Soit à résoudre les deux équations

xvznax + ay et x'r=:a' + /.

Si l^on prend la valeur de v dans la i'* de ces équations et qu^on substitue cette valeur dans la 2*^*, on obtiendra

x^ — 2ax^ — a*x* + 2a^x = a*.

Cette équation finale du 4"^' degré est complète ; mak en extrayant la racine carrée de son i*' membre, on a x* — ax — a* pour racine et — a^ pour reste. D^où il suit que si Ton avait d^abord ajouté a^ aux deux membres de TéquatiQU finale ; -|- a^ et — a^ 9fi seraient détruits dans Pextracdon de la racine carrée du 1**^ membre de la nouvelle équation, et cette racine carrée aurait été exactement x* — ax — a*: d^ailleurs, celle du second membre 2a^ est a*l/2 \ par conséquent

a:'— ox— a'=±a'l/a; d'où a:z=-(i ±[/5±4l/0'

64- U suit de cet exemple, que quand F équation ^nak du 4"^* degrés est complète^ si Von extrait la racine carrée de son premier membre^ et que le reste soit indépendant de Fin" ' connue^ la racine trouvée sera égale à'^la racine'carréè du . résultat qu'on obtient en cloutant au second membre^ le reste pris avec un signe contraire. On aura donc alors une équation du second degré, qu^on sait résoudre.

C^est ainsi qu^on traitera Péquation finale dans chacun des systèmes adéquations que voici :

x + y = a et x* + y*=b,

X — y=:a et x^— y*=b,

x + y=:a et x^ + y^^xy = b,

y — x = a et xy + b(x' + y') = c,

x+y = a, u-|-z=:b, ux=:yz et x* + y^ -f' * + **^ = c.

65. Supposons maintenant que Péquation finale soit de la^forme x^ + px^ + qx* 4" P''^ + '*' = o,

p^q^r^ ayant des signes quelconques, mais x^ et r* étant positiCs. Si Ton divise Icf deux membres de cette équation par x*, 'elle devient (.

Posant xA — = û : d'où x* -\ — mi' — *- 2r, on aura

u' + ;:>M + 9 — irzz, o.

Cette équation du second degré fera connaître les deux valeurs u' et u'' de u. Substituant ces valeurs, on aura celles de X par les équations

ap4-- = ii' et xA — = 11".

Au moyen de cette méthode , on résoudra non seulement les deux équations

X* — i4jp' + 58x' — 70a: + a5 =: o ^

mais de plus, on trouvera toutes les racines des équations x^# — a*i= o et x^+ a^ z= p, en observant que la i'* est le produit d'un quîntinome en x par ir-»*â et la seconde par X'\- a.