BASS LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS

couple (le valeurs; qui , mises respectivement pour x et pour y, vérifient simultanément les deux équations.

Recherche du caractère d'uoe bonne valeur. .

Soient les éipiations générales

[1] ax-\-byz=c,

[2] o'ar-f &'y=c',

et soient x= a, y = p une solution de ces équations.

La substitution des valeurs des inconnues donne les deux identités

[3] aa 4~ ^

mais , on peut faire la substitution en deux fois : remplaçant d’abord x par a , il vient :

[5] aa-l-6y=c,

Les équations [5] cl [6] à une seule inconnue y admettent la solution commune y= p , puisque par cette substitution on retombe sur les identités [3] et [4]; donc une valeur de x, supposée faire partie d'une solution des équations proposées , jouit de cette propriété que :

Substituée dans ces équations, elle les transforme en deux équations à une inconnue y qui admettent une même valeur pour cette inconnue.

Réciproquement, toute valeur de x = a' qui transforme les équations [1] et [2] en deux équations en y

[7] ai' -\-by = c

qui admettent une même valeur p' pour y, fournit avec cette valeur P' une solution des deux équations proposées [1] et [2].

En effet , si on remplace y par p' dans les équations [7] et [8],

198 DD CABACTÈRE DES BOXEES VALEURS

elles seront saüsfailcs. Mais, les deux équations [7] et [8] ne sont autre chose que les équations proposées [1] et [2] dans lesquelles on a remplacé d’abord x par a' ; donc , c’est comme si l’on avait mis en une seule fois a' pour x, et p' pour y dans les équations proposées ; ainsi , o' forme bien avec la valeur p' une solution des équations proposées [1] et [2].

En résumé , pour qu’une valeur de l’une des deux inconnues, de X, par exemple, soit une bonne valeur, il faut et il suffit qu’elle soit déterminée par la condition que y ail la môme valeur dans les deux équations proposées.

Toute méthode qui exprimera celte condition , conduira à une bonne valeur de ar qui, prise avec la valeiu" tirée de l’une des équations quand on y aura substitué la valeur de x, fournira une solution des équations proposées. Tel est donc le caractère des bonnes solutions dans la résolution des équations du premier degré à deux inconnues.

Cela posé , on peut exprimer que y a la môme valeur dans les équations.

1“ En ajoutant ces deux équations membre à membre après les avoir multipliées chacune de manière que les coefficients de y soient égaux et de signes contraires , ce qui n’est autre que la méthode d’élimination par réduetion , métliodc dans laquelle les termes en y ne disparaissent que si y est supposé avoir la môme valeur dans les deux équations.

2' En égalant les deux valeurs de y tu ées de l’une et l’autre équation comme si x était connu , ce qui donne lieu à la méthode par comparaison.

3° En tirant la valeur de y de l’une des équations pour la substituer dans l’autre , ce qui donne lieu à la méthode par sul)stilution.

Telle est la justification des méthodes d’élimination qui ont été exposées dans la résolution des équations.

Remaboüe. L’emploi de chacune des méthodes d’éhmination a conduit à une équation finale du premier degré à une inconnue (ar, par exemple) d’où l’on a tiré la valeur do celle inconnue pour la substituer dans l’une des équations proposées qui alors a pu donner la valeur correspondante pour y. De là les conséquences suivantes :

SiKS LA BÉSOLCTIOM DES ÉQUATIONS. 199

1* Le système des équations proposées peut être remplacé par l’une de ces équations et par l’équation finale.

2° Les deux équations proposées n’admettent en général qu’une solution, puisque l’équation finale en x, qui est du premier degré n’admet en général qu’une valeur pour x, et que cette valeur unique et déterminée, transportée dans l’une des équations données , la transforme en une équation du premier degré à une seule inconnue y qui , elle aussi , n’adinct en général qu’une valeur pour y.

3° Puisqu’on général , il n’y a qu’une solution , on peut chercher séparément la valeur de chaque inconnue par telle méthode que l’on voudra.

De l’équivalence des systèmes d’équations.

101. Définition. Un système d’équations est dit équivalent à un autre système d’équations, lorsque toute solution du premier satisfait au second,' et vice versa.

192. Théorème. Le système k=0, B=0 de deux équations du premier degré à deux inconnues, est en général équivalent au système de deux autres équations obtenues successivement par l’addition des deux proposées multipliées préalablement par des nombres quelconques positifs ou négatifs.

Soient les équations

dans lesquelles tout a été passé dans les premiers membres. Multiplions l’équation [1] par m , et l’équation [2] par n; m et n étant des nombres quelconques, positifs ou négatifs; puis, ajoutons membre & membre les deux nouvelles équations, il viendra

[3] Afft-|-Bn = 0;

Multiplions ensuite par d’autres nombres quelconques m' et n', et ajoutons, nous aurons

[4] Am'-j-Bn'=0.

DU CARACrtRB DES BONNES VALEURS

Cela posé, tout couple de valeurs qui vérifiera [1] et [2] en rendant nuis A et B, rendra nul évidemment le premier membre de l’équation [3] et aussi le premier membre de l’équation [4].

Réciproquement , tout couple de valeurs qui satisfera aux équations [3] et [4] annulera aussi , en générai, les polynômes A et B. En effet, multiplions [3] par n', [4] par — n, nous aurons

Amn'-f-Bnn'=0

— Anm' — B/m' =0;

ajoutant , il vient A{mn' — nm') — 0

ce qm exige que l’on ait A =0, à moins que les nombres choisis ne remplissent la condition particulière mn' — nin'=0, ce qui n’aura pas lieu en général.

On démontrerait de même que B=0; donc le système