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Note I.

Sur les quantités négatives isolées.

tt Les qaantîtii^ négatives naissent de Textension et de la généralité ^e Ton accorde volontairement aux opérations et aux formules algébri^ ques ^ en sorte quVn admettant à priori ces quantités et en les soumettant aux mêmes règles de calcul que les nombres absolus , les formules deviennent par là générjiles et applicables à toutes les valeurs des lettres on des quanûlés indéterminées qui les composent.

Mais Talgêbre n^opérant que sur des grandeurs indéterminées, sur des signes abstraits , il est même absolument impossible quVUe ne traite pas les quantités négatives, et en général, les êtres de non existence, comme s^ils étaient absolus et réels ; car les lettres n^ ayant , par elles-mêmes , aucune valeur significative et explicite , il est également impossible de distinguer, dans le cours des raisonnemeus et des transformations du calcul, si a , par exemple , est plus petit ou plus grand que b •, ainsi quel que soit Tordre de grandeur de ces deux quantités, on sera, malgré soi, entraîné

à raisonner et à opérer sur les expressions a — ^, |/« — A, etc., comme si c^étajent toujours des quantités positives et absolues , quels que soient aeib. Or, cela arrive non-seulement quand on emploie les signes et les notations de Talgèbre, mais aussi toutes les fois qu^cn raisonnant sur des grandeurs , on fait abstraction de leur valeur numérique et absolue : c^est ce qui arrive , en particulier, dans la géométrie , lorsque la figure se complique ou que les rapports qui en lient les parties se multiplient , parce qu^il nVst plus possible alor» de discerner , au simple coup-d^^œi) , Tordre de grandeur et de situation de ces parties. CVst encore ce qui a lien quand certaines de ces parties sont Pobjet d'*une recherche faite sur la figure , et qu^on les suppose inconnues à la fois de grandeur et de situation. Enfin , et cVst sur-tout ce qui arrive quand on fait abstraction de la figwçe ou qu^on se dispense de la décrire ; de là cette généralité des conceptions et cette grande extension de la géométrie , qui considère les objets dans Tespace, et dont Mo h ce peut, à de si justes titres, être appelé le créateur.

Telle est Torigine commune de toutes les notions abstraites de retendue et de la grandeur en général , et par conséquent telle est aussi Torigine des êtres de non existence.

Ainsi, non-seulement, il peut être utile d^admettre les quantités négatives et imaginaires en algèbre , et de les soumettre aux mêmes régies de calcul que les nombres absolus, mais la chose est même toutrà-fait indispensable par la nature propre de cette science , puisqu'elle opère nécessairement sur des signes abstraits et qui n^ont, par eux-mêmes, aucune yaleur significative, d

On peut voir ( 99 et aa5 ) que nous avons mis à profit les réflexions précédentes ; elles sont extraites du rapport fait à la Société Académique de Metz, sur la i'* édition de ce traité ^ par M. Pojtcelet, capitaine du génie.

Comme la réduction des termes semblables se présente au commencement de Talgébrc, et comme cette réduction peut donner et donne en effet des quantités négatives isolées, on est ainsi conduit à considérer ces sortes de quantités dés les premières opérations algébriques. Voilà pour quoi nous avons cru devoir les faire entrer immédiatement dans le calcul, n en résulte Tavantage de donner sur-le-champ aux premières opérations de Palg^bre toute la génà-alité dont elles sont susceptibles.

Sans doute qu^il arrivera quelquefois aux commençans de demander ce que signifie une quantité négativje isolée, telle que — 6, par exemple; el cette question , qui se présente naturellement à Pcsprit des élèves désireux de se rendre compte de leurs opérations , est absolument de même nature que celle où Ton voudrait savoir ce que signifie un nombre isolé ^ tel que 17, par exemple, et à quoi ce nombre répond. '

Le nombre isolé 17 est censé augmenter une certaioe grandeur de même espèce^ dont on ne fait pas mention dans le calcul, et ce nombre doit conséquemment être précédé du signe -}- ; de même , la quantité native isolée — 6 est censée diminuer une certaine quantité de même espèce, qui n^est pas Pobjet particulier du calcul actuel.

En général, il nous parait, avec un grand nombre de géomètres, qii^on lèvera toutes les difficultés , en regardant les quantités positives ou négatives conmie augmentant ou diminuant une certaine grandeur fixe, dont on ne £iît pas mention dans le calcul.

De cette manière, Vcxpression — a-f-a signifiera qu^il faut soustraire et ajouter une même quantité a à une grandeur de même espèce *, or, Teffet de Tune de ces opérations détruit celui de Tautre ; donc — a -|- a = 0. On verra aussi que —3a =— a — a— a. On est donc ainsi conduit aux principes du n** 27, sur lesquels est basé le calcul des quantités négatives isolées.

Nous aurions pu d^abord expliquer ces deux principes coipmc nous venons de Tindiquer; mais nous avons mieux aimé en faire Pobjet de conventions spéciales, afin de fixer les idées et de njavoir pas à fatiguer Inattention par des développemens, inutiles pour le moment, et qui sont beaucoup mieux compris lorsqu'^on en vient aux applications dos premières règles du calcid algébrique.

Ces développemens, au surplus, se réduisent toujours à montrer ce que signifie une quantité négative isolée, et réciproquement à faire voir du» quel cas une quantité doit prendre le signe — . Or, lorsqu'une quantité x d'un problème reçoit une valeur négative, elle diminue la grandeur fixe qu'elle augmentait d'abord ; elle doit donc changer d'acception, c'e6t-4i-dirc, par exen^e, exprimer une perte ^ si d'abord elle

désignait un gain. Réciproquement, lorsqu'une quantité a change d'acception, elle diminue la gmndeur fixe qu'elle augmentait d^abord; elle doit donc prendre le signe — . Et tel est, en r^umë, ce à quoi se réduit l'interprétation des solutions négatiyes.

Il peut cependant arriver que l'inconnue x ne soit pas susceptible de changer d'acception^ mais alors le signe — de sa valeur, provient du changement de signe de quelques-uns des nombres donnés du problème; et pour savoir quels sont ces nombres, il suffit de changer x en — x dans les équations proposées.

n est bon d'observer qu'un nombre absolu, comme la, peut aussi bien être destiné à une diminution qu'à une augmentation. Mais on est convenu de ranger les nombres absolus dans la classe des quantités positives; de sorte que 4) par exemple, est la même chose que -)- 4* ^^te convention est légitime ; car le nombre 4 ne saurait diminuer une certaine grandeur, sans augmenter en même temps une autre grandeur dHme acception contraire à celle de la première : diminuer les dettes d'une personne , par exemple , c'est réellement augmenter ses biens.

En partant des principes précédcns, rien n'est plus facile que de com< prendre l'addition algébrique. En effet, qu'il s'agisse, par ex., d'ajouter •— lo à -|-7 : comme alors les nombres 7 et lo sont censà augmenter et diminuer certaines grandeurs R et ^, dont on ne fait pas mention dans le calcul ; si on y fait paraître ces grandeurs , l'expression (-}- n) -|- ( — 1 0} sera la même chose que (« -|- 7) -h (/> — io)- Or , il est aisé de démontrer que p étant ^ 10, ce qu'on peut toujours supposer, on a

(« -h 7) + (;» — 10) = « + 7 + >» — ïo = « +f' — 3. Si donc on fait abstraction des grandeurs n et ^, qui ne doivent pas entrer dans le calcul, ce qui revient à les supposer nulles, l'égalité précédente deviendra ( ^ « j l ( 10) =: 3.

D'oà l'on voit que l'addition algébrique est une opération par laquelle on réunit plusieurs quantités de même espèce, affectées des signes -l* et — , pour en former une seule quantité, appelée somme. Ce qui est la définition du n° 35.

Les mêmes principes appliqués à la règle des signes, dans la multipUcation , servent à expliquer comment il se fait, par exemple, que ^-a X -— &=-|-A&. En effet, dans •— aX — &, les nombres a et 6 diminuent certaines grandeurs neip^ qui ne sont pas l'objet du calcul actuel ; de sorte que si on y fait paraître ces grandeurs , — a X — ^ sera la même chose que ( n — a) {p — b). Or, n étant plus grand que a , et ^ plus grand que b , ce qu'on peut toujours admettre , il est aisé de dânontrer

^c (n — a){p — b)=:np-^ap — bn-^ab.

Faisant donc abstraction des grandeurs n et p^ qui ne doivent pas entrer dans le calcul , et qui doivent par conséquent y être supposées nulles, l'égalité précédente deviendra

Et Ton Toît aDSsi par là comment il arrive qu^en supposant iM /ormules vraies poar tout^ lies, valeurs deS lettres qtii les Composent^ ob sdit conduit au caleul des quantités négatiy^ isoltfes.

Note II.

Sur la multiplication et la division des monômes.

La règle ( 47 ) pour multiplier un monôme par un monôme est cota* po5(^ des quatre règles particulières que voici : i° La règle des signet qui consiste à donner au produit le signe -f-, lorscjuc les signes du multiplicande et du multiplicateur bont les mêmes, et le signe — , quand Ica signes sont differens; a" Ln refile des cofjfficiens qui se re'duit à multiplier le coeflicient du multiplicande par le coeflicient du multiplicateur pour avoir celui du produit; 3' La rèf*le des lettres qui conslst/ï à écrire les lettres du multiplicande et du multiplicateur les unes à la suite des autres, en suivant Tordre alphabi'tique et sans placer aucun signe entre elles; 4" ^uHn, la rcglc des cxposans qui revient à ifocrire qu'aune seulo fois chaque lettre comme facteur au produit, et à lui donner pour expotant, la somme de ses exposans au multiplicande et au multiplicateur.

Au moyen de ces règles particulières, on aura

En effet, d'après la régir des signes (H) et parce qu'un produit ne change pas de valeur, dans quelquVrdre qu'on multiplie, il est clair que

— Sa^à^d X + 3a^b^c = — ^i^ù^d . 3« î^'c =: — 5 . 3a^a^bH\d = — i5 . à^a^ . ù'*l/^ ,cdr=:-^ iSiri^cd^

en observant que le produit ahr* contient 3 facteurs a et 4 facteurs a, ou 7 facteurs a, et vaut par conséquent ti' (20) ; que de mruic le produit b^b^ reuferme 4 facteurs b ci 'x facteurs ^, ou G fn<-lcurs ^, et vaut b^,

La règle de la division des monômes (G{) se compose des quatre règles particulières que voici : 1** La règle des signes; elle consiste à donner au quotient le signe 4* 1 lorsque les signes du dividende et du diviseur sont les mêmes, et le signe — , quand les signes sont diffcrens. 3** La règle des caeffîciens; elle se réduit à diviser le coefficient du dividende par le coefficient du diviseur pour avoir celui du quotient. 3** La règle des lettres; elle revient à ne pas écrire au quotient les lettres communes au dividende et au diviseur , et qui ont le méinc exposant. 3** EnGn ^ la règle des exposons; cUo consiste à n'écrire qu'une seule fois chaque lettre comme facteur au quotient ^ et à lui donner pour exposant soi;^ exposant au dividende moins son exposant au diviseur.

An moyen de ces règles particulières, on trouve que — i5a^b^c*d : — 3a33c»d = + SaW.

Et en effet, en multipliant ce quotient par le diviseur, on reproduit le dividende (47} : donc ce quotient est le véritable.

. En génënil, soit ee^h^ le dividende, ^a^b^ le diTÎseur et c^'o^^^le quotient, c^ cf^cff dësignant les cocfficiens *, on aura donc

Le produit du diviseur par le quotient devant toujours être le mémo qne le dividende , il faut que les coefficiens soient les mêmes de part et d^autre, ainsi que les cxposans de a et ceux de & ; on a par conséquent

€^€^* = <?, v4-* = "* jc^ " "^y = ^ \ ^^^ ^^^ ^re c" == ç t c', * = m — V et j^ =r o.

Ainsi on aura le coefTicicnt du quotient en divisant le coefficient da dividende par celui du diviseur \ on trouvera Pêxposant de a au quotient /en retranchant son exposant au diviseur de son exposant au dividende ; enfin, comme Pexposant jr de b au quotient est o, cette lettre n^y est pat 6ctenr et ne doit pas y entrer.

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Fautes à corriger,

figne 4* : + 35a^b\ Usez + 35aV.

> 20*, supprimez les mots : ou diviser.

> 4*1 ^^ remontant : -— , lisez -7--

1 ,-, en remont. : i^lZl^, lisez tî^^=^.

3* : 1111 08889, lisez 1 1 1 1088889.

lo"*, en remont. : =±= 5, lisez :à= i5. lo*, en remoiit. : rz — t', Zwez 1= h*,

1 o*, en rem. plus o diminue, /iV. plus a diminue. i5*, en remont. : Soit 20, lisez Soit 2a. 5', en rem., supprimez les mots : des carrés. le dénom. de la valeur C+D doit être 1.2.3.4.5. ligne X o* : produit de 3a*a;, lisez produit 3a'x. » ^•.•>(i/4î^)N^ez>(i,39)\

> 1 1* : 65i, lisez 656i.

» i3*, supprimez le mot Cette.

> i3', en remontant : 1 1700, Usez ii85o.