î; d'où -r-=:dfc

Or, h est premier avec chacun des facteurs du produit aiP^\ donc h ne divise pas ce produit; donc dk n^est pas un nombre entier. Mais d en est un \ donc h. ne serait pas un nombre entier \ ce qui est absurde , puisque k est la somme de plusieurs nombres entiers : donc réellement la fraction proposée ne saurait se réduire exactement en parties de c en c fois plus petites,

1 1. Si le dénominateur hd n'avait d'autres facteurs prcnuers que ceux de c, élevés chacun à une certaine puissance, on pourrait toujours prendre m assez grand pour que c^ fût divisible par hd\ donc h serait un nombre entier, et la fraction proposée

pourrait se réduire exactement en parties de c en c fois plus

petites.

12. Voyons maintenant ce qui arrive quand on veut exprimer en parties de c en c fois plus petites, une fraction irréductible dont le dénominateur est premier avec c. D^abord si cette fraction est plus grande que Punité, on en extraira les entiers, et on n^aura plus à considérer qu'aune fraction moindre que Funité.

Soit donc 7 une fraction irréductible -^ 1 , dont le dénomina-

teur b est premier avec a et c. Pour réduire cette fraction en parties de c en c fois plus petites, appliquons la règle du n** 8. Soient ft f'i 9'^ <7"\ "m ^^ quotiens successifs, et r, r', r", r"', ... les restes correspondans \ -les dividendes successils seront ac^ cr^ cr'^ cr"^ ... ; on aura par conséquent

crz=ih(f ^r' cH=bq" + r" cr" = b(f" + r'" . etc

Comme r ne saurait se réduire exactement en parties de c eu

c fois plus petites (10), les divisions se continueront sans jamais donner un reste nu) ; et comme chaque reste est moindre. que le diviseur &, il j aura tout au plus b — 1 restes difTérens': donc on retrouvera nécessairement Tun des restes déjà obtenus , et la série sera périodique.

Soit H" le i*' reste pgal à Tun de ceux qui le précèdent : on n^aurà pas r^^^ir"'^ car si cela était, on aurait aussi

Or, r' et /*" étant chacun moindre que ô, r' — r" est aussi moindre que b, D^ailleurs le second membre de Péqualion (1) étant divisible par 6, il en est de même du premier. Mais b est premier avec d ; il laut donc que b divbe r' — r", nombre moindre que lui ; ce cjui ne saurait arriver que dans le seul cas de r' — r"=o ou de r"z=ir'. Ainsi r"' ne serait pas le premier reste égal à Tun de ceux qui le précèdent; ce qui est, contre rhjpothcse : donc on n^aura pas r"' = r". On verra de même qu'on ne saurait avoir r^'zzir', ni r'"=^r\ et si l'on n'avait pas r'":=:a^ r"' ne serait égal à aucun des restes précédens; ce qui est contre la supposition. Donc il fiemt que r"'z=za^ ce

qui donne cr*'^ t=. ac. Mais piÀque les dividendes ac et cr'^^ sont les mêmes , les quodens q et q^^ seront aussi les mêmes , ainsi que «les restes r et 9^^. D^où il suit que la valeur cherdiée

de j- est une série përiodique, commençant par la fraction • , er

dont les numérateurs, dans chaque période, sont </, q\ <f^ et (f^K De plus , la division qui donne le dernier numérateur €f^^ dans chaque période, laisse un reste r'^ çgal au numérateur a de la fraction proposée.

i3. En général donc, si Von réduii en parties de c'en cfois plus petites une fraction irréductible^ doni îe dénominaUur est premier avec c , on trouvera une série périodique^ cbmn mencant par la l'^fraàtion de la i^ période; et le reste obtenu , après avoir calculé le numérateur de la dernière fraction de chaque période^ sera égal au numérateur de la fraction proposée. G^est par exemple, ce qu^on verrait, en réduisant la fraction n en une suite d^autres', dont les dénominateurs soient les puissances successives de 5 (8).

i4« Supposons maintenant que b elc aient des facteurs communs et qu^on ait, par exemple, b=zkde et c=zVae*. H est clair que dans la 1'' division, le dividende et le diviseur sont ak'ae^ et kd e \ ils donn/ent donc un quotient q avec un reste de la forme rd e'. Dans la 2** division , le dividende et le diviseur sont rdre^ et kae ^ ib fournissent par conséquent un quotient (/' et un reste de la forme r^d^e. De sorte que

« ' ^ x sf • f^^^^

Si la fraction 7- n^était pas irréductible , on la rendrait telle

en supprimant le facteur commun à ses deux termes. Et comme le dénominateur k était premier avec c, avant cette suppression, il est clair qu^il le sera encore après. De sorte qu'ion peut tou-

jours admettre que 7- est une fraction dont le dénominateur est

premier avec r' et c. Si donc on réduit cette fraction en parties de c en c fois plus petites, on aura une série périodique, commençant à la prçmière fraction partielle y donc - sera égale à

une série périodique mixte ^ dont la période commence immédiatement après les deux premières fractions partielles.

( II

On verra de même que si fc = kdPf^ et c=: A'd^f*, la fractiou 7 sera égale à une série périodique mixte, ^ont la période commence après les' trois ou — premières fractions partielles. Si b = kd^e et c = A'd^e*, la période. conunencera après la i'* fraction partielle ^ et il en sera de même pour b = kd^e^ et c = k'd'eK

1 5. De là et de ce que le quotient en dehors de 7 par 4^ p&r exemple, est 2±i on 2 (*), il résulte, que touies les fois que le dénominaieur b a des facteurs communs avec c, la fraction proposée est égale à une série périodique mixte , dont la période commence immédiatement après autant de fractions partielles qu'il jr a d'unités dans le plus grand quotient en dehors qu'on obtient en divisant Fexposant, de chacun des facteurs dans b par V exposant du même facteur dans c. CTest d^ailleurs ce que Ton peut vérifier en réduisant ^ en parties de 6 en 6 fois plus petites et ^ en parties de 20 en ao fois moindres.

16. Cherchons actuellemeikt à déterminer la génératrice d'aune série périodique donnée. Supposons d^abord cette série périodique simple^ et prenons, par exemple,

^ = i 4. 2 4. ' + • 4. ' ^- -g -I- etc., à rinfini ... (a)

Si-Ts^-TsS

Coite égalité fait voir cjfuVn réduisant -r en parties de 5 en 5

fois plus petites, on a divisé 5ft par d^ ce qui a donné j au quotient avec le reste r^ oti a divisé 5r pai* J, et on a trouvé 1 au (juotient avec le reste r'\ enfin on a divisé 5r' par d^ et il est venu 3 au quotient avec le reste r'\ qui doit être égal à n ( 1 3). Ou a par conséquent les équations

5n = rf+r ) i a5it = 7rf + r'

5r=2£i-fr' [ d'où | 1 iSfi = 38f/ -f n 5H = 3i/+it ) ( elia4ii = 38rf.

Cette dernière équation fournil - = — ^ = ^ =: rj;— .

(*) On. appelle quotient en dehors^ celui qu^on trouve en ajoutant an dividende assex cruuités pour qu^il coalienne eiactement le diviseur* Ainû les «ptoticns en dehon de 17, 18, 19 par 4i sont Unit ^aux à 5t

On^auralt trouve la valeur précédente en multipliant les deux membres de (2) par 5 , puis en observant que tout ce qui suit les trois premiers termes dans le nouveau second membre , est une série périodique simple par&illément égale à la proposée,

et doit être remplacé par ^*

17. On voit, par le résultat précédent, que pour trouver la généroirice éCune série périodique simple , il faut prendre la somme des fractions partielles qui composent la i"^ période et diminuer de île dénominateur de la fraction qui en résulte. Gesl ainsi que

f + ? + ? + P + etc.,àrinfini=^=|,.

* et I — -r +5 — -îT, + elc., àFinfinî = -7 =7.

On vérifie aisément cette dernière valeur, diaprés la règle du ^n* 8 et en prenant tous les quotiens en dehors.

18. Si la série périodique est mixte, il suffira de remplacer la série périodique simple qui suit les 1'*' fractions partielles par sa valeur, trouvée au moyen de la règle précédente (17). Ainsi

19. Il est évident que tout ce. qui vient dY*tre dit sur la réduction des fractions ordinaires en séries périodiques , et réciproquement , s^applique de point en point à la conversion des fractions ordinaires en décimaleis , et des fractions déçiiliales périodiques en fractions ordinaires.

De la divisibilùé des nombres.

20. Soit k un nombre entier quelconque. Concevons qu^on ait partagé ce nombre en tranches de m chiffres chacune, en allant de droite à gauche, sauf la première tranche à gauche, qui peut avoir moins de m chiffres *, et soient , en allant aussi de droite à gauche, a, &, c, r{,.e, etc., ces tranches, considérées cçmme autant de nombres isolés : puisque 1 suivi de m zéros •=. 10*^, i suivi de im zéros = lo**^, etc., on aura évidemment

fc = tf+*io"* + cio''»+rfio''^+«io^+ctc.

Faisant io'^=x; d'où io»^=x% Io''"=x^ etc., il viendra

b = a+bx + cx* + dx^+ ex^ +fx^ + etc .

Cette éqnatioù peut être mise sous Pune des trois formes que voici:

k = a+[b + cx + dx^+ ex^+fx^+ etc.] x,

jt=z[fc(r— i) + c(:p*— O + '^V— 0 + etc.] + {a + b + c + d + e+f+etc.), .

*=:[A(x+i) + c(x'— i) + rf(x'+i)+«(ar*— O + clc]

+ (^ + c + ^+...)-(^ + ^+/+"0- Les premières parties des deux dernières expressions de k sont divisibles. Tune par x — i et Pautre par x-f-i (Algèbre). Donc, si Ton désigne par ^ et ç les quotiens respectifs et par r le multiplicateur de x, dans la première expression de Ar, il est clair que p^ 47, r seront des nombres entiers, et il viendra, en remplaçant x par lo*^,

(a)...fc=|i(io'^— i)4-(a+6 + c+d+e+/+etc.),

(3)...* = 9(io'^+i)+(fl+c+tf+...)— (*+^+/+-). Ces équations fournissent un grand nombre de conséquences. D^abord, à cause de io"*=2"*. 5*^, Téquation (1) prouve que, tout nombre, dont les m premiers chiffres a à droite forment un multiple de a*" ou de 5'^, et divisible exactement par 2"* ou par 5'".

-Si m = 1, a sera le premier chifire à droite du nombre ^, et Téquation (1) montre, i"* que si a est ou n'est pas l'un des chiflires o, 2, 4) 6, 8, le nombre k sera ou ne sera pas divisible par 2^2** que si a est ou n'est pas o ou 5, le nombre k sera ou ne sera pas divisible par 5 ; 3** enfin , que si a est ou n'est pas o, le jiombre k sera ou ne sera pas divisible par 10. Donc il en résulte trois principes démontrés en arithmétique.

Lorsque m=i, on a 10"* — 1=91 et fl+fc+c+rf-f^/^-etc. est la somme de tous les chiffires du nombre k. L'équation (2) montre que si cette somme est ou n'est pas multiple de 3 ou de 9, le nombre k sera ou ne sera pas divisible par 3 ou par 9. Ce qui est encore un- pnncqie démontré en aritfamétîqae.

( t4 ) Quand m=ri, il vient lo'^-j-irrii ; et alors a+c+€-f ... est la somnit^ des chiffres de ranjp impairs du nombre k'^b-{'d +/"f' '" ^^ '* somme des chiffres de rangs pairs. L^cquau'on (3) montre que, dans ce cas, tout nombre est ou n*est pas dwisihle par 1 1 , lorsque la somme de ses chiffres de rangs impairs^ moins la somme de ses chiffres île rangs pairs^ donne un reste mabiple ou non de-ii. Par exemple , 1 1 divise 2 1 34 Cl 31537.

En posant m = î, lo*" — 1=99=111 .9 et a-}-ô-j"^+ d-^clx:.^ désigne la somme des tranches de deux chiffres du nombre A: , et Téquation (s) fait voir que si cette somme est oil n^cst pas divisible par 11 ou 99 , le nombre A: sera ou ne sera pas divbible par 1 1 ou 99.

Si m=i 3, on aura lo*^ — 1 = 999 =2 27 . 37 ; et Féquadon (:2) prouve que tout nombre k est ou n^est pas divisible par 27 ou 37, lorsque la somme de ses tranches de trois chiflres est ou n^est pas un multiple de 27 ou de 37.

La même hjrpolhèse de m = 3^ donne 10*"+ 1 = 1001 = 7 . 1 1 . i3 *, et Téquation (3) fait voir que tout nombre est ou n^est pas divisible par 7, par 1 1 ou par i3, lorsque la somme de ses tranches de trois chiffres de rangs impairs , moins la somme de ses tranches de trois chiffres de rangs pairs^ donne un reste multiple ou non de'] y de 11 ou de i3. Ainsi les deux nombres 34168897 et 5671238935674 sont divisiUes, le i" par 7 et le 2* par i3.

' Il existe des principes analogues aux prcccdens pour tous les systèmes de numération.

21. Apres avoir trouve les diviseurs premiers du nombre entier N ( ArithméUquc ) , et Tavoir ramené à la forme N = (^l^cP ,^,^ si Ton veut obtenir tous ses diviseurs composé^^ o\\ ' formera d^abord les séries

i,tf,a%a ,...,a'"; i^b^b^^b ^,.,^b"\ i,c,c%c , ...,c''i etc.

Ensuite, on multipliera chaque terme de la i'* série pai* chaque terme de la 2* \ puis diaque terme de la série résultante par chaque terme de la 3', et ainsi de suite. En effet, de cette manière, on a tous les produits des diviseurs simples tf , 6, c, etc., multipliés iài,2à2,3à3, etc. -, et dans tous ces produits, les exposans de £X, &, c, ..., ne surpassent pas m, n, p^ etc.

Donc ions ces produits sont diviseurs de d^h^cP etc. ou de N, et il n^ cil a pas d^autres.

11. La r* sérié a m+i termes, la ^''n-f-ii la 3";;-f-*i ^tc. Or, en multipliant les m-J-i termes de la i'* série par un terme quelconque de la 2**, on a évidenunent m -|- i produits : donc en multipliant chaque terme de la i'* série pardiaque terme de la 2*, on aura (wi+ï )('* + *) produits ^ en moldpliant chaque terme de la série qui en résulte par chaque terme de la 3* scrie^ on aura (»t + i) (« + 0 (P + *) produits ; et ainsi de suite. Et comme ces produits sont tous les diviseurs de N , il sVnsuit que pour savoir combien un nombre entier a de diviseurs^ il faut le décomposer dans ses facteurs simples y puis ajouter Funité à V exposant de chacun de ces facteurs^ et le produit des sommes résultantes sera le nombre de diviseurs demandé.

Par exemple, le nombre 36o =: 2 . 3* . 5'^ donc le nombre de diviseurs de 36o est (3+i)(2+i)(i+i) ou i^. En effet, si Ton forme les,trois séries : i, 2, 4i ^î ii ^i 9 et i, 5; quVnsuite on opère comme il est dit plus haut (ii), on verra que les diviseurs de 36o, sont: i, 2, 4i ^i ^i 6, 12, 24, 9, 18^ 36, 72, 5, 10, 20, 4^1 i5, 3o, 60, 120, 4^1 90, 180 et 36o.

On reconnaîtra de même que i44 & i5 diviseurs, savoir : 1, 2, 3, 4i 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24^ 36, 48, 7a et i44* On peut chercher tpus les diviseuB de 6821200 et de 4370265900.

23. On appelle nombre parfait tout nombre égal à la somme de SCS diviseurs , excepté lui-même. Cherchons un nombre N qui satisfasse à cette condition. D^abord N ne saurait être un nombre premier, car la somme de ses diviseurs, hors lui-même, ne serait que Tunité. Supposons donc que N soit de la forme (i'^h , a et fr étant premiers. Puisque a^b doit être égal à. la somme de ses diviseurs, excepté lui-même, on a (22)

Or, b doit être un nombre entier; il faut donc que le dénoroinatcur soit égal à Pqnité , car si cela notait pas , le reste de la division du numérateur de b par le dénominateur , serait

2(1 4-tf + <*' + û'+***-h<»''^')i et tf étant positif, ce reste ne se réduirait pas à zéro \ on doit donc avoir

( >6 ) o'»—(i + a + a'+o'+. .. + «'»-*) = 1. Gitte équation détermine d, car elle revient à

a™ — = I. oua — i-i i — = i:

et on voit que l%ypothèse a = 2 sadsiait seule à la dernière égalité. La valeur a de a, donne

et pourvu que h soit premier, a Tétant déjà, cette valeur de N jouira de la propriété demandée. Ainsi, pour avoir le nombre N, on additionnera les nombres 1, 2, 2*, a', 2^, etc.^ jusqu*à ce qu^on obtienne une somme égale à un nombre premier; on multipliera cette somme par la dernière puissance de 1^ à laquelle on s'^est arrêté^ et le produit satisfera à la question* Par exemple, 1 + 2, 14-^ + 4^ 1 + 2^ + 4 + 8 + 16, etc. donnent des nombres premiers ; et en appliquant la règle précédente, on trouvera les nombres parfaits que void :

6, 28, 496, 8128, 3355o336, 858g86go56, etc.

24* Il J a des nombres qu^on nomme amiables entre eux, à cause d^une propriété qui leur donne une sorte d^afEnité. Elle consiste en ce que les parties aliquotes de Pun sont ensemble égales à Tautre, et que réciproquement, les parties aliquotes de celui-ci donnent une somme égale au premier.^ Par exemple, les deux nombres 220, et 284 sont amiables entre eux^ car les parties aliquotes du i"" sont 1, 2, 4i 5, 10, 11, 20, 22, 44i-I^Si 1 10 et celles du 2"^*, 1 v 2, 4^ 7I1 i4^ î ^^i ^^ sonmie des premières parties aliquotes donne 284 1 et la somme des dernières . fournit 220. De même, 17296 et 18416 sont amiables, ainsi que 9363584 et 9437056. Nous ne pouvons démontrer ici la méthode pour trouver deux nombres amiables entre eux.

25. On sait que in exprime le n"^ nombre pair et 2/1 «» 1 le n^* nombre impair \ car en faisant successivement n = 1 , 2, 3, 4i ^1 6, 7, etc., 2/1 fournit la suite des nombres pairs 2, 4y ' 6, 8, 10, 12, ]4i etc., et 271 — 1 la suite des nombres impairs 1, 3, 5, 7, 9, 1 1, 1 3, etc. On place o parmi les nombres pairs.

26. Suivant que le nombre x des diviseurs d'un nombre en^ lier N est impair ou pair^ ce nombre N est ou n*est pas un

carré parfait. Car N = a^b^cF de. et r = (m + 1) (n + 1 ) (^ -f" 0 c*^' (^^)î ^"^1 ^ ^^ saurait être impair que quand m 4-I1 n + ii f^+^i etc. sont des nombres impairs eux-mêmes 5 ce qui eidge que m, n^ p^ etc. soient des nombres pairs, et que par suite, N soit un carre parfait. Ainsi i44 seyant 1 5. diviseurs est un carré parfait.

17. La différence des carrés de deux nombres impairs est divisible par 8 ; car on a (2a — i )' — (2b — 1 )* = 4 (^ — i) (^a + b — i).

La différence entre le cube d^un nombre et ce nombre même est toi^ours divisible par 6; comme on le voit par a^^^azz:

28. Tout nombre premier^ excepté 2 e£ 3 , augmenté ou diminué de V unité y^ donne un résultat divisible par 6; car tout nombre entier est compris dans Tune des 6 expressions 6/i-f-i; 6/1 + 2, 6n + 3, 6rt + 4, 6/1 + 5 et 6n + 6. Mais les deux expressions 6»+ ' et 6fi + 5 peuvent seules renfermer les nombres premiers ; de sorte que si elles ne contenaient pas d^autres nombres, on en déduirait facilement tous les nombres premiers. -

On n^a pas de formule qui renferme tous les nombres premiers seuls.

29. Voici encore plusieurs principes de divisibilité, faciles à

démontrer par les premières règles de Tidgèbre :

Tout nombre carré est divisible par 3, ou le devient étant diminué de Tunité.

Tout carré est divisible par 4 ) o^i 1^ devient dés qu^on le diminue de Tunilë.

Tout carré est divisible par 5 , ou le devient étant augmenté ou dimi-* • uué de Tunité.

Tout carré impair, divL^ par 8 , donne i pour reste.

Si on prend au hasard deux nombres entiers, Pun des denx, on leor somme, ou leur difTérencc, est nécessairement divisible par 3.

Si deux nombres différent de 3, leur produit augmenté de Tunité sera divisible par le nombre intermédiaire.

Le produit de deux nombres, augmenté du carré de leur demi -différence, est divisible par leur demi-somme.

Tout produit, multiplié par la somme de ses deiix facteurs augmentife de Tunité , donne un nombre divisible par a.

La somme de trois nombres entiers consécutifs quelconques est tou' jours divisible par 3, ainsi que. leur produit.

Soit nn nombre quelconque de cinq chifTr&s ; soit pos^c une addition en dcrtvant les uns sous les autres et en avançant chaque fois d^un rang vers la droite, le premier chifire à gauche du -nombre de cinq chiffres, la somme des deux premiers, des 3 et des 4 premiers, v fois successives la somme des '5 chifircs , puis là sommes des 4 ) des 3 , des s derniers chififires e^ le 'dernier lui-même; je dis que la somme des nombres ainsi disposes sera divisible par le nombre propose de 5 chifires, et donnera un quotient compose de v -f- 4 chères i. Lic nombre v peut être o, i, a, 3, 4i «"i *••

Le principe précédent est vrai pour un nonibrc entier quelconque , quel que soit le nombre de chiffircs.

De quelques équations résolubles comme celles

du premier degré.

3o. Il existe plusieurs méthodes particidicTes d^éliminalion , qu^il est utile de connaître, d^abord parce qu^^elles rendent possible la resolution de certaines équations, et (juVnsnite elles font souvent trouver des simplifications qu'ion ne saurait indiquer à Favatice. Voici par exemple, quatre équations oi!i, en modifiant un peu la'métliode par addition et soustraction, Pélimination devient très-facilc :