D'après cette définition , on trouve que

+ <! + ( — /») = + « — b et — « + ( — *) = — <* — *•

( ti )

Eq effet , ajouter -j- ^ & rf- a, c^est ajouter Padclitîon de & à Paddilion de a (*) ; la somme sera donc composée de Taddition de a et de Paddition de b ; elle sera donc -f- ^ -f- ^* De sorte que +a-|-(+t)=:-f-tf-|-i. On démontrerait de même Fexactitude des trois autres résultats.

37. On voit, par les égalités précéjdentes, qvPun terme ajouté est écrit avec son signe. Or, pour ajouter un polynôme, il est évident qu^il faut ajouter chacun de ses termes : et puisque chaque terme ajouté est écrit avec son signe, le poljnome ajouté sera lui-même écrit avec ses signes. Ainsi, pour faire VaddUîon des , quantités algébriques^ il faut les écrire les unes à la suite des autres^ ou les unes sous les autres^ avec leurs signes tels qu'ils sont , puis opérer la réduction des termes semblables. Par ex., je dis que 3a-f-(^t-— a + 3c)z=3a-|-a6 — a-\-3c.

En effet , ajouter à 3a le trinôme ib — fl-|- 3c , c'est y ajouter le trinôme at + 3c — a , qui a même valeur (3o). Or, si on ajoute d'abord à 3a le tout 2b-^3c^ ce qui se fait évidemment en y ajoutant chacune de ses parties 2 & et 3c, la somme sera 3a -|~ ^^ "f" ^^* Msds ce n'est pas 2b 4- 3c qu'il faut ajouter à 3a, c'est ^b'\-3c — a ^ on a donc ajouté a de trop ; la somme trouvée est donc trop grande de a ^ il faut par conséquent la diminuer de a , et il viendra 3a + 2^ + 3c — a ou 3a + ^b — - a -|~ 3c , comme on l'a trouvé en appliquant la règle.

38. D'après la même règle, si l'on veut avoir la sonune des quantités 3a*b~5ab^+^b\ iab''-^3b^— ^^b et Sb^—l^ab^ — ic^b^ on disposera et l'on effectuera l'opération comme il suit:

^ati' + lb^ — ^a'b

.5b^ — ^b^ — ia^b

Somme réduite • • • — 3a^b — 7^/»' + 1 lè .

Si a == 2 et 6 = 3 , les trinômes proposés deviennent respectivement 54^ 69 et 39 ; leur somme est donc 162. La somme

«. II

(*) Au premier abord , il peut paraître singulier <lc dire qu^OA tgoute une addition ou une soustraction. Mais en y réfléchissant un peu, on verra que cette manière de parler u^a rien qui puisse choquer le bon sens \ car, par exemple, ajouter à 9 fr. une soustraction de 6^, c^est réellement faire épcouver à 9^ une diminution de. 6^; le résultat est donc 9^ — 6^^. De sorte que 9 -f- ( — 6) = 9 — 6.

algébrique trouvée se réduit en effet à 162 , lorsqu''on j prend a = 2 et 6 = 3.

. De lu Soustraction algébrique.

39. La soustraction algelrique est une opération par laquelle, connaissant la somme de deux quantités et Pune de ces quantitcf^ on trouve Tautre, appelée reste ^ excès ou différence.

40. D^où il suit que le reste d^une soustraction algébrique est toujours tel , qn^en Tajoutant à la quantité à soustraire, la somme se réduit à la quantité dont on doit soustraire,

4 1 • Diaprés cela , il est clair qu^on aura +a—(c\'b)z^+a—b, +a-{-b)=-^a+b, — a — {+b)z=:—a~b et —a — {^^b)z=i—a + b.

Car chaque reste ajouté à la quantité à soustraire , donpe la qaanUté dont on doit soustraire (J^o). D^ailleurs, dans le 1*' cas, -j- a est la même chose que -^ a'\-b — b\ et puisque de ce -f- £X, on veut soustraire -j- b^ il faut faire en sorte que -f- 6 ne s'y trouve plus \ il fiaiut donc y effacer +6, et il restera -j-^ — b\ De sorte que + a — ^ (-J- 6) = + a — b. On démontrerait de même Fexactitude d^s trois autres résultats.

4^. Les quatre égalités précédentes montrent qu'an terme soustrait est écrit avec son signe changé. Or, pour soustraire un polynôme , il est clair qu'il faut soustraire chacun de ses termes \ et puisque chaque terme soustrait est écrit avec un signe contraire , le polynôme soustrait sera écrit avec des signes contraires. "Donc pour faire la soustraction des quantités algébriques^ Ufaut changer les signes de la quantité à soustraire^ et V écrire avec ses signes ainsi changés^ àja suite ou au-dessous de Vau" tre quantité^ puis opérer la réduction des termes semblables. C'est ainsi que 12 — 2 — (8 — 7 + 3)=z 12-^-2 — 8 + 7-^3,

Pareill^nent , si de 2û^ — 4^*fe -J- ZaV on veut soustraire., a -f: 2a*& — 5aV

Il restera ia^ — ^*b + 3ab^ — a' — aa*i + 5ab\ ou en réduisant, a — 6a'^b-\-Sab*.'

Et en effet, en ajoutant ce reste au trinôme à soustraire, la somme se réduit au trinôme dont on doit soustraire \ ce reste est donc le véritable (4o)»

Si a=:5 Cl &= 3,' le premier des deux trinômes proposés se réduit à 85 et le second à 5o ; leur difTérence est donc 35. Et comme dans ce cas le reste algébrique obtenu se réduit aussi à 35 , on voit que la règle employée est exacte.

De la Multiplication algébrique.

43. La multiplication algébrique^ comme la multiplication ■ arithmétique ^ est une opération par laquelle , connaissant deux quantités appelées multiplicande et multiplicateur^ on en trouve une troisième en opérant siu* le multiplicande, conmic on a trouvé le multiplicateur en opérant sur Tunité. Cette troisième quantité s^appclle produit \ et tous les nombres qu^il faut multiplier entre eux pour avoir le produit, sont les facteurs de ce produit.

^^, Le produit de deux monômes a le signe -f-^ lorsque le multiplicande et le multiplicateur ont leurs signes les mémes^ et le signe — , quand ils ont des signes différens. En appliquant ce principe , appelé la règle des sigûes^ on aura

+ aX + b = + ab^ —aX+b = — ab, . + ^ X — *= — ab cl — aX — i =z + afc.

En effet, 1* suivant que le multiplicateur -f- 6 ou 6 est un nombre entier ou une fraction , le produit est un multiple ou une fraction du multiplicande \ il est donc de même nature que ce multiplicande ; c'est-à-dire qu'il en a le signe (*). Par conséquent, + flX + /> = + ^^ et — aX + bziz — ab.

a* Le produit se trouve en opérant sur le multiplicande, comme le multiplicateur en opérant sur Funité : donc, puisque le multiplicateur -^ b s'obtient en multipliant l'unité par b et en changeant le signe du résultat b \ de même , le produit de -f- a ou de — a par — t, s'obtiendra en multipliant +a ou — a par b et en changeant le signe du résultat -{- ab ou — fl/^ (i**) ^ ce qui donnera — ab ou •-^-ab. D'où il suit que -J- a X -^ /> = — ab et que — aX — b=i'\'ub (**).

(*) En gcnëral, tout multiple ou toute fraction d'un monôme^ a nécessairement le signe de ce monôme. La chose est évidente pour un mono^ me qui a le signe -{- , puisque ce monôme peut être e'crit sans signe (16). Mais si le monôme a le signe ^-, on aura, i* 4 foi* — «= — « — <*""" a— -a^:— 4^ (*7)î a" les i de — 7a = le» 4dc 7 fois — a (i") =r 5 fois — a= — 5a (i'»).

(**} H est facile de v«friGcr qu^on ajoute ou l'on sotutrait un monomey

45. Les quatre formules que Pou vient de démontrer, sVnoncent en abrégé en disant : + par-}- «lonne -f-, — par + donne —, -|- par — donne — , et — par — donne -f-. Et il en résulte, 1* qu^i/n produit change toujours de signe avec Vun de ses 2 facteurs i a* que le produit ne change pas de signe quand on change ceux du multiplicande et du multiplicateur.