Il ^st clair que ^ ]> 1 ; et comme d'ailleurs n''^ mf
( 594 ) 1 on voit par les différences ( i ) , qu'on a , ^ — , — 7 !>
-- •— X ; donc — est plus approché de x que — j« Donc les
réduites successives approchent de plus en plus de la valeur du nombre réduit en fraction continue : et c'est de là qu'elles tirent leur nom de convergentes,
599. Puisque ^r > 1 , il s'ensuit que n^ÇnJj + m') > n'(n' + m') 5 et par suite, la seconde différence (1) donne
n' n'(n'-\-m') rv rviv nf n'nJ
Ainsi r erreur commise en prenant une réduite pour la va» leu^ totale de la fraction continue^ est toujours moindre que Vanité divisée par le carré du dénominateur de cette r^uite,
600. Soient —, , -; deux réduites consécutives, et soil'-: une fraction comprise entre elles -, je dis que ~ est plus compliquée que ces deux réduites. En effet , puisque -j est comprise entre les deux réduites proposées, -j diffère moins de l'une de ces deux réduites que celles-ci ne diflèrcnt entre elles ; on a donc (595)
tmf — mt* . \ nV — fn' ^ 1 •
■ ■ -^ ■ et ■ -^ — — .
On ne saurait avoir tm^ = mi*^ puisqu'alors en divisant de
part et d'autre par m!l\ il viendrait j = — , ce qui est contre
rhjpothèse. Donc les numérateurs tm! — mt' et ni' — tn! ne sont pas nuls ^ et comme ils sont nécessairement entiers, ils valent i , au moins ; ce qui exige qu'on ait mW >► m^n' et nW > m'u', ou l'>n' et t'^m!.
A cause de -r > — : cl de -, < — , il vient - < — et - > - :
donc la fraction - est comprise enti'c les deux — et — Par con-
séquent , on a aussi / > n et f > m. Donc la fraction - est plus
compliquée que les deux réduites — et — • Donc toute fraction
plus simple que ces deux réduites, ne saurait tomber entre elles. Donc enfin , cîiaque réduite approche plus de la valeur totale X de la fraction continue^ que toute autre fraction conçue en termes plus simples,
6oi. Les fractions continues doivent leur naissance à Téva-' luation approchée des fractions dont les termes sont trop considérables et premiers entre eux. Pour en montrer Tusage, considérons la fraction x = lîAif?. Si Ton réduit cette expression ea
lOOOUO •
fraction continue, on trouvera (691) ^
Ainsi les réduites consécutives seront (SgS) :
En prenant d^ abord ^- pour la valeur du nombre proposé , on commettrait une erreur moindre que 1 I 7 (7 + 1 ) ou que ^ (599) *, mais cette réduite donne encore une approximation plus considérable \ car x étant compris entre 7? et 4^ , il s'ensuit que . ^ différent de x d'une quantité «< y — t^ ou îtJî ; ainsi Terreur commise est beaucoup moindre que —;•
La quatrième réduite ^f, qui n'est guère plus compL'quëe que la troisième , donne une valeur bien plus approdiée \ car x étant compris entre f5| et ?^ , il s''ensuit que x = f^ , à moins de ' -^ près, c'*esl-à-dire , à moins de 0,00001 près. Les réduites suivantes sont trop compliquées pour être substituées avec avantage à la fraction proposée. Cette fraction est d'ailleurs le rapport approché de la circonférence à son diamètre, cooime on le voit en géométrie.
6oa. On peut réduire un non)bre donné en fraction continue, par un procédé qu^il est bon de connaître. Soit a le nombre donné et a^ sa partie entière \ le reste a — a' étant -^ i, le quotient b de I par a — a! sera ]> i . Soit V la partie entière àeh\ le reste, h — V sera donc <C i ^ et le quotient c de i par h — V sera ]> i . Soit d la partie entière de c ; le reste c — d étant '<^ 1 , le quotient ^I de i par c — d sera ^ i ^ et ainsi de suite. On a par conséquent
b rr ; , c =: -; rr , a in : • e zn = , etc.
Ces équations donnent
Ainsi on a cette fraction continue :
a = a\ h\ c', d\ e', etc.
6o3. Cette méthode s^applique aussi aux racines carrées irrationnelles. Mais alors, pour évaluer la partie entière de chaque quotient, il faut multiplier les deux termes de ce quotient par q( que devient son diviseur en y changeant le signe du terme sous* tractif. Par exemple, cherchons à réduire (/'S en fraction continue : on aura donc a = |/^3. La partie entière de a est évidemment a! z=.\\ d'où a — a! zzi L/3 — i, puis û rr i -f- j et
Multipliant les deux termes de ce quotient par [/^3 -^ i , il ne changera pas de valeur ^ et comme (1/3 — 0(1^^4' *)^^ (1/3 )' — I rz 3 — i rz 2 , il viendra
On voit que la partie entière de h est //zri \ d^où h — h'z=.
Il est clair que la partie entière de c est c'zr 2 ; ce qui donne c — d'=:\/Z — i, puis crz2-j--7 et dziz
Cette valeur de d est absoKimcnl la même que celle de ^;
donc , puisqu'^on a trouva* fcrzi-f--ctcn:2-j--, on obtien-
dra de même rfm-|--, erra + ^i ^ ainsi de fuite , à Pin-
fini. On a par conséquent cette fraction continue périodique :
[/3z=z 1, 1,3, 1,2, 1,3, 1,3, etc. à Tinfini.
On trouverait de même [/^ = 1,3,3,3, etc. à Pinfini , et ^5 = 3, 4i 4i 4i 4i ^^' à Pinfini.
6o4* Cherchons maintenant les nombres générateurs des fractions continues périodiques. Comme les périodes de ces fractions peuvent être composées dWe, de deux, de trois, de quatre, ..., fractions intégrantes, soit d^abord x:=za^ (, &, 5, 5, (, etc. ;
nous aurons
b -4" etc.
Puisque le nombre de fractions intégrantes est infini , il est clair que tout ce qui suit le dénominateur h de la première, forme une fraction continue parfaitement égale à celle dont la valeur est x — a ; on a par conséquent
X — azzL-r—, ; d'où (x — flY + ft(x fl)z=l.
Résolvant cette équation du second degré, on en déduira la formule
fl, l», ft, fc, fc, t, etc. =û — i6 + ij/6' + 4.
Soit maintenant x =:a, 2r, c, 2», c, &, c, &, c, etc. Si Poa raisonne comme dans le cas précédent, on verra que
a^ b, r, t, c, fc, c, fc, c, etc. zz: « — ic + l/ jc' + ^.
Enfin, si Pon pose
X = â, (, c, rf, fc, c, J, i, c, rf, 6, c, £/, elc,
j^ zz û, t, c, rf, tf, i^, c, J, e, fc, c, //, e, etc.,
on verra que les valeurs x et ^ de ces fractions continues périodiques sont données par les équations
(bc + i){x—ay + {bcd + b + d—c)(^x—a) = cd+i et
{b€d+b + iX.r-'ay+(bcde + bc+be + de—cd)(jr^a)
zzi cde -{- c '^' e.
Au moyen des formules précédentes , il est aisé de s^aséurer qu^on a
3, 6, 6, 6, 6, 6, etc. = (/lo ;
a, 2, 4, 2, 4, 2, 4, etc. = 1/6 ; 3, 3, 6, 3, 6, 3, 6, 3, 6, etc. = l/i i ; 1, 1, 1,2, I, 1,2, 1, 1,2, etc. = 1/1, et a, 1,1, 1,4,1,1,1,4,1,1, 1,4, etc. =1/7.
On peut vérifier ces résultats en opérant comme au n° 6o3.
60 5. Les propriétés des fractions continues fournissent une méthode pour calculer les solutions entières de Téquation
çj: + i»^ = c, ... (1)
tf , (, c, étant des nombres entiers, positifs ou ncgatifi, et a et .h premiers entre eux (i83). En effet, convertissons la fraction
- en fraction continue , et soit - la réduite qui précède la dernière-;^nous aurons (5g5)
aq — i>p = =±= 1 ; d^oii acq — hep = =t: c^
1* Si aq — J;? zn + 1 , on aura acq — hep z= c ; donc Tune des solutions entières de Péquation ( 1 ) sera x "=: cq ^i jr "zz — cp. Ainsi les autres solutions se déduiront des formules (186)
XTzicq — hu et j':=zau — cp,
2" Si aq — hp:=: — 1 , il viendra — acq + hep ru c ; donc Tune des solutions entières de Téquation ( 1 ) sera xz= — cq et j'zz.cp. Les autres solutions sont déterminées par les formules
xzz.hu — cq et jrzzcp — au.
Par exemple , si Ton a Téquation 3 1 r + 7^" = 45 , on convertira ^ en fraction continue ; ce qui donnera o, 4i ^i ^* ^^^ réduites seront donc vi x, -g- et ^. Ainsi on aura â:=:3i, 5 = 7, czn 45^ /? = 9 et qzzi'y d^où aq — hpzz — 1 et
xzz'ju — 90, J'ZZ^oS 3lM.
On résoudrait de même Téquation iqx + 17^ zn 25o.
Problèmes divers.
On propose de démontrer, 1° que si Ton ajoute 5 au carré de tout nombre non multiple de 3, la somme sera divisible par
3 \ a* que si Ton ajoiUe 5 au carré de tout nombre premier plus grand que 3 , la soiQme sera divisible par 6.
Quels sont les deuiL nombres entiers x et j" dont le produit est divisible exactement par la sonmier* (R. Il y a une infinité de ces nombres ^ qu'ion trouvera en désignant d^abord par d le p. g. c. d. de X et j-, etc. )
A dimensions égales, le drap de Sedan ne vaut que les ^ du drap deVerviers. Si les prix de ce^ draps venaient à diminuer, de manière que celui de Verviers coûtât i o^ de moins par aune, loo aunes de drap de Sedan à | coûteraient alors autant que 96 aunes de drap de Verviers à |, avant la diminution. Quel était à cette époque , fe prix d^une aune de drap de Verviers à | ? ( R. 5o^)
Un bâton est en partie plonge dans Teau et en partie hors de Peau. Si on le retire de a palmes, la partie dans Peau vaudra h fois Pautre, et si on Penfonce de c palmes, la partie hors de Peau vaudra d fois la seconde. On demande la longueur du bâton ?
U j a a ans Page d''un pcre était quadruple de celui de son fib, et dans 10 ans il n'*en sera plus que le double. Quels sont leurs âges actuels? (R. 26 et 8 ans.)
Des joueurs conviennent que Penjeu sera 1^; le jeu étant terminé , deux joueurs se retirent Pun avec 39*^ de gain et Pautre avec 1*^ de perte : aussi le premier a-t-il gagné 10 parties et le second seulement 2. Combien y avait-il de joueurs et combien ont-ils JQ^ué de parties? (R. 5 joueurs et 11 parties, valeurs qui ne satisfont pas à Pénoncé.)
Trois joueurs de force inégale , conviennent que le gagnant recevra des deux autres , savoir : a francs si ce gagnant est le premier joueur, h francs si c^est le second, et c francs si c^est le troisième. Après d parties, ils sont dans le même cas que s?ils entraient au jeu. Quel est le nombre de parties gagnées par chaque joueur ?
On a payé respectivement â, h et c florins à trois troupes d^ouvriers , dont les deux dernières contiennent chacune 2 ouvriers de moins que la première , Pune ayant travaillé 3 jours de moins et Pautre 3 jours de plus que cette première. Combien y avait-il d^ouvriers en tout ?
La sommé des quatre chiflres d^un nombre inconnu est 1 7 ;
( 3oo )
fi Ton supprime successivement le premier, le second et le troisième chi£Bre à droite, les nombres rësultans, retranchés du proposé, donneront respectivement les restes 6358, 636o et 63oo. Quel est ce nombre l' (R. 7064* )
Quel est le nombre dont la racine cubique est le tiers de la racine carrée ? ( R. 729.)
Démontrer que si les quatre nombres a, b^ c, J, sont proportionnels, les deux expressions ^ -(- 6 -}- ]/ab et c -f- ^ + ^cd auront pour somme tf + &-|-c + rf-^- y (a + c)(6-}-rf)i et pour différence tf-f*^ — c— -<£+ j/(a — c)(6 — d). La première propriété a lieu dans toute suite de rapports égaux.
Des droites situées dans un même plan , de manière qu^il n^en existe point de parallèles ni plus de deux concourant au même point, se rencontrent en ai points \ quel est ce nombre de droites? (R. 7.)
Partager le nombre donné a en quatre parties proportionnelles, dont le produit soit un maximum.
Quels doivent être les deux facteurs d W produit donné a , pour quVn divisant chacun par la racine carrée de Tautre , la somme des deux quotiens soit un minimum? Ou pour qu^en divisant le cube de chacun par Pautre , la sonomie des quotiens soit la moindre possible ?
Quel nombre n d^années a-t-il fallu à un particulier pour avoir 781 pigeons? On sait que chaque année il a acheté un nombre de pigeons femelles égal au rang de cette année, et que chaque pigeon femelle acheté une année , a produit chaque année suivante un nombre de pigeons mâles égal au rang de cette année suivante , à partir de celle de Tachât.
On trouve Téquation résoluble comme celles du a* degré :
Partager le nombre donné a en trois parties telles , quVn divisant par chacune déciles la somme des deux autres, la somme des trois quotiens soit un minimum.
Combien y a*t-il de plans qui se rencontrent en aao points , sachant qu^il n^en existe pas de parallèles ni plus de trois concourant au même point? (R. 12.)
Résoudre Péquation x^ — ax — (i-f-7)x*+7tfx+a'^r=:o.
( 3oi )
oh a et b sont inconnus et dont le premier membre se réduit à !i4 ou à — 24 1 suivant qu'on y suppose a; = 1 ou x = 3-
Etant donné un polynôme réciproque du 4°^' degré , comme iaj:*+ 8x^ + 4*^* + ^+1^1 décomposer ce polynôme en deux facteurs du second degré tels , que les coefBciens de Pun •oient ceux de Tautre ^ écrits dans un ordre rétrograde.
Plusieurs particuliers , au nombre de n , sont convenus que chacun achètera chaque année un nombre de pigeons femelles
Ëal au produit du rang de cette année par celui de Pachetcur. ; comme on suppose que chaque pigeon femelle acheté ou né «me année produit un pigeon femelle chaque année suivante, on demande combien ces particuliers auront de pigeons femelles au bout de m années ?
Réponse : in (n + i) [2'"+' — (m + 2)].
Quel est le nombre de choses dont le nombre de combinaisons 3 à 3 vaut 5 fois celui des combinaisons 6 kG? (R. 7.)
Quelle est la somme de tous les nombres de combinaisons que Pon peut former en prenant n choses iài,2à2, 3à3,4^4i ..., nkn? (R. 2'*—!.)
Résoudre Péquation ax^ — (2fl-|-&+2)x^ — (^a'\-iib)x^ + ex* + (2c + i o) x + 36 zz: o , dont le premier membre est le carré exact de px — qx — 6 : les nombres a^h^c^petq étant d'ailleiurs inconnus.
Soient S^, S^, S3, S,, ..., les sommes des puissances i'*, 2*, 3*, 4*1 ••• 1 ^€* racines a^ b^c^d^ ...^ /, dWe équation Xtizo du degré m en x\ si on divise le polynôme X successivement pa« X — a^ X — &, X — c, ..., x — / (486), la somme des quotiens sera la dérivée X, de X (539). ^° ^^^^ donc ainsi une identité qui établira les relations existantes entre les coefBciens de X z=: o et les sommes S,, S^, S3, S., etc. On propose de calculer ces relations, d'après la méthode que Pon vient d'indiquer.
( Vcjez les Mélanges d'algèbre y pour un plus grand^ nombre d'applications et d'exercices ^ propres à exciter la curio* site et Vintérét.)
