Considérons encore les deux équations

xjz— xy+yz=b

xyz z=. zuv yzu iz: avx zav rr bxy uvx=:cyz vxy == duz

x. + y=:az xy = z« ^ xy + xV+yV=b.

[ojr + c n» r a — ex H»

Développant la seconde équation et substituant la valeur de ^ 1 + x', tirée de la première, on aura, en réduisant,-

Substituant, dans cette équation, la valeur de x, tirée de la première proposée, et réduisant, on obtiendra

j^'+2a+c — 2a&— ac-^J!^^ — î^^ =^-^====: =»^

A cause de Vjr — jr^ — ày zz- — jr (jr* -j- a' — p*y^ on voit que le numérateur est divisible par le dénominateur. De sorte que si Ton chasse ce dénominateur et qu'ion transpose dans le premier membre, celui-ci sera le produit des deux facteurs

Egalant donc chacun de ces facteurs à zéro, Téquation finale sera satisfaite, et on aura deux équations qui feront connaître les valeurs dej^; d^où Ton aura ensuite celles de x. La dernière de ces deux équations pourra même se mettre sous la forme

(c±l/y+ a"- yy = ^ - (a - 6)'; il sera donc facile d^ la résoud^. On peut traiter Téquation

75. Lorsque deux inconnues entrent de la même manière dans les équations proposées, on obtient presque toujours une équation finale dW degré moins élevé , en remplaçant ces iaconnucs par d^autres qui en dépendent également, telles que leur demi-somme, leur demi-différence, leur produit, la somme de leurs carrés , une moyenne proportionnelle entre elles , eic C^est ce qu'ion peut voir sur plusieurs des équations traitées dus ce qui précède ; et c^est d^ailleurs ce que nous allons établir directement par des exemples. Soient d^abord les 'deux équatioDS

On voit que les inconnues x et i^ entrent de la même manière dans ces deux équations ; il Ëiut donc remplacer x et f par d^autres inconnues, et faire, par exemple,

a? + p = ^ et a:*+K* = #5 ... (i)

d^où en élevant au carré de part et d^autre,

2XK = ^* — • et afi+9^:=m* — -j(V — #)'.

Sid>8tituant ces valeurs, les équations proposées deviennent

Çét^a et ^i#(i#*+2^'# — ^^) = 6.

Eliminant f , Péquation finale prend la forme

Cette équation peut se recoudre en prenant d^abord n^ pour inconnue (62); on connaîtra donc • et ç. Avec ces valeurs la équations (1) déterminent x'^et V. !

Par exemple, si a = 65 et 6= 1261, on aura

d^où en se bornant aux valeurs réelles , «=i3, ^ = 5, x:=3 et v = 2.

Sans Pusage des inconnues auxiliaires ç et 1», il serait impossible de résoudre les équations proposées, diaprés ce qui précède.

76. On apprendra bien vite à connaître dans quels cas les inconnues cherchées pourront être remplacées par d^autres plus faciles à déterminer. Par exemple, dans les équations

x+jr + z=za^ xz+yznh et x^+7-^+z^ = c, il faudra poser x+^ = 2^ et x— ^ = 21*.

Dam les équations Xf =216 et l?f^^ +l?0^^=97i ^^ prendra a;*= ^ et ^^ = m. Dans les ëquations x -^jr = 7a et l^x^ + lV'-^' = 4^1 on fera x = ^ et ^ = •^.

Pour les é€[uations :r7^ = wz, a: +j^ =:2ux, ii + z = 26 et x^-^jr^ — 14* — z^=c, on posera a: — •j^ = a^ et ur*x;=:2#; ou bien on prendra seulement xjr-^=.t,