AVERTISSEMENT

La table des matières du présent ouvrage montref assez qu'il renferme tous les objets qui, pour l'ordinaire, font partie de renseignement raisonne' derFalgèbre. Les principes y sont éclaircis par beaucoup d'exemples et de problèmes ; mais la crainte de nuire à la liaison des idées , en séparant les the'ories par des applications trop multipliées , n'a pas permis de Êiire entrer dans ce volume , toutes lès questions que Ton croît propres à exercer les élèves et à leur inspirer le goût de Te'tude de l'algèbre : on a re'uni ces questions avec d'autres recherches, dans l'ouvrage publié cette année sous le titre de Mélànges d'algèbre. Plusieurs de ces recherches se rattachent à d'importantes théories , et mentent l'attention des élèves, tant par l'intérêt qui leur est propre, que par les exercices variés qu'elles fournissent. *

Conune la théorie du plus grand commun diviseur algelirique dépend, sous quelque rapport, de la résolution des équations , il a paru convenable de ne s'en occuper qu'inunédiatement avant l'élimination en général et la recherche des rackiés égales,., dont elle est la base. Cette théorie, placéèJ inuhe- ' diatement après la division, offre des diifîciilt^«ijict . . élèves, encore peu £imiliarisés avec les QOwSôinki-r, sons du calcul algel>rique ; et comme alors èUè né

«ert qu'à simplifier les fractions Utt^ales , on y ' supplée souvent par la décomposition en facteurs , ainsi qu'on en a donne plusieurs exemples.

Quant à la méthode du plus grand commun diviseur numérique , on n'a pas cru devoir en grossir ce volume , d autant plus que cette méthode et les conséquences qu'elle fournit pour la divisibilité des nombres, sont données, avec toute la rigueur et les détails nécessaires, dans^l'Arithmétique élémentaire. C'est aussi pour cela qu'on n'a pas parlé des proportions et de leurs applications à la solution des problèmes, qui se trouvent également dans l'Aridimétique.

Les fractions continues servant à compléter plusieurs théories alge1>riques , on a dû les Êiire entrer dans le présent ouvrage , avec leurs applications les plus importantes. De cette manière on pourra les supprimer dans l'Aritlmiétique, où elles reçoivent peu d'applications^ et ce traité d'algèbre sera d'une utilité plus étendue ; ce qui est conforme au but qu'on s'est proposé , de publier un ouvrage élémentaire , renfermant les notions et les principes propres à fiiciliter l'étude de la haute analyse. On a voulu en outre donner aux diverses théories, la clarté et la rigueur désirables ; et le lecteur jugera '•!': •'*•• .;Î^SE^,'^'ÎÎ<*4 point on y est parvenu.

' *** : : \ .lAe^jiâtquer Les nombres mis entre parenthèses indiquent '*'**** ISrade tfiir loque] s^appuie cehii dont on s^occnpe.

Notions préliminaires.

i . JLe but d^uQ calcul quelconque est toujours de déterminer une ou plusieurs grandeurs inconnues, à Taide d^un certain nombre de quantités données.

2. Si les valeurs des quantités qu^on regarde comnie données, sont réellement déterminées, c'est-à-dire, sont exprimées par des nombres et en chiffres , comme en arithmétique , les opérations pourront s'^efTectucr à mesure que les raisonnemens y conduiront; le résultat ne conservera donc aucune trace des nombres qui Pauront fourni ; et par conséquent, on ne verra pas aisément comment on pourrait obtenir ce résultat, dans les calculs de même espèce , sans recommencer les rabonnemcns qui Font donné , et qui sont quelquefois très-compliqués.

3. Au contraire, si les quantités données sont énoncées d'une manière indéterminée^ les raisonnemens auront lieu pour toutes les valeurs possibles de ces quantités ; les résultats auront donc aussi lieu pour toutes ces valeurs ; et par conséquent , ces résultats seront des règles pour calculer les valeurs inconnues dans toutes les questions de même nature (*).

4. On voittlonc qu''il sera toujours très-avantageux d'énoncer les nombres donnés d'un problème, d'une manière indéterminée. Mais alors , il faudra raisonner et calculer avec ces nombres indéterminés \ et cVst ce qu^on fera toujours au moyen de l'a^èhre. Ainsi,

L'ALGEBRE est la science du calcul des quantités énoncées d^une manière indéterminée. Son but est non -seulement de

(*) On distingnc deux sortes de questions^ savoir : les théorèmes et l^s problèmes. Dans les diéorémes , .on se propose dVtablir certaines propriétés de nombres, au mojen d^un raisonnement, appelé Démonstration. Dans les problèmes, on a ponr but de trouver des nombres inconnus, à Faide d^autres nombres donnés, qui odt avec les premiers, des relations indiquas par Ténoncé de la question. Résoudre un pro^ blême, c''est effectuer les raisonnemens et les calculs qui conduibenl auK valeurs des quantités inconnuet .

ALGEBRE.

résoudre lef questions que Ton peut proposef* snr le& quantités , mais aussi de donner des règles qui conviennent à tous les cas particuliers d^un même problème, quels que soient les nombres donnés de ce prolilème.

5. Pour remplir ce double but de Palgèbre, il est nécessaire d^exprimer les quantités indéterminées par des signes plus abrégée que ceux du langage ordinaire (*). Or, on a choisi les lettres de Falphabet, parce qu^elles n^ont aucune valeur par elles-mêmes, et qii*on sait déjà les nommer et les écrire : ofci est convenu de représenter les quantités quVn regarde comme données, par les premières lettre n, 6, c, d^ etc., et les quantités réellement inconnues, par les /dernières lettres a:, ^', z, etc.

A regard des nombres déterminés, on les désigne par des chiffres , comme en arithmétique ; ou bien , par les premières lettres a, &, c, etc., de Palphabet, lorsque les expressions en chiffres sont encore trop longues.

EnGn, comme les phrases qui tiennent aux opérations de raritlimétique reviennent continuellement dans le calcul , on est convenu i, pour mieux abréger, de représenter les expressions, augmenté de ou plus , diminue' de ou moins , multiplié par^ divisé par ^ est égala ou égal^ est plus grand que^ est plus petit que^ etc., respectivement par les signes, +, — , X, Ii =i ^i <[, etc. On remplace aussi le signe X par un point , et le signe \ par un trait horizontal , en écrivant le dividende au-dessus et le diviseur au-dessous.

6. D'^après ces conventions, op écrit dans un espace beaucoup plus petit, la plu-ase suivante :

Les trois quarts d'un nombre inconnu^ augmentés de douze^ égalent le triple du même nombre inconnu^ diminué de qua^ rante^huit.

En effet, en désignant par j: Pexpression le nombre inconni/^ la phrase dont il s^agit devient :

(*) Lorsque les quantités inde'lerminées sont énoncées en langage ordinaire, pour peu quo les relations entre les quantités connues et les quantités inconnues soient compliquées , les phrases successives des raisonnemens et des calculs deviennent très-longues -, il est par conséquent très-difficile d''en saisir toutes les parties , et d^opérer toutes les combinabions propres à conduire aux valeurs inconnues*

•J-jr + 12 = 3j: — 4^.

7. Par là on voit qu'yen faisant usage des abréviations précédentes et de celles qu^on pourrait encore introduire, on ne sera guère plus de temps pour écrire, les phrases successives des raisonnemens et des calculs que pour les énoncer ^ on pourra donc mettre sous les yeux les phrases dont il s^agit; et c^est là un trèsgrand avantage ^ car, par ce moyen, non-seulement on soulagera beaucoup la mémoire, mais encore on rapprochera les objets de manière (ju^il sera très-facile d^en saisir les difierens rapports, et de voir ce qu^il faut faire pour arriver aux valeurs inconnues. On devra donc toujotu-s se servir des abréviations dont il s^agit; et c'^cst ce que nous feront désormais.

8. Par exemple, connaissant la somme i/^etla différence 6 de deux nombres , trouver chacun de ces nombres ?

En désignant par x le plus petit des deux nombres cherchés ; le plus grand , qui le surpasse de 6 , sera x -{• 6 : et comme la somme de ces deux nombres égale 1 4 ? il s'^ensuit qu^on a

Mais j;-f-x, c^esC 2 fois x^ ou 22:; donc IVg^â/i/^ précédente est la même chose que

Or, si du tout i4i on ôte une partie 6, il restera Tautre sx; et par conséquent, la 2* égalité précédente équivaut à celle-ci :

2x=zi4 — 6 = 8.

Enfin , puisque 2 fois x valent 8 , x seul vaudra la moitié de 8, ou 4 ^ Pégalité qu^on vient de trouver équivaut donc à

Ainsi , le plus pctH des deux nombres dierchés vaut 4 ; le plus grand vaut donc 4 "l* ^1 ^" '^* ^^ effet, la somme de ces deux

nombres est i4, et leur différence, 6 (**).

(*) On appelle égalité^ toute expression composée de deux quantités séparées par le signe =«

(**) La marche que nous venons de suivre ne changerait pas, si Ton résolvait, en langage ordinaire, le problème proposé; et il en Yésuhe qu''en géiéral, pour résoudre un problème, il faut d^abord chercher Irs phrases ou égalités qui expriment le* rdatiions que renoncé établit entre le» quantités connues et les quantités inconnues^ puis, transformer ces

9* Si les nombres donnés du problème étalent difTérens de ^4 et de 6, il faudrait recommencer les raisonnemens et les calculs qu^oQ vient de faire , pour avoir la valeur du plus petit nombre \ et cela tient à ce que la valeur 4 ^ à laquelle on est parvenu , ne conserve aucune trace des nombres qui Font four- ' nie. Mais il n^en serait pas de même si Ton énonçait les nombres donnés du problème, d^une manière indéterminée, conrune il suit :

Connaissant la somme et la différence de deux nombres , trouver chacun de ces nombres ?

En effet, soit a la somme donnée, b la différence donnée, et X le plus petit des deux nombres cherchés ; le plus grand , qui le surpasse de b , sera donc x-\- b : et comme la somme de ces deux nombres est égale à a , il s^ensuit qu^on a

Maïs comme a:+x, c^esl 2x, Pégalité précédente est la même chose que :ix + b = a.

Or, si du tout a , on ôte une partie b , il restera l'autre ax ;

Enfin, puisque a fois x valent a — b^ x seul vaudra la moitié de a — - />, et par conséquent

Ce résultat montre que , pour avoir le plus petit nombre , il faut ôter la différence donnée de la somme donnée^ et prendre la moitié du reste.

Ainsi , le résultat des raisonnemens et des calculs précédcns , est une règle pour calculer la valeur du plus petit nombre, dans tous les problèmes de même espèce \ et cela ne pouvait manquer dériver, car le résultat dont il s'^agit ayant été obtenu sans assigner de valem's particulières aux nombres a cl b^ doit nécessairement avoir lieu pour toutes, les valeurs de ces nombres.

phrases en une suite d^autres équivalentes, dont les dernières fassent connaître les valeurs inconnues. Mais, malgré Teniploi des signes abreviatifs, cette méthode serait souvent impraticable ," si Talgcbre ne fournissait d^ailleurs des régies pour opérer les transformations que cette même méthode exige.

Donc , si Ton y^ut connaître la valeur tlu plus petit nombre , dans Tun des cas particuliers du problème proposé , il suflira de

substituer, dans Pexpression x zrr — , les valeui's que prendront aelb^ et d'^cffectuer les opérations «indiquées. Par exemple, si a vaut i4i et fc, 6, le plus petit nombre x vaudra -5

ou 4 ; si a vaut i o5 , et 6 , 67 , le plus petit nombre x vaudra ■ ■ ■ ou o : et ainsi de suite.

10. Diaprés cela, on voit que Tavantage de représenter les nombres donnés du problème , par les premières lettres de Palpbabet, ne consiste pas seulenoient à abréger les raisonnemens ; mais encore à donner des expressions montrant comment on résoudra tous les cas particuliers du problème proposé, sans recommencer aucun raisonnement,

1 1 • On appelle formule , Tcxprcssion qui montre quelles opérations on doit effectuer sur des nombres donnés , pour en

avoir un autre qu'on cberdie. Ainsi x'= -^ est une formule :

c''est la traduction , en signes algébriques , de la règle pour résoudre le problème qui Ta donnée.

12. D'après ce qui précède, on voit que l'algèbre est une espèce de langue qui se compose d'une suite de signes abréviatifs et généraux, au moyen desqueb on exprime, d'une manière irès-facile et très-abrégée, les raisonnemens et les opérations que nécessite le calcul des quantités indéterminées, c'est-à-dire, Fart de résoudre les questions numériques.

Ainsi , pour appliquer l'algèbre à la démonstration d'un tliéorème , ou à la solution d'un problème , il est nécessaire de connaître les opérations du calcul des quantités indéterminées. Et comme ces opérations deviennent d'autant plus faciles que les expressions des quantités sont plus simples, il faut d'abord apprendre à simplifier les expressions algébriques.

Moyens de simplifier les expressions algébriques.

i3. On appelle expression algébrique ou quantité littérale^ toute quantité écrite en langage algébrique, c'est-à-dire exprimée au moyen des signes abréviatils de l'algèbre. Ainsi 3a — ^b est

une quantité littérale ; c^est Pexpression alcëbrique 4e 3 fois le nombre donué a^ moins 4 ^^ ^^ nombre donné b*

i4* On appelle ternîtes les qua^ti^ qui, dans une expression algébrique, sont séparées par les signes -|- et — ; cette exprèssiom elle-même est un polynôme ou une quantité complexe. Ainsi 3a — 6 -f" ^c.est un polynôme, dont les termes sont 3a, r- ^ et + ac.

1 5. Une expression algébrique est appelée mii^nomey binôme^ trinôme^ quadrinome\ etc., suivant qu^elle est composée de i , 2 , 3 , 4 1 etc. , termes. Par exemple , — ^a est un monôme , a -— 7.b un binôme , %a — 6 — c un trinôme, etc.

i6. Le signe dW terme est le signe -|- ou le signe — qui précède ce terme; en observant que si un terme n^a pas de signe écrite il est censé avoir le signe +. En effet , dans -|- a, le signe + qui précède a, indique que a est ajouté à rien ; or, si à rien ou ajoute a , on aura nécessairement a pour somme : donc +a=ra ou a = -}-a.

Pareillement -f- aa — b=z2a — b. D^où il suit que quand un terme, précédé du signe -f-, commence une expression algébrique, on doit, pour abréger, supprimer ce signe -f-. Mais il tiVn serait pas de même, si le terme avait le signe — ; car •— b^ par exemple, n^est pas la même diose que b,

17. Pour abréger un produit indiqué, tel que 3X^X^X0, on sous-entend le signe Xi et on écrit simplement 3abc, Réciproquement , Fexpression 6abcd ==6XaXb>^cXd.

Mais si Ton avait le produit 4^7^ ^^ °^ pourrait pas supprimer le signe X î car alors on aurait 47 1 expression identique avec celle du nombre 47» tandis que 4 X 7 = a8. Dans ce cas, on remplace le signe X par un point , et on écrit 4^7=4-7*

18. Dans le produit TLgabc^ 29 est le facteur numérique ; a, b eic les facteurs littéraux , et abc la partie littérale,

19. Lorsque dans un terme, il entre un facteur numérique, on le place toujours à la gauche des lettres de ce terme , sur la même ligne , et alors on Pappelle coefficient. Ainsi , au lieu de £79, on écrira 9a, et 9 sera le coefficient.

En général, le coefficient dW terme est un nombre qui, placé' k la gauche des lettres de ce terme et sur la même ligne, indique combien de fois on doit prendre le nombre exprimé par ces Ict-

très. Par exemple, dans /pz/^i le coefficient 4 indique qvk*on doit prendre 4 ^ois 1^ produit âib. Dans la le coetBcient est i. Mais alors on peut se dispenser de Pécrire, car iâ=:â. Réciproquennent , lorsque le coefficient n^est pas écrit , il est i ; car a = la^ j:= IX, etc.

ao. Lorsqu'une même lettre est plusieurs fois facteur dans un produit, on est convenu, pour abréger, de n^ ^çnre quWe seule fois cette lettre ; mais d'indiquer, par un nombre placé k sa droite et au-dessus, combiei^ de fois elle est facteur dans le produit proposé : ce nombre s'appelle exposant de la lettre. Ainsi, au lieu de a>caXaXa^ on écrit simplement a^, qu'on énonce a quatre^ et 4 c^t l'exposant de a (*).

En général, Vexposant d'une lettre est un nombre qui, écrit à la droite et au-dessus de cette lettre , montre combien de fois elle est facteur dans le produit. Par exemple, dans a b , l'exposant 3 de â fait voir que a est 3 fois facteur dans le produit, et Texposant 5 de l> montre que b est facteur 5 fois ; de sorte que

a V = a X a X a X ^ X ^ X ib X 6 X i?> .

Et l'on voit combien l'exposant abrège les expressions des produits. Si a vaut 3, et ^, 3, (^b^ vaudra 3x3x3X2 X^2 X a X a X 2 ou 864.

ai. Lorsque l'exposant est 1, on se dispense de l'écrire ; car on voit aussi bien que b est une fois facteur dans ab que dans iifr*. Réciproquement, quand Vexposant n'est pas écrit ^ U est 1 ; car dans ab , b est une fois facteur et doit avoir 1 pour exposant : on a donc ab = ab* ^ ce qui exige que b* = b,

23. D'après la déOnîtion de l'exposant, si l'on avait ab^^ Fexposant o de 6 indiquerait que b n'est pas facteur avec a, ou que b ne multiplie pas a : d'où il suit que ab°z=ia \ ce qui exige que 6^= 1 . Ainsi 6^, qu'on énonce b exposant ooub puissance o, est un symbole équivalent à l'unité. En général, toute quantité affectée de Vexposant zéro^ donne F unité.

(*) Il fiant bien prendre garde de confondre Texposant avec le coefllctent; de confondre, par exemple, a} avec 3/i^ car à^ est rabréviation de aX<>X<'i tandis que 3a est Tabréviation de a-f-a-)-a. Si a vaut 4, «^ vaudra 64 , tandis que 3a ne vaudra que 1 a. Au reste , on ne confoudra jamais Pexposant avec le coefficient, si Ton fait attention que le coefficient s^énoncc toujours avant la lettre, et Pexposant toujours apr^s.

^3. On appelle puissance d^un nombre le produit formé par des multiplications successives* de ce nombre. U^ ordre ou le degré de la puissance est le nombre de facteurs égaux dont cette puissance est formée. Ainsi , b'*^ qu^on énonce h puissance n , est la 'puissance n'^* de b^ et n est Veccposant ou le degré de la puissance. Diaprés cela, a\a*^€^^a^^ ..., sont respectivement les puissances i'*, 2", 3*, 4*i ••• -• ^^ ^* ^^ dit aussi que a* ou a^a est le carré de <2, et que a^ ou aX^X^ est le cuhè de n.

24* La première puissance d^un nombre est ce nombre lui* même, puisque a' = â *, lé carré d^un nombre est le produit de ce nombre par lui-même \ le cube d^un nombre est l<e produit de ce nombre multiplié deux fois de suite par lui-même^ en général, la puissance n**™ àe b e&l b multiplié n — i fois de suite par lui-même.

a5. Pour indiquer une opération sur un polynôme , on met ce polynôme entre parenthèses ( ), et Ton indique sur ces parenthèses, Popération, comme on Tindiquerait sur une seule leltre. Ainsi , pour montrer que a — b est augmenté ou diminué du binôme ia-\-b^ multiplié ou divisé par ce même binôme , on

^«•ii" (^/,)4.(aa + i), ^a-b)-{^a + b),

(a— />)(2a + i) et (a— i);(2a + /ï) ou '*'"

Pour indiquer la puissance m»""? de a — i, on écrira {a — è)"* et on 'énoncera , {a — i) puissance m.

Si Pexpression algébrique renfermait déjà des parenthèses, on la mettrait entre crochets [ j ; et si elle avait des parenthèses et des crochets, on la placerait entre deux accolades | | . Ainsi Texpression J^tf— i[3t — (a— i)] + 3}(2a— i), .

signifie quW doit oter b àe a^ soustraire le reste de 3 fois 6, multiplier b par le nouveau reste , retrancher le produit de 2 fois a , ajouter 3 au résultat et multiplier la somme par le reste qu^on trouve en otant ^ de 2 fois a. Cette traduction , beaucoup plus longue que Pexpression algébrique qui Ta fournie , montre en quoi sont utiles les signes que nous venons dVmployer.

26. Une quantité est appelée positive ou négative^ suivant qu'elle est précédée du signe + ou du signe — . Ainsi •+- ia est une quantité positive ou un terme additifs et — Zab une quantité négative ou un terme soustractif.

37. Comme la soustraction et V addition d^un même nombre se compensent nécessairement et doivent disparaître du résuU iat^ nous admettrons toujours désormais que — a -f- ^ == <>•

Et puisgue soustraire un tout y c'est soustraire chacune de ses parties^ nous conviendrons toujours d'écrire, 1"*^ — (û+i) z=:a — a-— fc; a* — 4^ = — a — a — a — a^ et en général, n soustractions successives de a := — na.

Le^ soustractions précédentes étant impossibles, les égalités que nous venons de poser ne peuvent être démontrées : ce ne so^t que de pures conventions ^ qu'il faut néanmoins admettre , d'abord parce qu'elles n'ont -rien de contraire aux définitions déjà établies, et qu'ensuite elles étendent à un plus grand nombre d'objets , les usages de deux principes de calcul ^ ce qui est avantageux et conforme au but qu'on se propose en algèbre.

qS, h résulte de ces conventions , que si b^ a et qu'on ait 6 = fl + rf ou 6 — a = £/, onaura

a — b:=.a — (û4-«0=^ — ^ — ^=^ — ^= — i^ — ^)^ de sorte que quand b est plus grand que a, a — b est négatif et égal à — (b — a).

On aurait de même 10— -i5=io — 10 — 5 = — 5 = — (i5— -lo). Ainsi, quoique la soustraction 10 — 15 soit évidemment impossible , on peut néanmoins l'effectuer en partie ^ et le signe — qui précède 5, dans le résultat — 5, montre qu'il faudrait encore soustraire 5 unités, pour exécuter réellement la soustraction demandée. On voit donc que toute quantité négative isolée , telle que — 5, indique une soustraction impossible.

29. Néanmoins, on doit soumettre ces expressions impossibles à toutes les règles du calcul des non^bres. En efie^, puisque lés nombres abstraits sont représentés par des lettres , qui n'ont aucune valeur numérique significative, et explicite, il est impossible de distinguer, dans le cours des raisonnemens et des transformations du calcul, si â, par exemple, est plus grand ou plus petit que b\on sera donc, malgré soi , entraîné à raisonner et à opérer sur a^-^b.^ comme sur un nombre réel, lorsque a sera moindre que b , c'est-à-dire , lorsque a — b sei^ au fond im monôme soustractif. De sorte que si l'on veut que l'algèbre ait toute la généralité dont elle est susceptible, il faut absolument soumettre au calcul des nombres ^ tous les monômes négatifs de la forme — a\ et c'est ce que nous ferons désormais.

( lO ) Par exemple, supposons que la solutioo dVn problème ait donn^

pour que le but de Palgébre soit rempli (4), il &ut que cette formule ait lieu, quels que soient les nombres a et h. Or, supposons az=3 et 6=5, cette formule deviendra jp -—. 3 / ^\ / ^\

«pression impossible, si Ton ne sait pas multiplier 3 par — a et soostraire — 39 du produit. Mais si Ton fait entrer dans le calcul les quantité ntgatiyes isolées, on apprendra que jc = 3 ( — a) — • ( — 39) devient x =: — 6-f- 39=: 33. De sorte que la formule proposa sera vraie pour tf=:3 &r=5, et sera générale, comme Fezige Palgébre (4)*

3o. Un polynôme ne change pas de valeur^ dans quelqu'or^ dre qu'on écrive ses termes. Par exemple, je dis que

8 — ia + 6 — 9+ 10 = 8 + 6 +10 — ï^ — 9«

En cfTet , il est facile de voir que le a* quîntinoiiie se réduit à 3. Quant au i**", puisque soustraire la, c^est soustraire 8 et 4 ; ajouter 6, c^est ajouter 4 et 2 ; soustraire 9, c^est soustraire a et

7 ^ enfin, ajouter 10, cVst ajouter 7 et 3 ; il s'ensuit que 8 — la . 4.6—9+10 = 8 — 8 — 4+4 + 3 — 2 — 7 + 7 + 3. Or,

8 — 8 = 0, ainsi que — 4 + 4i Hh^ — ^^^ — 7"f"7î ^^^'^^ le 1" quintinome se réduit à + 3 ou à 3, comme le a*.

3i . Le principe précédent conduit à la réduction des termes semblables» On appeUe ainsi les termes qui ont la même partie littérale , c'est-à-dire qui ne peuvent différer que par les signes et les coefficiens , comme + 8a*b et — 3a*b .

32. La partie littérale étant considérée conmie une certaine espèce d'unité, les termes semblables renfermeront des nombres d'unités de cette espèce, marqués par leurs coefficiens. On pourra donc ajouter ou soustraire entre eux ces nombres d'unités ; et par conséquent, réduire plusieurs termes semblables en un seul, en ajoutant ou en 'soustrayant leurs coefficiens. C'est ainsi que si x = 8a^i* — 6aV+aa'i', on aura x=z/la^b*.

Ces sprtes de réductions sont fort utiles \ car pour avoir la valeur de x en chifires , il faudrait effectuer 1 7 opérations partielles avant la réduction, et seulement 5 après.

33. Pour opérer la réduction des termes semblables^ il faut prendre la somme de tous ceux qui ont le même signe , soit

'+ soit — , et donner à cette somme le signe commun. Mais quand deux termes semblables ont des signes contraires , on soustrait le plus petit du plus grande et Von donne au reste le

signe de ùe plus grand. Diaprés cette règle, si Ton a le poljnome 5^>fc ^bc + 4c' + ia*b — Sbc — 6cS

on trouvera ']u*b : — iibc — ac* .

En effet, on peut, sans changer la valeur du polynôme propose , rapprocher les termes semblables (3i>) ; ce qui donne

5a'i + aa*i — Uc — Sbc + ^c — 6c^ Or^ il est évident que Sa*b + aa*6 = 70*6. De même — 3bc — 8^= — nie, et enfin +4^' — 6c ==-J"4^^ — 4^' — ^^^ = «^ ac • Donc le polynôme proposé se réduit réellement à

ja^b — iibc — ac'.

On aurait de même 5a6* — aa'+ 36c — 4^*+ ^wii* — gic +3û*=7ii*i-— 3a* — 66c. C'est ce qu'on vérifie en prenant, par exemple, a=4^ 6 = 3 et c=a ; car alors on trouve que le polynôme proposé et le trinôme qui en résulte, se réduisent chacun à a5a.

34* La considération des quantités négatives dan^ le calcul , conduit à distinguer les opérations algébriques des opérations arithmétiques analogues. Une opération est algébrique^ lorsqu'on a égard aux signes qui peuvent afiecter les quantités. Une opération est arithmétique^ quand on ne doit avoir égard qu'aux valeurs absolues des quantités , c'est-à-dire , qu'aux nombres d'unités que ces quantités renferment.

Le calcul algébrique a pour but de trouver la plus simple forme dont un résultat soit susceptible , lorsqu'on n'assigne aucune valeur numérique aux lettres ; et on parvient à cette plus « simple forme au moyen des quatre 1'*' opérations de l'algèbre.

De V Addition algébrique,

33. U^ addition algébrique est une opération par laquelle on réunit plusieurs quantités de même espèce , affectées des signes -f- et — , en une seule quantité appelée somme. De sorte que le mot somme exprime ici une somme d'opérations , c'est-à-dire Je résultat de toutes les opérations indiquées; par les expressions algébriques proposées.