Soient les équations générales

aa:-\-bij = c.

d’où

cb'—bc'

^ ab' — ba"

ac' — ca'

ab' — ba'

1. Si les numérateurs tic ces fractions sont chacun de même signe que le dénominateur commun, les inconnues sont toutes

A PLCSIECRS INCONNUES. 205

deux positives et ne présentent par conséquent aucun embarras.

II. Si l'un des numérateurs est de même signe que le dénominateur commun, tandis que l’autre numérateur est de signe contraire , l’une des inconnues est positive , et l'autre est négative.

III. Enfin, si Icsdeux numérateurs ont chacun un signe difTérent de celui du dénominateur, les inconnues sont toutes deux négatives.

L’interprétation des valeurs négatives peut se faire comme dans les équations du premier degré à une seule inconnue.

En effet, soit x = a,

la solution des équations [1] et [2] ; on est assuré, soit par la méthode de résolution , soit par la substitution des valeurs [3] et [4] que ces valeurs satisfont aux équations [1] et [2]; on a donc identiquement

[5] aoL — h^ = c ,

[6] a' a — ii'p = c';

mais si, avant de faire la substitution, on change le signe de ÿ dans les équations proposées, ces équations deviennent

[7] ax — by=c,

et admettent , en vertu des identités [5] et [6] , la solution

Ainsi, lorsque dans les équations proposées , on change le signe de l’inconnue pour laquelle on a trouvé une valeur négative, on obtient un nouveau système d’équations qui donne des valeurs positives pour les inconnues de la question. Le changement du signe de y entraine le changement du signe des termes by, b' y, or, ces fermes proviennent de la réduction

d'autres termes en y qui se sont présentés directement dans la mise du problème en équation , et qui changent tous de signe avec y en même temps que by ; en conséquence , si l'on prend addilivement ou soustracüvcment certaines quantités qui, dans l’énoncé de la question, étaient prises soustractivement ou additivement, on fera, en général, changer l’acception de certaines quantités , et l’on pourra , dans la plupart des cas , former un énoncé dont la traduction algébrique donnera les nouvelles équations, de telle sorte que le problème corrélatif du problème proposé sera susceptible d’une solution directe préalablement connue.

On raisonnerait de môme à l'égard d'une solution telle que x = — <t, y = -p.

IV. Si l'un des numérateurs des fractions [3] et [4] s’annule , ou bien si ces numérateurs s’annullent à la fois sans que le dénominateur commun s’évanouisse, l’une des inconnues ou toutes les deux deviennent nulles , cc qui , en général , ne présente aucun embarras.

Mais, comme nous l’avons déjà observé au n° 108, le cas où Je dénominateur commun devient égal à zéro mérite une attention toute particulière.

Tel est principalement l’objet de la discussion suiAnnle ;

Forme inllDie. — Forme indéterminée.

ÎMK). V. Cas général. Aucune des quantités o, b , a', b' n’est supposée nulle.

1° Si le dénominateur commun est nul sans qu’aucun numérateur le soit , on a

le

oc'— co'^0.

cà' — àc'^0.

À PLGStXDRS IKCONNDSS.

Dans ce cas les valeurs des inconnues

cb' — bc'

ad — ca'

prennent chacune, comme on le voit, la forme — ; donc clics sont impossibles.

Pour introduire dans le problème la condition [5] résolvons cette équation de condition par rapport à b', et il viendra

substituant cette valeur dans l’equabon (éx + hfy = c\ on a o'x + ^y|=c',

chassant le dénominateur, et mettant a' eu facteur commun, on obtient

[8] a’{flx-\-by)=acf\

mais en multipliant par o' les deux membres de l’équation ax-\-by = c, on trouve

[9] a'{flX-\-by)=oa'\

cela posé, l’égalité des premiers membres des équations [8] et [9] exige l’égalité des seconds membres; on devrait donc avoir ae' = ca' ou oc' — ca' = O, ce qui est contraire à la condition [6].

En conséquence, les équations [8] et [9] ne peuvent pas subsister simultanément ; en d’autres termes, ces équations sont incompatibles, et la même chose s’appbque aux équations proposées d’où on les a tirées.

2® Si la condition ac' — ca' = O est remplie , auquel cas les hypothèses sont

[5] ab'—ba’ = 0,

[10] ad — co' = 0.

208 Discussion DBS ÉQUATIONS DU P8BMIBR DBCRÉ

Les équations [8] et [9], et par suite les équations proposées [1] et [2] ne font plus qu’une seule et même équation. Dans ce cas les valeurs de x et de y sont indéterminées, en ce sens qu’en attribuant à l’une une valeur arbitraire, on en déduit une valeur correspondante pour l’autre , à l’aide de l’une des équations proposées. Nous disons, de plus, que la valeur de x se présente comme celle de y sous la forme indéterminée

En effet, la relation [5] donne

Substituant cette valeur de a! dans l’équation de condition [10], on a

a{bcf — c6') = 0.

Or, par supposition , a n’est pas nul ; donc , bc' — cb' = 0\

et, par suite, x prend la forme indéterminée

En résumé , lorsque ( dans le cas général ) le dénominateur s’évanouit, les inconnues se présentent toutes deux, ou sous la forme infinie, ou sous la forme indéterminée.

Dans le premier cas , les équations du problème sont incompatibles; dans le deuxième, elles rentrent l'une dans l’autre, et il y a une véritable indétermination pour les valeurs des inconnues.

201. VI. Cas PARTICULIERS. 1» La démonstration précédente subsiste encore avec scs conclusions tant que a et ô ne sont pas nuis, quand bien mêmeriin des coefficients a', V ou tous deux seraient nuis, parce que l’équation de condition [5] ne cesse pas de pouvoir être résolue par rapport à b', et aussi pai- rapport à a'.

n en serait de même si aucune des quantités a’ et b’ n’élait nulle, quelles que fussent d’ailleurs les valeurs de a et de b, c’est-à-dire, en d’autres termes, tant que l’une des équations proposées renferme à la fois les deux inconnues.

A PLUSIEURS INCONNUES

II faut donc examiner les cas où chacune des équations proposées ne renferme qu’une seule inconnue.

2* Si c’est la même inconme qui manque, y, par exemple, on a

ce qui entraîne les conditions [5] ab' — ba' = 0,

[11] cb’ — bc'=zO;

dans cc cas les équations [1] et [2] se réduisent à

[12] ax =c,

et les valeurs des inconnues deviennent x = ^, y = —7**^'.

Si l’on résout les équations [12] et [13], on trouve x = -, c' . .

x = -,,ce qui exige qu’on ait - = -. ou ac' — ca' = 0. a ^ a a

Si cette condition n’est pas remplie , la valeur de y se présente sous la forme de l’infini , et en même temps les équations

sont incompatibles , quoique la valeur de x soit de la forme

Si, au contraire, la condition ac' — ca' = 0 est remplie, la Ce*

valeur de x = - = ^ est déterminée, quoiqu’elle se soit d’abord

présentée sous la forme quant à la valeur de y qui ne se présente plus sous la forme infinie , mais bien sous la forme indéterminée, elle est en réalité indéterminée, puisqu’elle n’entre dans aucune des équations [12] et [13], qui, par conséquent, admettent une infinité de solutions.

3“ Si ce n’est pas la môme inconnue qui manque dans les deux équations, cl que l’on ait, par exemple ,

SIO

les équations proposées se réduisent à

ttx = e, b'y = e>\

et les valeurs générales deviennent

^-ab'*

ac'

Pour que ces valeurs prcscnlent quelque chose de parlicuüer, il faut , par exemple, que l’on ait ab' —Q, ce qui exige que 1 on ail au moins a = 0 ou 6' = 0; mais alors les deux inconnues manquent en même temps dans une môme équation. Examinons ^ donc ce cas.

4° Soient, par exemple, les hypothèses b =0, o' = 0, fc' = 0.

Les proposées se réduisent à

[14] ax = c,

0 tuf ,

et les valeurs générales prennent la forme x — y q. L’équation [14] donne a: = ^, mais l’équation [15] est impossible tant que c' n’est pas nul, et alors les équations [14] et [15] sont incompatibles.

Si c' = 0, auquel cas 6=0,

A PLüSIBDBS UiCOXNüKS.

les équations [14] et [15] deviennent

ax — c,

a; = ^ est une quantité déterminée , quoique la valeur de x se

fût présentée d’abord sous la forma Ce symbole tient ici à la présence d’un facteur commun. En effet, dans le troisième cas on a trouvé x — or , on passe du troisième cas au quatrième en ajoutant l’hypothèse 5'=0; c’est donc ce facteur qui, en s’évanouissant, donne à a: la forme ^;sion l’avait supprimé d’abord , on aurait trouvé » = ^ comme par l’équation ax=c.

5° Si, toutes choses subsistant conune dans le quatrième cas, le numérateur aef de y devient nul par révanouissement de a, ce qui donne à la fois

les proposées deviennent

et bien que l’on ail a; = 5, y = 5, les équations [16] et [17] sont impossibles , à moins toutefois que l’on ait

les hypothèses seraient alors

et dans ce cas les valeurs des inconnues seraient évidemment arbitraires louies les deux.

Remarques. I. On voit, par la discussion des équations ax-\- by = c, a'x-\-b‘ij = c', que toutes les fois que la valeur de l'une des inconnues se présente sous la forme de l'infini , il y a impossibilité de satisfaire par des valeurs finies au système des équations proposées , et qu'il y a indétermination quand les

valeurs des inconnues se présentent toutes deux sons la forme 5,

excepté dans le cas où les hypothèses qui amènent cette forme, font évanouir les coefficients des inconnues dans les deux équations, sans faire évanouir à la fois les termes tout connus.

202. II. Dans le cas où les termes tout connus, c, c' s’évanouissent en même temps, les valeurs des inconnues deviennent milles en général ; mais si l’on a en même temps la condition

ab' — ôa' = 0, elles se présentent sous la forme Dans ce cas

il y a indétermination , mais avec celte circonstance remarquable que les valeurs des inconnues consenent entre elles un rapport déterminé.

En effet, les équations [1] et [2] qui se réduisent à ax-{- by = 0,

donnent - = , - = et comme, par hypothèse,

y « y « II-»

-= le rapport - est déterminé.

Digitaed by Googi

A PLUSIEURS INCONNUES. 213

III. Le seul cas dans lequel l’une des inconnues se présentant

sous la forme g, l’autre inconnue se présente sous une autre

forme, correspond à celui où une même inconnue s’évanouit ù la fois dans les deux équations, auquel cas

205. IV. Nous avons dit que les équations proposées étaient impossibles lorsque l’une des inconnues se présentait sous la

forme laquelle correspond à la condition ab' — ba! = 0. Or,

il importe de faire une remarque sur le caractère essentiel d’une solution infinie : le plus léger changement apporté dans la valeur de l’une des quantités a, b, a', b’ suffit pour faire cesser immédiatement l'impossibilité des équations. En effet, le symbole ^

sera remplacé par une fraction de la forme ^ dont la valeur

finie est d’autant plus grande que N diffère moins de 0.

204. V. Il y a également une observation importante à signaler sur la manière de faire entrer une condition représentée par une équation entre certains nombres censés donnés dans la question. A cet effet, on résout l'équation de condition par rapport h l’imc des quanlités qui y entrent, et on substitue la valeur obtenue dans l’équation du problème partout où se trouve cette quantité; on arrive ainsi à un résultat où cette quantité n’cnlre plus, et qui a lieu sans condition entre les quantités qui y restent. C’est ce qu’on a fait dans la méthode du n” (200 l»),

VI. Nous avons trouvé plusieurs fois dans les cas d'impossibililé des équations que l’une des inconnues avait une valeur

déterminée, et que l’autrè prenait la forme ; c’est donc l’infin

qui indique dans ces questions leur véritable caractère; par

conséquent le symbole ^ donne une interprétation plus sûre

que le symbole

DISCCSSIOS DBS ÉQI ATIOSS Dü PBEHIER DEGRÉ

Discufsion des trois équations générales du premier degré à trois inconnues.

205. I. Les équations générales du premier degré à trois inconnues sont :

a'x b'ÿ + c'z = d', a"x + b'’y + crz=d".

Supposons que a: = a,

soit la solution des équations proposées , et qu’une ou plusieurs de ces inconnues ait une valeur négative, on en fera l'interprétation comme dans le cas de deu.\ équations.

II. On se laisserait guider par une fausse analogie si, comme dans le cas général de deux équations à deux inconnues, ou concluait sans examen préalable que les valeurs des inconnues deviennent à la fois foutes infinies ou toutes indéterminées. En effet, le dénominateur commun de x, y et z,

D = ab'c" — ae'b" -^ca'b" — ba’c' -f- bc'a" — cb'a"

peut s’écrire de la manière suivante ;

D = a(b'c" — c'b") + a\cti' — bc") -f (é\bc’ — cV),

D = Kc'ci'— a'c”) 4- bXac" — a<f)+ b’\ca' — ac'),

D = c(a'ô" — 6'o") 4" c'(éa" — db”) 4~ c'\ab’ — éo').

Or, si par suite d’une hypothèse particulière les binômes b'd' — c'b" et cb" — 6c" sont nuis , ce qui entraîne bc' — cb' = 0, le dénominateur commun s’évanouit , et il en est de même du numérateur de x puisque ce muncraleur se forme en changeant O, a', ci’ en d, d', d". Quant aux numérateurs de y et de -, qui s’obtiennent par des mutations de lettres analogues à celles que nous venons de rappeler pour x , il n’y a aucune raison pour

Digitizod by Googte

A PLiTsnuits mcoroons.

qu'ils prennentla valeur O, à moins de faire de nouvelles suppositions. En conséquence , la valeur de x peut se présenter sous

la forme tandis que y et s pourront prendre la fonne de — ;

c’est précisément ce qui a lieu dans l’exemple suivant ; lorsque lorsque l’on a recours aux formules générales :

ax-{-by-\-cz=d.

a!x-\-by-\- cz\— d', ci'x-^by-\-cs = cF'f

m. Les valeurs infinies trouvées pour y et z, semblent indiquer^ que lëi~éqüâtiôns prdposéeT sont incoiripâliblcT” quellei" que soient les valeurs qu’on attribue aux quantités a , a', a", d , d', if' ; mais cette interprétation serait fautive. En effet , la partie by-\-cz étant commune aux premiers membres des équations ci-dessus, on doit avoir

by-\-cz = d~^ax = d' — a'x = d" — a"x ; ] d'où . [1] d — ax — d' — a' a; ,

Or, ces deux équations sont généralement impossibles, puisqu’une équation à une inconnue suffit pour déterminer cette inconnue; il en est donc de mémo des équations proposées d’où on les a tirées. L’impossibilité des équations [1] et [2] cesserait si la valeur de cette inconnue était la môme dans les deux équations; dans ce cas particulier x serait déterminé, et les équations proposées qui reviennent à

by -{-cz = d — ax,

by cz=d' — a’x,

by ■\-cz = d!' — d'x,

seraient identiques , puisque par hypothèse les seconds membres seraient égaux entre eux; par suite x étant remplacé par

sa valeur, on n’aurait qu’une équation entre deux inconnues , ce qui laisserait l’une d’elles entièrement arbitraire. Concluons de là que dans aucun cas , la valeur de x n’est indéterminée ,

quoique l’on ait trouvé x = et que y et ü ne sont pas toujours

infinies quoiqu’on ait trouvé y = - et a = ^ .

IV. Il pourrait arriver qu’un système d’équations fût incompatible , quoique les inconnues calculées d’après les formules générales se présentassent sous la forme c’est ce qui a lieu dans les équations suivantes :

Exemple I. ax -\-hy -\-cz = d,

ax-\-by -\-cz = d!, j ax-\-by-^cz=: d',

L’application des formules donne ® = V = 5» cl cependant les équations sont évidemment incompatibles.

Exemple U. [1] (llar— 8y-f-6a = 49,

D’une part, l’application des formules donne

s = 5; d’autre part, la résolution directe des équations prouve

que ces équations sont incompatibles. D’ailleurs, l’élimination de Z entre [l] et [2] conduit à x = 5; cette valeur, substituée dans les équations les réduit à

Ay — 3s — 3,

Ay — 3s = 3,

Ay — 3s = 1 J

et sous cette forme l’incompatibilité est manifeste.

Exemple III. •

À PLUSIEITRS INCOXNOES.

L’application des

formules conduit à x