ET D'APPLICATIONS ALGÉBRIQUES

J \t réuni , dans le présent ouvrage , les matières qui ne font pas parties essentielles des traités d'Arithmétique et d'Algèbre , ce qui me permettra de rendre ces ouvrages moins volumineux et moins chers, même en y comprenant le prix de celui-ci.

Tous les Professeurs savent que, ponr ëclaircir les théories et les mieux fixer dans la mémoire, il faut les Ëdre suivre de quelques applications ; ils savent que les problèmes, en excitant la curiosité, font naître le désir de les résoudre ; ce qui procure aux élèves le double avantage de développer leur intelligence et de les familiariser av^c les combinaisons du langage analytique. Sous ce point de vue , quel que soit d'ailleurs l'ouvrage qu'ils auront à suivre, celui-ci leur sera toujours très-utile? , tant pour appliquer les 4)rincipes et les règles du calcul analytique , que pour se familiariser avec les moyens de simplifier ce calcul et d'en éluder les difficultés ; ce qui est l'objet le plus important de l'étude de l'algèbre.

De V Arithmétique destinataire,

1. L'Arithmétique devinatoîre proprement dite, n'est autre chose que la manière de deviner le nombre qu'une personne a pensé , en lui faisant effectuer certaines opérations numériques propres à découvrir ce nombre. Rien n'est donc plus facile que de se créer des méthodes pour trouver le nohibre pensé : aussi les faiseurs de tours ont -ils toujours bonne provision de ces méthodes. Voici un exemple bien remarquable de la manière dé deviner des nombres : -

2. Un joueur de gobelets promet de nommer la personne qui aura pris une bague en secret, et de déterminer la main, le doi^ et la jointure où cette bague sera , h condition qu'on fera les cinq choses, qu'il va prescrire,- dans l'<M*dre suivant :

i" Doublez, dit-il, le nombre qui mar(|ae le rang de la personiie qui a pris la bague , et ajoutez 5 à ce nombre ^

2* Multipliez la sonune par 5 et ajoutez-y lo ;

3* Ajoutez à la dernière somme , i pour la main droite , et 2 si c^est la gauche, et multipliez le tout par lo ;

4^ Joignez-y le rang du doigt, en conunençant par le pouce, et multipliez le tout par lo ;

5* Enfin, joignez à cela le rang fie la jointure e^ 35, et donnez cette dernière somme.

De cette somme, le joueur de gobeleu soustrait 3535, et le reste est composé de 4 chiffires , dont le i^**" indique le rang de la personne, le 2* le rang de la main, le 3* celui du doigt, et le 4* cel^ ^^ ^^ jointure.

Par exemple, si cVst la 4* personne de la compagnie, suivant k rang , qui ait pris la bague ; qu^elle Tait mise à la main gauche, , désignée par 2 \ que ce soit au 4* doigt et h la 2^ jointure ^ en faisant les cinq opérations prescrites, on trouvera 7777.

Soustrayant 3535, on aura 4^4^ 1 ^^^^ ^c i**^ chiffre 4 csi efifectivemcnt le rang de la personne , le 2* 2 la main gauche , le 3^ 4 ^c f^^ ^u doigt et le 4^ 2 celui de la jointurq.

Pour voir comment on est ainsi conduit à trouver ces quatre nombres, soit p le rang de la personne, m la main, d le rang du doigt et/* celui de la phalange^ en exécutant les cinq opérations prescrites, on obtient iooop-^ioom-^iod'\^f~\'35Z5^ et comme ce nombre est égal à 7777, il vient, en retranchant 3535 de part et dVutre ,

looojc; + loom "^-lod +/*= 4^4**

Cette égalité ne peut subsister que quand on a ;9rr4, m=2, dizii^ ci fz=ziz.

3. G)t exemple suffit bien pour montrer que rarithmétique devinatoire n^est qu'aune espèce de jeu, dont la subtilité consiste à faire dire aux spectateurs la chose qu^on demande, en Penveloppant dans différentes opérations , afin de leur en dérober la connaissance. G^cst aussi à cette arithmétique qu'ion peut rapporter divers tours de cartes, tel que le suivant :

4* On prend un jeu de m cartes, où les as et les figures comptent pour 10 points ; on en forme p paquets contenant chacun ,n points ^ de manière que la première carte de chaque

paquet compte pour le nombre de points qu^clle indique, et toutes les autres pour un point chacune. Trouver le moyen de deviner le nombre total de points indiqués par les premières cartes de tous les paquets.

Soient a, (, c, €2, ..., les nombres de points respectifs des 1 '*' cartes des p paquets ; il est clair que les nombres de cartes quMl aura fallu ajouter aux p premières , pour former tous Jles paquets, sont respectivement : n-— û, n— fc, n— c, n — d^ ...; le nombre de cartes employé est donc fi+pn-— a— •i — c — d — — ; par conséquent le nombre de cartes restantes est m'^^ p — pu -|-^ + 1 + c + ^"f* ••• Si donc à ce nombre de cartes restantes, on ajoute le nombre connu (i -f- n);? — m, la somme â-j-fr-f-c-f-rf-f-*** sera égale au nombre de tous les points indiquéjs par les p premières cartes des p paquets.

Soit donc x le nombre total de points indiqués par les i'*' cartes des p paquets et k le nombre de cartes non employées^ on aura, pour résoudre le problème proposé, la formule

5. A parie avec B quil devinera^ dans un jeu de 07 cartes^ celle que B aura pensée* Comment À pourront^il gagner h pari?

A gagnera le pari, en opérant conmie il suit : 1** après avoir mêlé à volonté les 27 cartes , A fera trois paquets de g cartes chacun, en posant d^abord de gauche à droite, la première carte de chaque paquet, la couleur en dessous, puis la seconde sur la première, toujours de gauche à droite, puis la troisième, et ainsi de suite, ayant soin, avant de poser chaque carte, de la montrer à B^ de manière qu^il ne puisse la voir lui-même r et cela fait ' A placera les paquets le& uns sur les autres , sans les mêler. 2* A recommencera à faire trois nouveaux paquets, exactement comme la première fois , avec les mêmes attentions , et les i*elevera encore sans les mêler. 3** A fera de nouveau trois paquets, comme dans le premier cas, et les relèvera de la même manière. Alors, les rangs étant comptés du dessus vers le dessous, B dira que le paquet contenant la carte pensée, occupait dans le jeu^ le rang à après la première opération, le rang h après la seconde, et le rang c après la troisième ; et au moyen de ces seules don^ nées, A connaîtra le rang x de la carte pensée, dans le jeu, et pourra par conséquent la deviner.

En elTet, i° après la première opération, la carte pensée ne peut occuper dans son paquet que le rang i au moins, et le rang g au plus. Mais puisqu^Àn n'^assigne à ce paquet que le cang a, on met donc (a — i ) autres paquets de 9 cartes chacun , audessus de lui; il.s'^ensuit, qu^après les cartes relevées, la carte pensée se trouve occuper dans le jeH, au moins le rang 9(0 — 1 ) •{* 1 = 9a — 8, et au plus le rang 9 (û — ^^ 1) + 9 = 9a.

!)° En formant de nouveau les paquets , on pose d^abord au moins 9 (^ — 1) cartes distribuées en trois paquets de diacun ' 3 (a-— 1) cartes, dont aucune ne sera la carte pensée, laquelle, conséquerament, en aura au moins 3 (a — 1) sous elle, dans son paquet ; tandb qu^on ne pourra pas en poser 9^ , et conséquemment, 3a dans chaque paquet, sans faire passer la carte pensée qui, en conséquence, en aura au moins 3a — 1 sous elle, dans son paquet *, donc puisque chaque paquet contient 9 cartes , il «''ensuit que la carte pensée occupera , dans son paquet , au moins le rang 9 — (3a — i)=io — 3a, et î^u.plus le rang 9 — 3(a — i)=:iai — 3a.

Mais puisqu^on n^assigne à ce paquet que le rang 6, on met donc au-dessus de lui (b — 1) autres paquets de 9 cartes chacun; d^où il suit qu^après la seconde opération, la carte pensée occupera dans le jeu, au moins le rang 9(fc — 1)4-10— 3a =9^ — 3a+i, cl au plus le nmggÇb — i)-|-i2 — 3a=:.gb — 3a-{-3.

3^ Il suit de là qu^en reformant les paquets, on pose au moins . dans chacun, Zb — a cartes, sans avoir employé la carte pensée, mais qu^on ne peut en poser dans chacun, 3b — a-|- 1 , sans avoir fait passer cette carte ; elle aura donc, dans son paquet, au moins ib—aei au plus 3i— -a cartes sous elle; elle y occupera donc au moins le rang 9 — 3&-|-a, et au plus le rang 9 — 36-f-a ; cVsl-à-dirc qu'elle y occupera précisément le rang 9 — 3^ + a.

Mais puisqu''on n'assigne à ce paquet que le rang c, on place donc au-dessus de lui (c — 1) autres paquets de 9 cartes chacun ; d'où il suit qu'après Ja 3°*' opération, la carte pensée occupera dans le jeu , le rang x = 9 (c — 1 ) +^9 — 3t -f- a , ou

Ainsi, après la 3* opération^ la carte pensée occupe dans le jeu , et du dessus vers le dessous^ un rang égal au premier rang du paquet contenant cette carte , mpins 3 /bis le second ' rang de ce paquet , plus c^/ois le 3"**.

6. G; tour est généralisé dans le tome 4"'* des Annales de Mathématiques^ par M. Gebgomke. Consultez cet excellent Recueil, ainsi que les Récréations physiques et mathématiques d'OzkVÀM^ refondues par M. de M^**, où Ton donne plusieurs applications de rArithmétique devinatoire. En voici encore un exemple :

Dans un jeu de c cartes^ on en tire b, dont on vous de* mande de deviner la somme p des points^ le valet étant de 1 1 points^ la dame de 12,' et le roi de i3.

Pour cchi, vous prenez un nombre a qui surpasse le nombre de points de la plus haute carte ; vous dites à une personne de compter en secret le nombre p de points des b cartes tirées ; de prendre à part^ dans le restant du jeu, autant de cartes qu^il y a d'^unités dans ab — p et de faire connaître le nombre d de cartes qui restent *, alors vous aurez

' p=zd+b(a+\) — c.

De quelques séries périodiques, fournies par la

dhisiqn numérique.

7. J^appelleraî série périodique^ toute suite infinie de frac* tions dont les dénominateurs sont les puissances successives d^un même nombre entier, et dont un on plusieurs numérateurs ler viennent sans cesse dans le même ordre. L^ensemble des fractions dont les numérateurs reviennent, forme une période de la série périodique. Par exemple, la suite

\A h — + ^+-75 + --- + clc. àPinfim*,

est une série périodique, dont -j -|- - est la première période.

8. Voyons d^ibord comment on peut réduire une fraction en scrîc périodique. Proposons- nous, par exemple, de réduire ~ en parties de 4 en 4 fois plus petites. Pour cet effet, nous dirons: y = le tiers de i = le tiers de -j. Or le tiers de j est ^, pour i, et il reste -j-, qui vaut ^ : le tiers de ^ est ^, pour ^5, et il reste ^, qui vaut ^ : le tiers de ^ est ^, pour i, et il reste ji, qui vaut ^ : ainsi de suite, à Finfini. On a par conséquent

nfîni.

n résulte de ces calcuk, que pour convertir une fraction en ime suite éP autres dont les dénominateurs deviennent de cen c fois plus grands^ il faut diviser par le dénominateur pro^ posé^ 2e 1*' numérateur et ceux des fractions que Von trouve en convertissant chaque reste en parties cfois plus petites.

9! Diaprés cette règle, si Ton réduit ~ en parties de 3 en 3 fois plus petites, et -^ en parties de 4 €>^ 4 ^^^ moindres, on trouvera

La 1'* de ces fractions se réduit exactement eh parties de 3 en 3 fois plus petites , parce que son dénominateur 729 est une puissance de 3 ; mais la a* fraction i> ne peut se réduire exactement en parties de 4 ^n 4 ^^^ P^^ petites, et donne lieu à une série périodique, parce que son dénominateur est 1*' avec 4*

lo. En général, lorsque le dénominateur d^une fraction irréductible est premier avec c, cette fraction ne peut jamais se convertir exactement en parties de c en cfois plus petites»

En effet, soit 7^ la fraction irréductible proposée, dans laquelle

h est premier avec a et c. Si cette fraction pouvait se réduire exactement en parties de c en c fois plus petites, c^est-à-dire en une suite de fractions dont les dénominateurs successif fussent c, c', c , ..., c^; la somme de ces fractions prendrait la forme

~ , et Ton aurait