CHAPITRE PREMIER

RÉSOLUTION DES EQUATIONS DU SECOND DEGRÉ DE LA FORME Aa^=B.

sommaire.

217. Dérmitions. Ce qu’on appelle équation du second degré à une inconnue. Équations complètes. Équations incomplètes. — 218. Le problème de l’extraction de la racine carrée d’un nombre conduit à la résolution d’une équation du second degré. Résolution de ce problème. Pourquoi deux valeurs et que deux. — 219. Résoudre l’équation x*=za*. — 220. Résoudre l’équation x*= A. — 221. Résoudre l’équation A.t‘ = B. — 222. Pourquoi on affecte seulement du double signe ± la racine carrée du second membre. — 223. Règle pour résoudre les équations de la forme Ax’ = B. Applications.

Résolution des équations du second degré de la forme

' 217. Définition. Une éqmtioa^ du second degré à une inconnue'

est me équation qui. réductions faites, renferme le carré de cette inconnue, sans la renfermer à une puissance supérieure.

Les équations du second degré sont complètes ou incomplètes; complètes, lorsqu’elles renferment trois espèces de termes : des termes enx*, des termes en x et des termes tout connus; telles sont les équations 3a;* + 4r = 7; (a — xX6 — x) = c;

^ ^ ^ -f- ~ * ’ incomplètes, soit lorsque les termes en x,

soit lorsque les termes tout connus, viennent à manquer dans l'équation; telles sont les équations 3x* — l=x’-|- 17; x’ -|- 6x = 0.

ÎHO. Le problème de l'extraction de la racine carrée d'un nombre donne conduit à la résolution d’une équation du second degré.

Extraire ta racine carrée de 36.

Soit X cette racine; son carré est x*; mais ce carré doit être égal à 36, on a donc l’équation

faisant passer 36 dans le premier membre, il vient

Mais la différence de deux carrés est décoraposablc en deux facteurs, donc

Cela posé, pour qu’un produit soit nul, il faut et il suffit que l’un des facteurs soit nul; donc il faut et il suflit que la valeur de X satisfasse à l'une des deux équations ,

que l’on obtient en égalant successivement chacun des facteurs à zéro.

L’équation [4] donne x = 6,

- L’équation [.5] donne x = — 6.

Donc l’équation [l] admet deux solutions, et n’en admet que

(leux ; aulremcnl dil , un nombre a deux racines carrées , et n’en a que deux.

Remarque. Il importe de faire attention à cette locution ; U faut et il suffit.

1° Il faut qu’un des facteurs suit nul; or, chaque facteur égalé à 0 donne une équation du premier degré qui n’a qu’une solution, doue il ne peut y avoir plus de deux solutions; 2° il suffit qu’un des facteurs soit nul ; donc la solution de chacune des équations du premier degré fait évanouir le produit (x — 6)(x-f6), et par conséquent satisfait à l’équation j;’=36; d’où il suit que le problème proposé admet deux solutions.

Ce développement est implicitement renfermé dans le raisonment du n® 218 en vertu de la locution, il faut et il suffit, dont on fait un fréquent usage en matliématiqucs, pour exprimer d’un seul coup une proposition directe et sa réciproque.