Dans les deux équations

.axz=:c9 — xt^ et x' = a*-|-f^\

l'élimination de y conduit à une équation finale du quatrième degré, résoluble par extraction de racine carrée (64)* Si on élimine X, l'équation finale du quatrième degré , se résoudra en divisant ses deux membres par y* (65).

On voit que le choix de l'inconnue peut influer sur l'équation finale. Mais ce qui est trcs-remarquable , c'est que la possibilité de résoudre l'équation finale peut dépendre de la manière d'éliminer les inconnues. En effet, qu'on ait, par exemple, les deux, équations

Pour opérer Pélimination, on est naturellement porté à prendre la valeur de y dans la 1'* et à substituer cette valeur dans la 0,^^. Or, en opérant ainsi , on obtient Péquation finale

x*+3x^ — 7x'^— 24x+ io;=:o;

et cette équation ne saurait se résoudre par aucune des méthodes exposées dans ce qui précède; pas même par .celle des'diviseurs commensurables. Mais en suivant une autre marche dans Pélimination, on arrive aisément aux valeurs inconnues. ,

En effet, si à la 2"^* équation proposée, on ajoute le double de la 1*^', Téquation résultante prendra la forme

(a:4.».y+3(x+f) = 8î d'où x + v = — \±^^

et par conséquei^t x-^'Vzzzd et :i?-|-f^ = — 6. Combinant chacune de ces valeurs de a: -)- ^ ^^^ ^ première équation proposée, on en déduira facilement les 4 couples de valeurs de x et de V, lesquelles sont irrationnelles et imaginaires.

&], Cet exemple montre très-bien que la manière d'^éliminer les inconnues peut influer sur le degré de Téquation finale et sur la simplicité des résultats. G^est de quoi Ton se convaincra encore en résolvant les équations

xz = tfc, yz — cyz^nac et a^'+i^'zrc*.

En effet, Féliminatîon de x et de v conduit à une équation finale du 4* degré en z, résoluble par extraction de racine cai^ rée. Mais si on élimine z entre les deux premières, et que dans Féquation résultante, on prenne la valeur de v, pour la substituer dans la 3* équation proposée, Péquation finale du 4^ degré ne sera pas résoluble, d'après ce qui précède. Enfin, comme Félimination de z donne xv = â(v — x),si 1 on retranche le double de cette équation de la 3' proposée, il viendra

Cette équation fournit pour v — x, deux valeurs qui étant combinées avec xv=i:a(v-~x), donnent les quatre vadeurs de X et de V.

68. Les exemples précédens font voir que Télimination par addition et soustraction, simplifie souvent la résolution des équations du second degré à plusieurs inconnues, et que cette métliodc est généralement préférable à la substitution des valeurs. Voici des équations à traiter par addition et soustraction :

x' + y* + xy = ioo et xy + x — 7=19, x^ + y* + z'=29, yz=ia et x(z— j) = 2, x-f-y = a, bzrzxjr et x*-|-y*=i:z', (ï + y)ïy = a et (x + y)(x' + y') = b, (x + y)(x»+y') = a et (x-y)(x'-y»)=:b, x(a — x)=i:y(b — y) et 2x(x — a)=:y'— a% x+y+zz=a, x*+y'+z' = b et xy — (x+y)z = c. x + y + z + a=:b, xy=i:az et x' + y' = a'.

Dans le dernier exemple, si Ton élimine z entre les deux i"' équations , puis y par substitution , entre le résultat et la 3"', Tequàtion finale du 4**', degré, ne se résoudra qu^cn la comparant au carré du trinôme x' + ax + ah.

69. Lorsque tous les termes de Péquatiôn finale du 4* degré sont dans le premier membre comme dans^

X* + pr* + çr* + rx + * = ^ 1 et que le terme connu s = Aft, on peut regarder ce i*' membre comme le produit des deux facteurs trinômes

x*+w^ + * et x* + '^ + ** De cette manière, on pose une identité qui exige que les coeffidens d^une même puissance de x soient égaux dans les deux membres, et que par suite ont ait, entre les deux inconnues u et r, les trois équations

U'\-tz=.py }it'\'hi'rzr et Iii + A + A:=:ç.

Si les valeurs des inconnues, tirées des deux 1'*' équations, satisfont à la 3*, Féquation du 4* degré sera le produit des deux facteurs trinômes proposés. Mais si les valeurs de li et ^ ne satisfont pas à la 3* condition, il faudra décomposer s en deux autres facteurs, positif ou négatifs, et prendre ces facteurs pour h et A*. On voit que cette méthode peut donner lieu à plusieurs essais inutiles \ mais le nombre en diminuera avec celui des diviseurs de 5. Au reste, on peut souvent suppléer à la méthode précédente, par la manière d^éliminer les inconnues. Par exemple, voici deux équations qui se résolvent aisément par addition et soustraction :

x^-\-v^ — X — 9z=i% et x'-|- ^*' + •'*= *9*« Eliminant v^ diaprés la métliode du n"* 60 , Féquation finale sera ^ ^ j^^ — ^^j» — ^gj^ ^ 102 =: o.

On peut résoudre cette équation , en la décofnposant en facteurs trinômes ^ car à cause de 102 =: 17 X 6, on trouve que ces deux facteurs sont x* — 6x-|- 17 et x* — 5x-4-6. Egalant donc chacun de ces trinômes à zéro, Péquatiôn finale sera satisfaite, et on aura aisément les quatre valeurs de x et de y.

On peut appliquer cette méthode à la résolution des équations finales x^+iax'-J- 35x'+'6x — 9 = 0,

X* — x' — 3ix*+ 25x-i- iSozno, x*-.2bx' + (a*-l-b')x'— (2a*b + aab')x + a*— b*=o.

70. Il existe dans la manière <PéHniiner lès inconnues^ dcf simplifications accidentelles , qu^il serait impossible d^indiquar en général ; mais que Thabitude du calcul algébrique fait bicDtot sçercevoîr* Par exemple, dans les équations

•^ a:i^* + •'*=: 36 et a:V+x*=i44>

il faudra diviser la seconde par la première et mettre xv -f i en facteur conunun. Dans les deux équations

(x'\'y)xv^ia et (x' + *'*)w = ^(j: + p), on multipliera la seconde par X9 et on aura égar(l à la première. ,

Les équations (x* -(- 1^') (a: -(- i^) s= a et (x*— f^) (x'-r y*) = 6, se résolvent par division, addition et soustraction, de même que xv(x — v)^:za et xV* (x* — i^*) ^ 4.

7 1 . Si Ton a les deux équations

x' + :àxv + 1'* — lox — lOf' + ai r= G , X* — %xy + v*+6x — 6v-(-5 = o,

on observera que la première peut se résoudre inunédiatemeiit par rapport à x -)- v et la seconde par. rapport à x—- 1^. Si on avait

x^ + 2xV + axv*— 4^v + y' — 4 = o,

x' -|- 2Xf' -{-^v^ — Si' -j- 2 = o , on soustrairait la i"* de la a* multipliée par x, et Ton aurait .

XV — 2X + V* — 4 = ^1 <>" (♦' — 2)(x + f^ + 2)=:o.

Cette équation est satisfaite par y — a == o et par x -|- ^ -f ^ = o. Combinant chacune de ces dernières équations avec U seconde proposée, on trouvera x:=oetf^^a, x=**4^ ♦'=:2,x=z — 5etv = 3.