconnues ).
Rbmarql'bs. 1. Le problème relatifà la longueur du mètre (chapitre l) serait dans le même cas que le précédent, si l’on ne
A PLUilBURS ]NCON!fUBS.
donnait pas lo nombre total des pièces qui doivent être juxtaposées.
II. Le problème III dépendrait de deux équations du premier degré , si l'on donnait en outre le nombre des pièces que l’on doit employer. Soit 10 ce nombre, on trouverait alors
PaOBLÈMB IV. Qtielle est la fraction qui donne ^ quand on qjoute une unité au numérateur, et | quand on ajoute cette unité au dénominateur ?
Soit - cette fraction , on aura :
Chassant les dénominateurs et réduisant, il vient successivement :
d’où x = 4; par suite, y = 15; la fraction demandée est donc .ainsi qu’on peut le vérifier.
Problème V. Deux capitaux sont doubles l'un de Vautre, et leurs intérêts, d b pour 100, diffèrent de 13/r. ; quels sont ces capitaux ?
Nous avons vu, en arithmétique, que l’intérêt <l’une somme à 5 pour 100 est le vingtième de celte somme ; en conséquence, x désignant le plus grand capital et y le plus petit, on aura
[1] x-^iy
d’oùl’ontirey=260, « = 520.
124 RÉSOI.UTION DES PROBLEMES DC PREMIER DEr.RÉ
Problème VI. f/n nombre ext composé de deux chiffres ; quand on /tti ajoute 36 on obtient ce nombre renversé , et quand on le divise par 6, on obtient le chiffre des unités. Quel est ce nombre
Soit X le ciiifTrc des dizaines, et y celui des unités; représente le nombre; a:+10y désigne ce nombre renversé; on a donc
d’où ar=4, y = 8.
Ainsi , le nombre cherché est 48.
Problème Vil. Une personne possède 100 000 fr. ; elle en place une partie à 5 pour 100 et l'autre à 4 pour 100. L'intérêt total et annuel résultant de ces deux placements est de 4640 fr. Trouver le montant des deux sommes placées.
[2] ^^ + T»Dy = 4640,
d’où a; = 64000, y = 36000.
Problème VIII. Une personne a des jetons dans les deux mains ; si elle en porte 1 de la droite d la gauche, il y en aura un nombre égal dans chacune-, mais si elle en passe 2 de la gauche "dans la droite, celle-ci en contiendra le double de l’autre. Combien la personne avait-elle de jetons dans chaque main Y
X ei y désignant respectivement les noml>rcs de jetons renfermés dans la main gauche et dans la main droite, les équations du problème sont
. ar4-l=y— 1,
y + 2 = 2«— 4, d’où a;=8, y = 10.
Problème IX. Trois personnes se mettent au jeu. A la première partie lapremière et la deuxième gagnent chacune une somme égale à celles qu'elles avaient en eommeneant.
^ K PLUSIEtRS INCÜNNUKà. I2Ô
A la deuxieme partie, la première et la troisième gagnent à ta deuxième autant qu’elles avaient chacune.
Enfin, à la troisième partie, la deuxième et la troisième gagnent à la première autant qu’elles avaient chacune.
Le jeu cesse et chaque personne se retire avec 120 fr. ; combien avaient-elles chacune en se mettant aujeul
Soient x, y, z, ce que la première, la deuxième et la troisième personne avaient chacune au commencement du jeu.
État des joueurs à la fin de la première partie :
État des joueurs à latin de la deuxième partie :
État des joueurs après la dernière partie :
Les équations du problème sont donc :
ou plus simplement , ^
[6] s— X— ys=30,
d’où x=60, y =105, s = 195.
Problème \. On a acheté séparément tes charges de trois voitures.
La première qui contenait 30 mesures de seigle, 20 d’orge et 10 de froment a cmté 230 fr.
La deuxième qui contenait 15 mesures de seigle, 6 d'orge et 12 de froment a coûté 138 fr.
126 RESOLUTION DES PROBLEMES DU PKElilBR DEGRÉ
La troisième qui contenait 10 mesures de seigle, 5 d’orge et A de froment a coûté 76 fr.
On demande à combien revient la mesure de seigle, celle d’orge et celle de froment.
Désignons respecüvemenl para;, y, s, les prix des mesures de seigle, d’orge et de froment.
Les équations du problème sont :
[*] 3ar-i-20y+10a = 230,
[3] lOx-f 5y+ 43 = 75; ou plus simplement ,
3x + 2y4- 3 = 23, bx-\-iy -|-43 = 46,
Kte4-5y + 4« = 75,
d où x = 4, y = 3, 3 = 5.
Problème XL Trois frères ont aehetéun bien pour 50000 fr. ; il manque au premier pour payer à lui seul cette acquisition la moitié de l’argent du second-, celui-ci payerait à lui tout seul si on cloutait à ce qu'il possède le tiers de ce qu'a le premier ; enfin le troisième aurait besoin , pour faire le même achat, de joindre à ce qu’il a ce que possède le premier. Combien chacun a-t-il d’argent ?
Les équations du problème sont
a:+iy = 50000, y4-^x=50000,
tl'où x = 30000, y = 40000, 3 = 42500.
Problème XII. On a trois bijoux A, B, G. Le prix de A plus la moitié du prix des deux autres égale 25 louis. Le prix de B plus le tiers du prix des deux autres égale 26 louis. Enfin le prix de G
A PLUSISUB9 INOONNUBS. 127
plus la moitié du prix des deux autres égale 29. Trouver le prix de chaque bijou .
Les équutions du problème sont
x+^y+^s=2à, y + è^ + ès = 26, .
« + i^ + îy=29.
Problème XIII. La somtne de deux quantités est a; leur différence est b; quelles sont ces quantités f Soient x la plus grande et y la plus petite.
ajoutant
d’où
Retranchant [2] de [t] ou a d’où
x-\-y = a, x—y=b; 2x=a-\-b, x=iia+b),
Remabqub. Ce problème, qui joue un rôle important dans la résolution des équations, a déjà été traité au n° 10, mais à l’aide d’une seule équation.
Problème XIV. La somme de deux quantités est a, leur rapport est b ; quelles sont ces quantités ?
[2] donne
xs=by
