XX X
et posant, pour abréger, mm — - el A: rz: -(c + rf).
L^expression mR + h montre que pour avoir fean contenue dans le vase A, après une ope'ration quelconque^ il faut mul- . iiplierpar m Veau qu'U renfermait avant et ajouter k au produit. Diaprés cette règle, puisque A contenait d^abord c litrons dVau, il en contiendra, après les opérations i'®, 2*, 3*, 4', 5*^ •.., respectivement
cm -\- k
cm^ ^ kin-\- k
cni + km^ + *m + A:
cm^+ itm' + A:m* + Am + A
cm^ + km^-\- kni + Am* + Am + A
Sans ^^il soit besoin tle continuer ces résultats , on voit que la quantité z dVau contenue dans le vase A, après la n*"* opération, est
S" ~ cm" + A+ Ain + Aw* ^kni -\ 1- Am"— ^
d'oii Ton tiie ^n .
' z = cm'' + k
Substituant la valeur de A et cell^ de m au dénominateur, on aura, réductions faites,
Avec cette valeiu* de z^ on aura aisément les quantités de vin et dVau contenues dans les deux vases, après la n"** opération. On peut faire « = 00.
2" Puisqu'après la n°** opération le vase A contient toujours a litrons de liquide , cliaque litron sera le a"* de ce liquide , et contiendra par conséquent le a™' de Teau z qu''îl renferme. De même , cliaquç litron du dernier mélange, dans le vase B, contiendra le /)"• de Teau c + rf — ^ que ce mélange renferme. Or, pour que les deux derniers mélanges soient exactement de même nature , il faut qu^un litron du premier contienne autant d'^eau qu'Hun litron du second ; on a par conséquent
î=l±^-^ d'où 5=2^.
Substituant la valeur'(i) de z^ puis supprimant le dénominateur commun ^ -{-/>, ainsi que le terme aic^d)^ commun aux deux membres, il vient
{bc — flJ)m" = o .... (1)
Lorsque 6c = ad^ ou que €L\b\\c\d^ Péquation (2) est satisfaite , quelle que soit la valeur de Xy et le problème est indéterminé. Cest aussi ce que montre Téquation (r); car cette équation devenant alors zi=.c\ quelque multipliées que soient les opérations et quelque valeur qu^on donne à x^ Télat des deux mélanges demeure invariable.
Si bc n^est pas égal à ad^ Péquation (2) donnera m^sr o et par conséquent m = o ^ d'où Ton tire
XX ab .^^
1 T=0, ou xnz— y-r ••••(3)
Comme cette valeur ne dépend pas de n et que m'* = o ne peut avoir lieu que quand n n^èst pas nul , ou voit qu'en donnant à X la valeur (3), les deux mélanges seront exactement de même nature, dès la 1" opération. Cest ce que montre encore la formule (1), qui se réduit 2i son second terme, par m = o.
io3. On a b litrons d^dau dans m vases ^ on prend du x*"^ vase pour verser dans les m — 1 autres y de manière que dia» cun de ceux-ci renferme ajbis autant d^eau qu'il en contenait auparavant ,* on fait la même opération avec le a* vase , puis avec le 3*, /e 4*i le S* ..., le m"**. Après avoir recommencé ces m opérations successivement n — 1 autres fois , les vases contiennent chacun la même quantité d^eau ;. on demande combien chacun en contenait avant la i'* opération.
Soient R^, R^, Rj, R^, ..., R,^, les quantités respectives d'eau contenues dans \q% vases proposés, avant de faire pour la i'"** fois les m opérations successives. A cette v"* fois, on verse du i**^ dans les m — i autres, de manière que chacun de ceuxri renferme a fois autant d'éau qu'il en contenait auparavant \ on ajoute par conséquent à chacun de ces derniers (a — 1 ) fois Teau qu'il renfermait; il restera donc dans le premier, après celte opération , ^
R. -(«- 0(R, + Ri + R. + - + RJ-
C 7* ) Et comme on a toujours R.+Ra+Rj+R^+'-' + ï^m^^t il sVnsuit qu'ail reste dans le i*' vase, R^ — {a — i)(fr — RJ ou ûR,' — {a — i)fe, ou encore ûR, — A, en posant h-=.{a — i)é.
L^expressîon aR, »- h nous apprend que pour avoir ce qui reste dans le vase duquel on a versé dans les m — i autres , îF faut multiplier par a ce qu^il contenait auparavant et soustraire h du produîti Quant aux m— - i autres vases, on sait déjà qu^après le versement, chacun renferme a fois autant d'*eaa qu^il en contenait auparavant. Diaprés cela , il est clair que les quantités d^eau contenues dans les vases, après les versemens 1*', 2*, 3', 4*1 ••• 1 ''^^'i ^^^^ respectivement : - •
ûR, — A, ^R,, ^Rai ..., ûR^
fl'R^ — ah^ a'R, — A, a'Rj , ..., tf*R^
ûRj— -tf'A, a Ra — àh^ ûRj— A,- .»., a R,^
û'^R — a'^»A, a'"R,— «"^A, oT'H^^—ci'^h^ ..., a"»R^— A.
D'où Ton voit qu'après avoir fait pour la v"' fois les i» versemens successifs , Peau contenue dans lé u"* vase est
/i'"R„ — a"*-***, ou encore û'"R„ — /»,
en posant p=zAa'"-"=(£i— i)6a''*~". L'expression cl^^^—p nous apprend qju'on aura Peau qui reste dans le u™' vase, après avoir fait, pour la v™' fois, les m versemens successifs, en multipliant par cJ^ celle qu'il contenait avant cette fois, et en ôtant p du produit. Ainsi les quantités d'eau contenues dans le u*"* vase après avoir fait les m versemens successifs, i, 2, 3, 4i •••<)'< fois, X étant l'eau qu'il renfermait d'abord, sont respectivement:
a^x — pc^—p
^j^'^x — pa^^-^pc^ — p ^
a^'^x — pa"' — pdr^ — pd^ — p
Or, l'eau contenue dans le u™^ vase , après avoir fait n fois les m versemens successifs , est — ^ on a donc
d'où
"■ ma""'(a"»— l)
Cette formule s^appliquera aux vases i*', a*, 3*, 4*i •••1 "*' en faisant successivement u= 1^ 3, 3, 4i **") ''^i ^^"^ ^^ valeur de /7.
104. Nous laissons à traiter par les progressions, les théorèmes et problèmes que voici :
La somme de n nombres entiers consécutifs quelconques est divisible par n ou par ^i-n , suivant que n est impair ou pair.
Tonte puissance de 3 , diminuée de 1 , est égale à la somme des diviseurs de cette puissance , excepte elle-même.
l'rouver une progression arithmétique de n-{-7 termes, dont la somme des n premiers ûisse 4^, celle des 4 termes suivans 86, et ceUe des 3 derniers 96.
Trouver une progression arithmétique telle, que la somme des 7 premiers termes soit 49 1 celle des 7 derniers 65 1 et celle de tous les termes aSoo.
Dans pne progression géométrique , le produit des deux extrêmes est . $76; la somme des carrés des 3 premiers termes 4^, et la somme des carrés des deux derniers 460S0. Quelle est cette progression?
Quelle est la progression géométrique dont le nombre de termes est impair? On sait que i4o est la somme du premier et du moyen termes, 3780 celle du dernier et du moyen, et que la somme de tous les termes surpasse la raison de 5463.
Un pigeon femelle donne tous les ans 6 pigeons, 3 femrl}os et 3 mâles; de même, chaque femelle produite fournit tous les ans 6 pigeons, 3 femelles et 3 mâles , et ainsi de suite. Combien y aura-t-il de pigeons produits au bout de n années?
Un particulier achète tous les ans un pigeon femelle, qui lui donne 3 pigeons mâles chaque année suivante \ combien aura-t-il de pigeons mâles après n années.
Une génisse donne un veau mâle la 1'* année, un veau femelle la 3*, et ainsi de suite, alternativement; il en est de même de chaque veau femelle produit : on demande combien il y aura de veaux en tout, après n années.
Trouver un nombre tel, qu^en en prenant la moitié et le nombre a\ le tiers du reste et le nombre a ; le quart du 3* reste et le nombre a ; le cinquième du 3* reste et le nombre a, et* ainsi de suite, il reste' 6 après la n™^ opération. «
Deux vases renferment Tun a et Tautre b litrons d^eau : on prend une certaine partie de i^eau du i*' pour la verser dans le 3"", et ensuite la même partie de Teâu du 3*^* pour la verser dans le i*** : on fait n fois
successives ce couple de versemeos. Combien y a-t-il alors dVau dans chaque vase, sachant qu^on a pris successivement la moitié, le tiers, le quart, le 5% le 6*, le 7*, ,.., le («-|-i)"**. [Même problème, lorsqm^on prend constamment la c™* partie.J t
Dans deux vases, on a deux mélanges dVau et de vin, Pun'de a et Tautre de h litrons de liquide, contenant respectivement o et ^ litrons d''eau. On verse x litrons du 1*' mélange dans le 3™*, et ensuite, a|>rés avoir bien laissé mêler Teau et le vin, on verse x litrons du a*^* mélange dans le i*** : on fait n — i autres fois de suite ce couple de versemens, et Ton demande , 1^ combien il jr aura d^eau alors dans le i**' vase; a" quHIe dQ\Ta être la valeur de x pour que les deux derniers mélanges soient exactement de même nature.
On a trois vases A, B, C, contenant respectivement a, 3, c, litres d^eaa. On verse dans 6 le <£°^* de Vt^M de A et m litres de C , puis dans A le <2™* de Teau de B et m litres de C : on £ait n — 1 autres fob ces deux opérations successives; combien y a-*t-il alors d^eau dans chacun des vases proposés?
On a m vases contenant des mélanges d^eau et de vin , composés rts* pecUvement de a^^ a,, ^3, a^, ..., a,^ litres devin, et de £^, ^av^n ^/ii ***) ^m htres d^eau. On verse dans le i*', le c™«(des mélanges de tous les autres, puis dans le a", le c™* des mélanges de tous les autres, daus le 3", le c™* des mélanges de 4ous les autres, ..., enfin, dansk m™*, le c™* des mélanges de tous les autres : après avoir fak n fois ces m opérations successives, on voudrait savoir quelles seront alors les quantités dVau et de vin contenues dans chacun des vases proposa. [On peut supposer tous les a égaux entre eux , ainsi que toxis lès 6 ; on peut aussi faire croître ou décroître tous les a diaprés une certaine loi , de même que tous les 3. j
Exeixices sur le calcul des Radicaux.
io5. Réduire à leurs plus simples expressions les quantités : {/{a-'b — ^ab + ^b), 1/18 + 1/50 — 1/8, 1/81— I/2Î,
[/27(a-+i)(x^— i), (^x* + i8ar^ + 1080:'+ 2i6jr, l/(8a + 24J — |/(i25a + 375), 1/54 + l/25o — i/iaS,
«|/(ï?)+"V/fc)-|/(^).
\/atv' — n^x — l/a~ x, {/aP (a' — x'f (a + x)\
( 77 ') io6. Trouver les formes 4es plus simples des produits :
107. Trouver les- expressions les plus simples des quoticns, dans les divisions que voici indiquées :
