Voici plusieurs problèmes à résoudre
Un jardin a 43a, auneft caucrées dç 8U]:£Eice, et sa lougmïiir a 6 aunes de plus que sa largeur* Quelle longueur a-t-ilf (R. a4 aunes.)
Un parc renferme plusieurs fontaines; à chacune correspond deux fois autant d^allées qu^il y a de fontaines , et chaque fontaine communique à trois grottes. Trouver <le nombre de grottes, sachant qu^il surpasse 56 de 10 fois le nombre de fontaines. (Il y a 96 grottes.)
Un marchand a reçu 196 fr. pour deux ballots, contenailt Tun aoo et Tautre 160 aunes dVtofics. Pour 7 francs il donne 4 aunes de plus de la première étoffe que pour 6 francs de la seconde. On demande le prix de Faune de chaque étoffe. (R. 5o et 60 centimes.)
Trouver deux nombres en raison de 4 à 5 , tels qu^cn ajoutant 6 au plus grand et 1 au plus petit, les racines carrées des deux sommes diffè* reot de Tunité. (Le i'** est 3o ou 10 et le a" a4 ou 8.)
Le produit de deux nombres, dont le premier est un carre, est à la somme de leurs carrÀ comme 3o est à 61 ^ la différence des deux mêmes nombres est ëgalc à la racine carrée du premier. Quels sont ces deux nombres? (R. Le 1''' aS ou 36 et Tautre 30 ou 3o.)
Diviser ao en deux parties telles, que leur différence soit à leur somme comme leur double produit est à la différence de leurs carrés*. (La i*** partie vaut 10 ^t j l/^)*
Deux marchands vendent chacun d^unc certaine étoffe ; le 2* en vend 3 aunes de plus que Tautre, et ils retirent ensemble i4o florins. Si Tun avait vendu Pétofic de Tautre, ils auraient reçu respectivement g6 et 5o^. Combien chacun a-t-il vendu d^aunes? (R. L^un i5 ou 5, Tautre 18 ou 8.)
On a un verger carré, dont le côté diffère de 24 pieds, en plus et en moins, de la largeur et de la longuciur d^un terrain rectangulaire, ayant 621945 pieds carrés de superficie. On veut faire entourer ce verger d^un mur de 4 pieds de hauteur, et on demande combien ce mur coûtera, sadiaut que la toise carrée sera payée éfnuics et que la toise vaut 6* pieds? (R. 2104 francs.)
Un nombre est coinposd de trou chiffres tels, que la somme des carrés de CCS chiffres, regardés comme exprimant des miitÀ simples, est lo^, et que le carre du second chiffre surpasse le double produit des deux autres de 4 unités. Si Ton soustrait $94 du nombre proposé, le reste sera égal au même nombre renversé. Quel est ce nombre |troposé? (R. 863.)
On a deux nombres dont là somme, le produit et la différence de Ecurs carrés ont des valeurs égales. Quels sont ces deux nombres? (R. Le plus petit vaut - + -j/5.)
Deux personnes entrent ed société avec un fonds de 65oo^; la première laUse son argent dans la société pendant 4 ans, la seconde y laisse le sien seulement pendant 3 ans, et chacune retire 4^00'' de capi^l et d^intérét simple. G>mbicn avaient-elles mis séparément?
Devinez ce que le commandant' d^une place assiégée mande a son général? la dépêche porte ce qui suit :'En ajoutant 3000 au nombre de soldats de la garnison , la somme fera le 3o* du nombre de livres de pain à consommer. Si nous avions 1000 hommes de moins et 10000 livres de pain de phis'à consommer, la garnison' pourrait être nourrie pendant 160 jours. Enfin, si le soldat avait une ration journalière deux fois plus petite, nos troupes pourraient encore manger pendant doo jours.
Une personne qui ne reçoit que les intérêts simples de son argent, place a4<>o'^ en deux sommes, dont Tune devient- 600^ au bout de iS mois et Fautre 1 aou^ après 1 o mois. Quel est Tintérêt simple d^un florin par mois?
Le problème résolu par la valeur négative ^ est célui-^i : Les biens d^une personne surpasse ses dettes de a4o^^* ^^'^ biens se réduiraient à laoo^ après 10 mois, si chacun de leurs florins é|>rouvait une certaine diminution par mois. Les dettes deviendraient 600^, si chacun de leurs florins devenait 1 de moins que a5 fois la diminution dont on vient de parler. Quelle est cette diminution?
Deux marchands entrent en société avec nn fonds de 24^^^* L^argcut de V\m y reste pendant 3 mois et celui de Fautre pendant a mois. lis retirent chacun 2876^ tant de capital que d^iutérêt sim|»le. Quelles sonCh-s' mises de ces marchands, et quel est l^iutérct simple d^un flor. par mois?
Le problème résolu par les valettrs négatifes est celui-ci : Deux per< sommes qui doivent Tune a4^^^ ^^ P^*^ V^ Fautre , paient une certaine somihe par mois sur chacun des florins de leurs dettes; et après a mois, la i*"' redoit encore aS^G^, tandis qu^au contraire, on redoit la même somme a la 3"^, après trois mois. De combien sont les dettes de chaque personne, et combien acquittent-elles sur chaque florin par mois ?
Trouver trois nombres, connaissant les trois produits a, 6, c, qu^ils donnent en multipliant chacun d^eux par la somme des deux autres. (Faire ârza7, b^z'ii et cz=35.)
Partager un nombre donné a en deux parties, dont la somme des cubes, plus leur somme multipliée par leur produit, donne b.
Trouver quatre nombres en proportion, connaissant la somme a des antéccdens, la somme b des cons<fquens, et le produit c des quatre ter» mes. (Interpréter les valeurs imaginaires^ faire a^:8i, ^=:ao et e=r 810000].
Trouver une proporUon, connaissant la somme a des extrêmes, la somme h des moyens et la sonmie c des carrés des quatre termes. (Pren- . dre âiziS, 6=12 et c=:576.}
Trouver deux nombres, connaissant leur produit a et la somme b des quotiens qu^ils donnent quand on devise le carre de chacuii par celui de Tautre. (Supposer dans la formule a=:3a.et b^z^i^ quarts.)
Partager le nombre donné a en deux parties telles , que la somme des ' deux quotiens qu^elles donnent en divisant chacune par le carré de l''autre, soit-i .
Partager le nombre donné a endei\x parties telles, que b soit la somme des deux quotiens que Ton trouve en divisant le carré de chacune par Tautrct ( Interpréter les valeurs imaginaires.)
Trouver deux nombres tels, que leur produit vaille a fois leur somme, et que la diflérence de leurs carres soit égale au carré de a.
Partager le nombre donné a , deux fois de suite en deux parties , de manière que le produit b de la première partie dWe division par la 1'* partie de Pautre , soit donné \ et que la somme c des carrés des deux autres parties, soit aussi donnée.
Décomposer un produit donné a en deux facteurs positifs tek, que ' lenr somme vaille b fois la différence de leurs racines carrées.
La somme de deux nombres est a et la somme de leurs carri^ vaut b fois la racine carrée de leur produit. Quels sont ces deux nombres?
Trouver les facteurs de deux produits égaux , connaissant la somme a de leurs multiplicandes, et les valeurs & et c que prennent ces produits, quandje multiplicateur de Tuu devient celui de Pautrc.
Trouver deux produits, connaissant leur somme a, la somme b de leurs multiplicandes^ et les valeurs c et d que prennent ces produits, quand le multiplicateur de Tun devient celui de Taulrc. (Interpréter les valeurs imaginaires^ voir quand a et & sont des différences.)
Quel nombre x doitr^n ajouter à deux nombres donnés a et &, et en ■retrancher ensuite, pour que le produit des deux sommes et celui des deux différences aient le rapport de a a b?
Trouver deux nombres ayant c. pour quotient , et tels , que la somme des carrés de leurs différences aux deux nombres a et & , vaille le carré de la différence des deux nombres cherches. (Interpréter les valeurs négatives et imaginaires.)
Partager les nombres donnés a, 5, c,- df, chacun en deux parties telles, que p soit le produit de la a* partie de a par la 1^* de &, de la a" de b par la 1'* de c, de la a® de c par la i*"" de d et de la a* de d par la 1' de a. ( Même problème pour m nombres donnés.)
ro
Trouver quatre nombres en progression arithmétique , connaissant la sonûne a des extrêmes et celle b des moyens. (Fai^e a^i^Set&zr^o.)
Trouver quatre nombres en progression par différence, connaissant la somme a des carrés des moyens , et le produit ou la somme b des carrés des extrêmes.
Partager le nombre donné a en quatre parties qui forment une pro- ^ gression trithmétique et dont la somme des carrés soit égale à 5,
Trouver trois nombres dont le carré de Tun vaille la somme des carrés dos de*ix autres : on connaît la somme a de ces trois nombres et la somme b de leurs produits deux à deux.
Trouver trois. nombres en proportion géométrique continue, coimais-. sant leur somme a et celle b de leurs carrés. '
Trouver trois nombres en proportion continue , connaissant la différence a du moyen à la somme des extrêmes, ainsi que U différence b de la somme des carres de ces extrêmes au carré du moyen.
Trouver une proportion, coni^issaut la somme a des extrêmes, la somme b des moyens et la somme c des puissances 5"** des 4 termes.
Trouver quatre nombres en proportion, connaissant la somme ou la (KHérence des extrêmes, la somme ou la différence des moyens et la somme des cubes des quatre termes.
Trouver quatre nombres en progression géométrique, conniûssant la somme des extrêmes et celle des moyens.
Trouver quatre nombres en progression géométrique, connaissant la somme ou la diflerence des termes impairs et la somme ou la différence des termes pairs.
Trouver 4 nombres en progression géométrique, connaissant IVxcès de la somme des extrêmes sur celle des moyens , et Texcês de la somme des carrés des extrêmes sur celle des carres des moyens.
Trouver cinq nombres en progression géométrique, connaissant la somme a des termes pairs et celle b des termes impairs. *
Trouver 6 nombres en progression par quotient, connaissant la somme a des deux extrêmes et la somme b des deux moyens.
Trouver trois nombres en proportion géométrique, connaissant leur produit a et la somme b de leurs cubes. (Prendre a zz 7^088 et ^ in 3077308.)
Trouver une proportion géométrique, connaissant le produit a dcn deux premiers termes, le produit b des deux derniers, ainsi que leur somme c. ( Prendre « zz 63 , bzz 847 et c zz 80.)
Trouver quatre nombres en proportion géométrique, connaissant leur produit a, leur somme b et la somme c de leurs carrés. ( Faire a ^ 1 1 osS , 6 := 64 et c =z 1700.)
Trouver cinq nombres en progression arithmétique , connaissant leur somme a et la somme b de leurs carrés. (Prendre a:z:wf5 et bzzijQS»)
Nota. Plusiieufi problèmes supposent sealement que Pod connaisse les dëfinitioDS des progressions arîdiinëUque et géome'triqoe, et ne sortent pas de la liste des questions résolubles comme celles da a"* degré.
Des maximums et minwuans du second degré,
83. Pappellerai maximum et ndnîmitmdu second degré^ la lus grande et la plus petite valeur que puisse avoir une varia" le y entrant dans une équation du second degré, ou résoluble par celles du second degré.
. 84^ Soit d^abord une équation du second degré en a:^ contenant une variable v ; résolvons cette équation par rapport a af^ et rendons entière la quantité sous le radical \ nous aurons une expression de la forme
Il est clair que la variable v n^est susceptible de maximum , ni de minimum , que quand elle entre dans la quantité A — B sous le radical. Or, supposons que cette variable v soit dans B, sans être dans A ; à mesure que v croîtra, A — B diminuera, et V ne pourra croître que jusqu'à donner A — B = o ; car si v croissait encore, A — B deviendrait négative et or imaginaire ou impossible : donc , dans ce cas , le maximum de v fournit A — B z= o et x = M. La première de ces équations donne le maximum de v et la seconde fait connaître la valeur de jc qui correspond à ce maximum.
Pareillement, si la variable v entrait dans A, sans être dans B, on verrait que le minimum donne A — ^ B =0 et ;r = M.
Enfin , lorsque la variable v entre dans A et dans B , il peut se présenter trois cas ^ 1*^ ou la quantité A — B sous le radical diminue pendant que v augmente : dans ce cas le maximum de V a lieu lorsque A — B =1 o et a: zi: M ; ou la quantité A — B diminue avec v : alors le mim'mum de v fournit A — B:=o et a? =: M ; 3° enfin,. A— B augmente, soit que v augmente, soit que V diminue : dans ce cas il est clair que v n'est susceptible ni de maximum ; ni de minimum.
On voit par cette discussion, que le maximum et le minimum
. de la variable rendent toujours nulle la quantité A — B sous le
radical ; que si la variable n'entre que dans la partie négative
•— B, il jr à maximum ; que si elle entre dans la partie positfvc
( 57 ) Â seule, il j a punlmuin ; que si elle se trouve à la fois dans la partie positive et dans la partie négative, il peut y avoir à la fois maximum et minimum, et m^mc n^'en point avoir du tout.
85. Ainsi en général , pour avoir la plus grande ou la plus petite valeur iTune variable entrant dans une équation du second degré à une inconnue^ il faut résoudre cette équation par rapport à V inconnue ; rendre^ si Von veuî^ entière la quantité sous le radical^ et égaler cette quantité à zéro : Véquation résultante fera connaître le maximum ou le minimum cherché^ et V équation restante donnera la valeur de V inconnue qui répond à ce maximum ou à ce minimum. Au moyen de cette règle, on aura fadltmenl le maximum ou le minimum de a dans les équations
. (36 — j:)xz^a\ X* — 8^ + 4^=:a' — li; ax* + c*x* nr- (a: + c)' ; 2ac — ax = 1/^(4p* — 4^') î X* -(- (a — xy •= b yax — x*.
86. Cherchoits diaprés la règle précédente , le maximum dd c dans Péquation 3 (a -|- bc) x = J -|- 2cx*.
Résolvant cette équation par rapport à x, on trouve
x = - [a + 6c ± y {a + bcy— acrfj.
G>mme la variable c eptre dans la partie positive et dans la partie négative sous le radical , il peut y avoir à la fois maximum et minimum (84)* Or, pour connaître chacun d^cux, on observe que la quantité sous le radical devant toujours être positive et variable ; si on Pégale à la quantité positive et variable u' , qu^ensuite on résolve Téquation en u' par rapport à c, on verra facilement si la valeur de c devient la plus grande ou la moindre possible, quand on y fait m* =r o , puisque pom* ci' = o , il y u nécessairement maximum ou mioîmom (84)« Or, en opérant comme on vient de le dire , on a
(tf + ic)* — 2a£=u* et ;r = — (tf-jric±M);
et la 2*"* valeur, substituée dans Téquation proposée, donnerait la i'*. Résolvant Téquation en u* par rapport à c, il vient
Le carré u* étant toujours positif et variable, tandis que tf ,
h^ d^ sont des nombres doiinés, on voit que pour toutes les va^ leurs réelles de ei, positives ou négatives, les valeurs du radical sont plus grandes que celle qui a lieu lorsque u =o. Mais quand le radical est le moindre possible, le nombre qu'ion doit ajouter ou retrancher à d — ahy pour avoir c, est aussi le moindre possible \ donc la somme est la plus petite possible , et le reste le plus grand possible. D^oii Pon tire, pour le maximum et Iç minimum de c,
c = l ld—ab+\/{d^—Mbd)'].
Le minimum de c surpasse son maximum ; mais cela tient à ce que les valeurs de c résolvent deux problèmes : dans Tun on demande le maximum de c et dans Pautre le minimum. Les valeurs de a: qui répondent à ce maximum et à ce minimum , ^nt données par Péquation
87. On voit, par cet exemple, que pour avoir le maximum et le minimum de la variable^ lorsqu'elle entre dans la partie positive et dans la partie négative sous le radical^ il suffit d'égaler tout ce qui est sous ce radical à u', puis de prendre^ dans V équation résultante , la valeur de la variable , et de comparer cette valeur à ce qu'elle devient lorsque u=o. CVst ce qu'ion veira encore, en cherchant, d'après cette règle, le maximum ou le minimum de a dans chacune dès équations
2(a + b)x = x*+2a«— îb'î x' + (a — x)* = bx; x* + (a + b)"=2abx; (x + a) (x — b) = cx%
88. Voyons maintenant comment on trouve le maximum, et le minimum , lorsque la variable entre dans une équation à plu<
. sieurs inconnues, résoluble par rapport à diacune de ces incon-
(*} On peut remarquer que si, dans le miuimuin trouvé pour c, les
. quantités a et 6 «oni supposées conslantcs, mais d variable; à mesure
que d diminuera, le minimum de c diminuera aussi : et comme d ne
peut diminuer que jusqu^au terme d =z aa&, il s^ensuîl qu^à ce terme, c
aura atteint le plus petit de ses minima, c^cst-à-dire, son mintinum-nu/U"
morum^ lequel est par conséquent c :z: r , et donne xzzib.
C 59 ) nues, comme les équations du second degré. Cette recherche repose sur le principe que voici :
Lorsquune variable entre , avec plusieurs inconnues , dans une équation résoluble comme celles du second degré^ le ma^ ximum où le minimum de cette variable rend nulle la quantité sous le radical de chaque inconnue.
En effet, prenons d^abord dans Téquation proposée, la valeur de Tune quelconque a: des inconnues, et supposons que les autres aient les valeurs qui conviennent au maximum ou au minimum de la variable v : si ce maximum ou ce minimum ne rendait pas nulle la quantité sous le radical de a: ; comme cette quantité sous le radical doit toujours être positive , pour que ^ soit réelle , il est clair que la variable v pourrait encore augmenter et diminuer, sans que la quantité sous le radical devînt négative , et conséquemment , sans que la valeur de a; devint impossible : donc cette variable v ne serait ni à sou maximum, ni à son minimum \ ce qui est contre Thypothèse. Donc la quantité sous le radical de x est nulle ^ et il en sera ^e même des quantités sous les radicaux des autres inconnues.
89. De là résulte que pour avoir le maximum ou le minimum d'une variable^ dans une équation résoluble, comme celles du second degré ^ il faut prendre dans cette équation^ successivement la valeur de chaque inconnue^ et égaler à zéro la quantité sous chaque radical : les équations résultantes et les équations restantes serviront à déterminer le maximum ou le minimum demandé^ ainsi que les valeurs correspondantes des inconnues proposées, D'^après cette règle , cherchons le minimum de b dans les équations
xyz = a et ay + a?z -^yz = V.
Eliminant d^abord Zy il vient
j:'/ + (^+jr)a'r=fc'xy. ... (i)
Résolvoi^ cette équation, d^abord par rapport à x\ nous aurons
On voit que b est susceptible de minimum (84). Et puisque ce minimum rend nulle la quantité sous le radical (88)^ il ca résulte , en chassant le dénominateur ajr*,
aay»=iV~a* et {b*y—a^y = ^y.
Elevant la première de ces cqnadons au carré et ayant égard à la seconde, on aura
Résolvant PéquatTon (i) par rapport àjy', on verra de même que le minimum de b , donne xy^ = a . G; qu^on pouvait d^ailleurs prévoir ; .car Péquation (i) étant symétrique par rapport à a? et y, elle reste la même quatid on y change x en y et y en d; ^ le résultat qu^elIe fournit , doit donc aussi demeurer le même.
Lies équations x^y =: a et xy"* = a , donnent x =:y zzâ ; d^où z = a. Et Téquation aay' = b^y^^^c^y fournit, pour le minimum de &, b:=za 1/^3.
90. Si & était donné et que a Iftt variable, le maximum ou le minimum de a serait ^=-^^1/^3 et donnerait â?=zy=:^=tf.
Dans ce cas, comme la variable a entre dans la partie positive et dans la partie négative de la quantité sous le radical , il reste encore à savoir lequel du maximum ou du minimum rend nul ce radical , et donne les valeurs précédentes. Pour y parvenir, on pose
x=^bl/Z + (p eiyz=\b[/Z — (p, .
et alors Téquation (1) devient
On voit que le maximum de a répond ^=0; et il en résulte les valeurs trouvées d^abord.
Il suit de cet exemple', que quand on ne sauf a laquelle de la plus grande ou de la plus petite valeur a été obtenue , il faudra égaler les inconnues proposées^ à leurs valeurs trouvées , augmentées ou diminuées des auxiliaires ç^ *t^ etc ; substituer les résultats dans F équation proposée^ résoudre V équation résultante par rapport à la variable , et comparer sa valeur à ce qu'elle devient lorsquon y suppose nulles les auxiliaires ^, #, etc. : alors on aura le maximum ou le minii mum demandé, Cest ce qu^on verra d^ailleurs, en cherchant le maximum de a dan* Téquation xy — j?'y' :zza(x +y).
91. On peut sVxerter à chercher le maximum ou le miaimum , soit de a, soit de ^, ^Ums les équations que voici :
x+y + z = a et x*y'4-»'*' + y'*' = b;
vxjz = k* et y + x' + jr'+z' = b';
x+y + 2t + u — a et uyz + uxz + uxy + xyz =: b 5
u + v + x + y+'z = a el V + v^ + x^ + y*+z' = b\
gi. Si Ton devait trouver le minimum de a, dans Tcquation
cette équation ne pourrait s^abaisser au second degré, que par l^usage d^inconnues auxiliaires ; et voici comment : poson^ j;'— /:' = z' ety' — c* = î;% ou a: = i/(c'+x') et y = 1/(6" -f-v')* substituons ces valeurs, et faisons, dans Téqualion résultante, z-\-v=ziu et z — vz=.ity ou zz:zu'\'t eiv=zu — l : nous aurons une nouvelle équation qui , après avoir chasse le radical et avoir divisé par u, donnera, pour le minimum de a^
a = ac et ar=y = c|/'2.
Cest d^ailleurs ce qu^on pourrait vérifier, en posant, dans V Féquation proposée , œ =: c|/2 -i-f et y zz.c\/i — ^ (90).
93. En général , lorsque Péquation .ou les équations proposées, sont symétriques par rapport aux inconnues, le maximum et le minimum de la variable rendent toujours ces inconnues égales entre elles. Et pour obtenir ce maximum ou ce minimum, il suffît dVgaler Tune des incopnues à t; 4" ^^ Tautre à 1; — ^, etc. C^est ainsi qu^on traitera chacun 'des systèmes d^équations qui suivent , pour y avoir le minîniniyi de <t :
(a-.xy»+(a— yr=:b et x»+y^ = c-,
x'^+y^+2'"=a et x + y + z = b;
dans chacun de -ces groupes adéquations , les exposans sont entiers et positifs.
94. On veut faire construire un coffre en fer y à faces rec" tangulaires^ 'de v? centimètres cubes de capacité^ et dontlen" veloppe ait partout ~ centin^ètre d^ épaisseur. On veut d^ ailleurs que ce coffre coûte et pèse le moins possible ; (Quelles dimen* sions doit-'il avoir pour cela ?
Soient x^ y, z les dimensions inftériçures de ce coffre ; soit m le volume de son envelc^pe : puisque cette enveloppe doit avoir ~ centimètre d^épaissenr, il est clair que les din^ensions exté-
rîcurcs seront a: -f- i, y -{- i et -s + i. Or, le volume d^un parallëlipipèciiî rectangle ctaat le produit de ses trois dimensions, il est facile de voir que le problème proposé fournit les deux équations : %
ayzziza et (^+ i)(y + i)('8-|- 0 — ayz^im\ d^où Ton tire , pour le miniminn de m , m = (i 4- àf — a^ et
Les calculs précédcns résolvent aussi le problème où, le tolumc m de Pcnveloppe étant donné, on demanderait que l« coffre eût la plus grande capacité possible.
gS» Si Fon veut partager le nombre donné k en n parties telles , qiie la somme de tous les produits différens quon obtient en combinant ces parties m ^ m , soit un maximum ^ il faut prendre toutes ces parties égales entre elles.
En effet , désignons par x cl y deux quelconques de ces 11 parties, et par s la sonmie de toutes les autres \ nous aurons donc
Soit h la sommç de tous les produits -différens qu^on obtictat en multipliant les n parties- cherchées mkm: pour cette sonmie, les parties n^cnlrent qu^une fois dans un produit \ ainsi le produit xy est multiplié par la somme a de tous les produits différens des n — 7, autres parties, m — 2 à m — 2 ; tandis que chacune de» parties a? et y est multipliée par la somme b des n — 2 autres , m — 1 à m — 1 : de sorte qu'on désignant par c la somme de tous les produits différens des n — 2 autres parties, prises mhm^ il viendra axy + bx + by + c = h.
Cette équation et la précédente donnent
Supposons que toutes les parties de A:, excepté x ety, aient les valeurs qui conviennent au maximum de h : on voit que cVst ce maximum qui rend nulle la quantité sous le radical de a: et qui donne 1 r, x
Donc, pour le malimum de A, deux quelconques des n parties de h sont égales ctitre clips : donc toutes ces parties sont égales. C.Q.F.D.
Réciproquement, il est aisé de voir quVtant donne la somme h des produits dilTérens des n nombres inconnus, combinés m à m \ pour que la somme de ces nombres soit un minimum , il faut que ces mêmes nombres soient égaux entre eux.
96. Si Von veut partager un nombre donné k en n parties^ dqnt le produit soit un maximum^ il faut prendre ces parties égales entre elles.
^ En elTet , soieitt Jceiy deux quelconques de tes parties, 5 la somme des n — a autres et p leur produit ; on aura
a?+y + ^i=:A et pjF)r:=ih.
Opérant comme dans la démonstration précédente, on verra que le maximum de A, donne ^r rr: -(A: — j) ^=^« D'où il «uit que pour le maximum de A, deux quelconques des parties cherchées, sont égales entre elles : donc toutes ces parties sont égales.
Réciproquement, on voit que pour décomposer un produit donné A en n facteiu^ positifs, dont la somme soit un minimum, il faut prendre tous ces facteurs égaux entre eux.
97. Les exposans étant des nombres quelconques positif s>y on demande le maximum ou le minimum de m dans les équa^ tions
^,xP+ a^x^ + ay^iA h ^n^n = ^
et a:\>*...x'" = é»C):
Posant d'abord
puis substituant les valeurs de x^ x,, a:,, ..., x^^ tirées de ces équations , on aura
Soit V le moindre multiple des dénominateurs des exposans réduits, dans le 1*' membre de la 1* équation, et soit élevé de part et d'autre à la puissance v'i si nous posons, pour abréger,
(*) Les expressions x, , or,, jr^, ..., x , s^énoncent x premier, x deu-» ziéme, x troisième , •.., x, raième.
hv ^^ iv ^^ j hv mu ^
il esi^ dair que a^ b^ c^ .,.^ g^ seront d^ ncHnbres entiers positifs, et que li'ous aurons à traiter les deux équations
etr.V.V...^ = /"
n est visible que le maximum ou le minimum de &f^ donnera le maximuçi ou le minimum de s* Or, la dernière équation revient à
donc «'^ ne saurait être un maximum, à inoins que le produit qui multiplie af'h c^ ..• g^^ n^en soit un. Or, ce produit contient a facteurs*^* , dont la somme estj^, \ b facteurs ^ , dont la somme cst^,; c facteurs — , dont la somme estj^^, .. . *, enfin, g facteurs — , dont la somme cstj^„^ ce produit contient donc
^ + ^ + ^ + ••• + 5^1 ^^ ^ facteurs , dont la somme est Xt + y^ '■\'Xi "i" ••• "t"J^» ^^ ^ ' P^ conséquent, pour quci le mcrae produit soit un maximum , il faut , diaprés ce qui précède (96), que tous ses s facteurs soient égaux entre eux : Pun quelconque
de ces mêmes facteurs est donc -. Et comme r contient a de
ces facteurs , on aura j^^ = — • De même, ^^ = — , ^3 = — ,
"'iJ'n — 'J'
Ces valeurs feront connaître celles de ar^ a:^, a^j, ..., j^„ qui répondent au maximum de «' où de #. On tire aussi, des valeurs précédentes,
•/ » • p • • w' a • • • •/ i • f "* mmJn • «
Comparant cette suite de rapports égaux aux équations (a), on verra que pour partager un nombre donne ç en n parties telles , qu'en les élevant chacune à une puissance quelconque positive^ le produit de ces puissances soit un maximum^ il faut prendre ces parties proportionnelles à leurs exposons.
Les valeurs précédentes auraient lieu pareillement si, iv étant donné, on cherchait le minimum de f .
gS. Partager un nombre donné a c n n parties telles^ quen multipliant chacune par celle qui la suit immédiatement et la dernière par la première^ la somme des produits résultans soit un maximum.
Soient ^^ ^r^, jtj, j?/, ,.., ^^ les w parties cherdices; on aura
.T^+^^ + Xj + .r^ + jTg + arg-l f-ar^=;=fl,
Pour éliminer une inconnue entre ces équations , prenons la valeur de vTj dans la première , et posons , pour abréger , h =z J"g 4" J^- + ••• + «3^/, î nous obtiendrons
Substituant cette valeur dans la seconde équation proposée et développant, il viendra
Réduisant et changeant les signes des deux membres , on aura a] + 2a:, j-^ — aœ^ + ^,^5 + hx^ — ax^ + x,:r^ )
Préparant cette équation pour la résoudre^par rapport à â-,, il vient d'abord
arj — (tf — 3 JT^ — Xg — A) X, = tfz-^ — JT, j:^ — jtJ —
d''où x' — (rt — 'ix^ — x^ — ih)x^z=zp — &,
p désignant une quantité positive. Cette équation donne
x=^a^2x^—x^'^h) ± y^(a—2x^—Xs—hy+p^b.
On voit que si les inconnues proposées ont les valeurs qui conviennent au maximum de Zi. ce maximum rendra nul le ra< radical de x^ et donnera
Résolvant Téquation (3) par rapport à x, , on verra pareillement que le maximum de b fournit
^4 = -f(û — îi^a — •^.— ^)- Retranchant cette valeur de la précédente, on aura, toutf
réduction faite , a: ^— :r
Si Pon avait d'aboi*d ëlinuné x^, on aurait trouvé x^ = Xg^
si Ton avait éliminé x,, on aurait eu x.=^x„^ ainsi de suite.
"" Ces résultats prouvent , que pour le maximum de b, les coeffi-
ciens des deux multiplicateurs de Y inconnue éliminée^ dans la
a* équation proposée^ sont égaux entre eux»
Ce principe ne saurait s^appliquer au ca^ de trois inconnues \ mais alors le problème peut se résoudre directement, et donne, pour le maximum de 6 ,
Xj =i X, = Xj = -j-J.
Lorsqu^il y a quatre inconnues, suivant qu^on élimine x^, x^, ^^, X , le principe précédent donne, pour le maximum de b^
Xj = X, , Xj = Xj , -3^4 = ^i^ ^^ -3^5 = ^3 1
équations qui n^apprennent rien sur les inconnues proposées ; le problème est donc alors indéterminé. C^est ce qu^on peut vérifier directement ; car alors les équations du problème , sont
La première clûnne x^z=:a — x^ — x, — Xj : substituant cette valeur dans la seconde équation , mise sous la forme ,
on aura , en réduisant ,
^(^.+^3)— (^.+^3) -^î d'où x.+X3=^± {/î^^. On voit que le maximum de b donne x^-^- x^ = -5^ ^ d 'où Xj + x^ := "f^« Le maximum de b nç pouvant donc fournir que deux équations entre les quatre inconnues x,, x,, Xj, x^^ le problème est évidemment indéterminé.
Lorsqu'^il y a cinq inconnues^ suivant qu'on élimine x , x^, Xj, x^, Xp le principe énoncé plus haut, donne, pour le maximum de ^ ,
X, =r X3 , Xj = X3 , Xj = Xg, x^ z=. X ^ et Xj r= x^ ;
ces valeurs et la première équation proposée , fournissent x, =
Xj =^ Xj = X^ ZH Xg = "2^.
Si n = 6, en éliminant d'abord Xg, x , x^, Xj, x„ x^, le maximum de b donnera
X^ZZX^, XjZZIXj, X, ^Xg, XjIZ^X , X^Z^XçCt x^z^x ,
d'où T, = :rj=:Xj cl x^zmjp^znx^. Ces valeurs réduisent les deux équations proposées à
x^ + x^ = '^ci x^x^=-y>',
d^où il est facile de conclure que le maximum de b répond à X =x =1-^, et que par conséquent ce maximum a lieu lors-
q»ie j.^ — x^z=zxi=x^ = x^ = x^=^.
En général , les parties de a sont égales entre elles ^ pour le maximum de b\ mais le problème est indéterminé lorsque le nombre n de ces parties , est un multiple de 4« P^r exemple^ supposons n = 8 ; nous aurons , diaprés le principe énoncé plus
1 x^ ^i Xq ^ x^ HT x^^ x^ zzz x^ et x^ ^z x ^
d^où les équations du problème deviendront
ar, + X, + X3 + x^ = -fa ,
elles sont par conséquent de même forme que quand n=:4 î et conséquemment le problème est indéterminé»
Lorsque n = 12 , on trouve x, := Xg == x^,, , x, rr x r= x , x^ = X = X,, et Xj =z X zzXjj ; d'où lès équations du problème se réduisent encore à celles qui ont lieu pour ix = 4 ) c^ problème est donc aussi indéterminé pour n zn 12. Il en sera de même pour n = 16 , 20 , 24 1 etc.
Il résulte de la discussion précédente , qu'en général , pour que les parties d^un nomhte donné soit telles^ qu'en muUi^ pliant chacune par celle qui la suit immédiatement et la der^ nière par la première^ la somme des produits résultans soit un maximum^ il sujjit que ces parties soient égales entre elles.
Réciproquement^ les calculs que nous venons d'employer démontrent , que si Von connaît la somme des produits ohje^ nus^ au moyen de n nombres inconnus^ en multipliant chacun par celui qui le suit immédiatement et le dernier par le pre^ mier^ la somme de ces n nombres sera la moindre possible , quand ils seront égaux entre eux (*).
(*) Ce principe et le précédent serrent à démontrer les deux thëor^ mes qne yoici : \^ Parmi tous les polygones de n côtés et dWe mâne somme de droites menées des sommets à un point intérieur et difisant Tespace autour de ce point en parties égales , celui dont Taire est la plus grande , est le polygone régulier ayant son centre «u point donné.
2^ Parmi les polygones de n cotés et de même surface «, dans lesquels
gg. Voicî ^elqaes problèmes et théorèmes pour servir d^exercîces :
Décomposer le produit donné a en deux facteurs positifs b^ls, qu'yen multipliant chacun par la racine carrée de Tautrc , la somme des deux produits soit un minimum.
Connaissant la somme a des racines carrées de deux nombres, queUes yaleurs doivent-ils avoir, pour que leur sèmme divisi^c par la racine carrée de leur produit, donne le plus petit quotient possible?
Quel nombre x doit-on retranol>er de a et ajouter à b , pour que la somme des racines carrées des deux résultats soit un maximum f
Trouver quatre nombres en proportion , dont le produit soit le plus grand possible , connaissant la somme a de$ deux premiers et la somme 6 des deux derniers.
Partager le nombre donné a en trois parties telles, qu^en les multipliant deux à deux et multipliant chaque produit par la somme de ses facteurs, la somme des nouveaux produits soit la moindre possible.
On veut creuser prés dVne rivière , un bassin à faces rectangulaires , propre à rendre plus claire et plus saine Feau quMI reçoit de cette rivière, et qui ait a métrés cubes de capacité. Le contour intérieur de ce bassin sera revêtu d\m muir dont chaque mètre carré de surface coûtera b fr. Le prix pour creuser le bassin- croîtra comme la profondeur et sera c fr. I>our le premier métré. Quelles doivent être les dimensions de ce bassin, pour que le prix de sa construction soit un minimum ?
Un particulier a une masse d'*argcnt (în de a centimètres cubes de volumc. II veut employer celte ma.^.se à la confection d^une tabatière à faces rectangulaires, dont Tcnveloppc ait partout -^ de centimètre d^épaisseur. Mais comme les i^ côtés seront des* filets d'or, tous de même grosseur, il voudrait, pour diminuer les frais autant qu'il se peut, que la somme de ces 12 côtés fut un minimum. Quelles doivent être , pour cela , les dimcasions de la tabatière à construire ?
Pour décomposer un produit donné en n facteurs positifs, de manière que la somme de leurs puissances m"*''* soit un minimum, on doit prendre tous ces facteurs égaux entre eux.
Si Ton veut trouver n nombres positifs tels , que la somme de leurs puissances m"*^* étant un nombre donné, le produit de ces n i)ombres
les droites menées des sommets à un même point intérieur^ divisent Tespacc autour de ce point en parties égales , celui où la somme de ces droites est la moindre possible, est le polygone régulier dont le centre est au point donné.
J'ai démontré ces deux théorèmes dans le a* vol. de la correspondance Mnthématitfue et Phrsique^ publiée par IVEM. Garrier et Qcxtelkt; ouvrage où les élèves de» cours de Physique et de Mathématiques si^périeurcs trouveront de quoi les intéresser.
« soit un maximum, il faut prendre tous ces n nombres égaux entre eux.
SUl faut trouver n nombres positifs, de manière cpic la somme de tous les produits difiëreus- qu^ils donnent en les multipliant m k m^ e'tant un nombre donne, le produit de ces m nombres soit un maximum , on devra prendre tous ces nombres égaux entre eux.
Pour décomposer un produit donne en n facteurs positifs tels , que la ; somme des produits qu^ils donnent en les multipliant miim^ soit un minimum , il faut prendre tous ces facteurs égaux entre eux.
Etant donnée la somme des carrtb de n nombres inconnus; pour que la somme de leurs produits par des nombres détermines, soit un maxi* mum , il faut que ces nombres inconnus soit proportionnels à leurs multiplicateurs donnés.
Connaissant la somme des produits respectifs de n nombres inconnus ' par des nombres donnés *, pour que la somme des carrés de ces n nombres inconnus soit un minimum, il faut que ces mêmes nombres inconnus, soient proportionnels à leurs multiplicateurs donnés.
Pour partager un nombre donné <2 en n parties U'Xies , que la somme de leurs carrés moins k fois la somme des produits qu^on obtient en mtdlipliant chacune de ces parties par celle qui la suit immédiatement et la dernière par la première, donne le moindre reste possible, il fau prendra toutes ces mêmes parties égales entre elles.
La somme des carnfs de n nombres inconnus, moins k fois la somme des produits qu^ils fournissent en multipliant chacun par celui qui le suit immédratemeut et le dernier par le premier, donnant un reste connu ^ poor que la somme de ors n nombres soit un minimum , ils doivent être égaux entre eux.
Nota, L<^ 8 théorèmes cpi'ou vient d'cnoncrr, confirment Tassertion du n*' 93 \ les doux premiers se démontrent par les mêmes calcuU , ainsi que le 3" et^c i*, le 5" et le 6% le 7» et le 8'.
Problèmes résolubles pur les progressions,
100. On a deux tonneaux de vin dans cliacun desquels on prend une certaine partie du vin qu^il contient et on verse dans Vun le vin extrait de Vautre : on /ait nfois successives cette double opération , en prenant successivement le quart , le 5', Zc 6*, fc 7*, ..., Ztf (" + ^)°'*> ^' alors les deux tonneaux renferment Vun a et Vautre h litrons de vin : combien en avaient-ils d'abord chacun ?
Soit a'\-b:=:.h\'û csl clair qa*il y aura toujours h litrons de vin dans les deux tonneaux. Soit R^ le vin restant dans le i*"' avant la v^' opération, et B^^, le vin restant après , le vin qui
( 70 ) reste dans le 2* tonneau , avant lii v"** opération , est ^ — R^ ; on à par conséquent
d'où Ton tire Cv + 3)R^^^~(i;+ i)R^=: A, et
Prenant successivement v= 1,2, 3, 4i •■•i "t et observant que Rn4.i = <i 1 ot> &ura 3-4R,— ï-3R,= 3A 4-5R3 — 3-4R.=4A 5-6R^ — 4-5Rj = 5A 6-7R5— 5-6R4 = 6A
(«+2)(«+3)a — (n+i)(it + a)R„ = (n + a)A. .
' Ajoutant ces équations entre elles et observant que tous les termes des premiers membres se détruisent deux à deux, exèepté (ft4-î^)(w+3)a et — 2 • 3Rj, on trouvera v •
(n+2)(n+3)tf-^ a ^ 3R, = A [3+4+5+6H f-(n+2)];
d'où Ton tire , en prenant la somme de la progression ,
Les quantités de vin R^ et fl + ^ — R^ , que les tonneaux contenaient d'abord, se trouvent ainsi déterminées.
101. Un pigeon femelle donne tous les ans 4 pigeons femelles et 4 mâles ; et chaque pigeon femelle (tune année est tué Vannée suivante^ après avoir fourni 4 pigeons femeUes et 4 mâles. On demande combien iljr aura de pigeons produits au bout de n années ?
Puisque le i^' pigeon et la moitié des P pigeons produits la v"*^ année, sont des femelles, chacun d'yeux en produira 8 l'année suivante; le nombre de pigeons foumji^ pendant cette année suivante est donc 8 + vP X 8, ou 8 -^ 4^* ^® ^^^^ T*^ 1^ /lombre de pigeons prpduits chaque année est 8 plus 4 fois ceux produits l'année précédente. D'après cela, le nombre de pigeons produits la première année étant 8, les pigeons fournis pendant les années a", 3*, 4*i 5', ..., sont respectivement ;
elc
D^où Ton voit que le nombre de pigeons produits pendant la a;** année est
8 + 8.4 + 8.4' + 8.4*H h8.4^", ou ^(4"— i).
Prenant successivement v=zi^ 2, 3, 4i ***i ^1 ^^ ajoutant, on aura pour le nombre x de tous les pigeons produits pendant 7t années ,
x=-K4+4*+4'+-.+4"-n)i d'où x=-K4*^'-4-3i,).
102. Deux vases A e/ B, dont les capacités sont respectif yement a e/ b , sont remplis Vun et Vautre d*un mélange de y in et d'eau , dont la proportion est connue pbur chaque vase. On a deux mesures égales , dont la contenance commune est X, et qu'on remplit en même temps dans les deux vases A et B^, pour verser ensuite dans chacun le liquide extrait de Vautre, jifantfait n— 1 autres fois cette opération ^ on veut savoir^ 1** combien il y a alors d'eau et de vin dans chaque vase F 2* quelle doit être la contenance commune x, pour que les deux derniers mélanges soient exactement de même nature ?
1° Soient c eid les deux quantités connues dVau qui entrent d^abord dans les deux mélanges aeib. Il est clair que les deux vases A et B contiendront toujours les mêmes quantités a et b de liquide, après chaque opération. Soit R la quantité d^eau contenue dans le vase A, avant la t;"^' opération ; Peau contenue dans le vase B , avant la même opération , sera évidemment c + É? — R. Or , prendre x litrons sur a litrons , cVsD
prendre les — de a litrons ; c^est donc prendre les - de Peau et les - du vin qui composent le liquide a , puisque Peau et le vin y sont exactement mêlés. Ainsi , par la t;™' opération , ^on extrait du vase A, le nombre -R litrons d^eau, et du vase B, le nombre t(c + ^ — R) litrons dVau. Donc, après cette opération , le vase A contient une quantité d^eau exprimée par
