Extraire s'il est possible^ la racine n** rfe a + J/b
Pour y parvenir, soit posé |/(fl ± I/6) = J^l/^ ^ d^où
a±[/b=zx'' et :r'«— — x^ + î^^ = o ... (1)
Prepons 1^ — — = c, ou — ^ ne", et divisons les deux membres de Féquation (1) par x''^ nous aurons
Posons X "{ — = Il 5 d'où x = --k ± JZ-J-w* — c ... (3).
Si c n'était pas rationnel , cette nouvelle expression de x serait plus compliquée que la première , et la racine n** de a ± [/b ne serait pas possible. 11 faudra donc toujours disposer de x, de manière que c soit commensurable \ et si aucune des valeurs entières de z ne satisfait à cette condition , la racine demandée n'existera pas.
Supposons donc que c soit rationnel; alors la formule (3) fera connaître x dès que u sera déterminé. Or, pour trouver c/,
soit élevée l'équation x -|- - = ti v successivement aux puis-
sances 2*, 3*, 4*1 5*, 6*, 7", etc.; soit mis partout u à la place
de j; -f-'i ^^ successivement dans chaque résultat les valeurs de '
tirées des résultats précédens ; ayant égard en outre à l'équation (2), où n vaudra succe^ivement 2,3,4i5,6,7, etc., et posant, pour abréger, — znd^ on aura
II' — 2C •— £i =: o V u — 3cii — d zn o
u^ — 4^"' H" ^c' — dziz o u — Scu + 5c'm — d z=: o
u -—Gcu^ + 9^'**' — 2^' — éf =r o m' — jci* -|- 1 4c'a — 'jc^u — dzzLO etc
Dans ces équations, u doit être rationnel, ainsi que c, qui désigne successivement la racine 2*, 3', 4% 5*, 6*, 7', etc. de
Connaissant u^ par ces ét[uations, diaprés la méthode des diviseurs comipensurables , on en substituera la valeur dans la
formule ( 3 ) , ce qui fera connaître x, et x \/z sera la racine a*, 3', 4*1 ^'i 6*1 7*1 ••• ' ^^ ^ i \/^-i suivant que n vaudra a, 3, 4i 5i ^1 7i ••• 1 c^esl-à-dire , suivant quW aura employé la r*, la a% la 3", la 4% la 5% la 6*, la 7*, ... , des équations en II.
111. Pour appliquer la méthode précédente, proposons-nous d''extraire la racine cubique de 148"+ 4^ l/i 1 •' on anra a = 148, /i=:a3a76; d^où a' — fcz=ai9o4 — 33376= — *372 = — 343 X 4 = — 4 • 7^* S^ àonz on prend z = a , il viendra c == — 7« et ^ = 148. La a* équation en u sera donc
tt'+aiM — 148 = 0.
La seule racine commensurable de cette équation étant ti=4) cette valeur et celle de c donnent x = a + \/\ 1 ^ on a donc
j/i48 + 461/11 =(a + l/ii)i/'a.
1 la. Si Ton veut trouver la racine 4"* de 17 — laj/a, on aura ^=17, bz=.iSA et a' — 6 = 1 \ d'où ^=i,c=±iet /;? = 34. Pour c = 1 , la 3' des équations en u ne donne à u que des valeurs irrationnelles ; il faut donc prendre c = •— 1 ^ et alors on trouvera ti = a , j: = i ± \/% et
J/ï7 — ial/a = i — l/a.
On voit qu'il faut avoir égard à la double valeur de Cy quand elle a lieu. Si Ton applique la médiode dont nous venons de fournir deux exemples , on obtiendra
J/a%— 3a3l/ao = a— |/5,j/8 + 8|/— 1 = 1 — 1/— i
et J/a88 + i3a |/3 = (1 + 1/3) 1/3.
Dans Tavant dernier exemple, il faut donner le signe — au radical de la racine , quoique celui de l'expression proposée ait le signe + , parce que la puissance 7™' de i -j- 1/ — 1 est 8 — g \/^^ 1 . Cette exception vient du radical imaginaire |/«— 1 •
( 8o ) Exercices sur la résolution de certaities équations.
1 13. Qu^on ail d^abord à résoudre les équations a: = (27)^ et ^=(27)"^; d^où x'— 3^ = o ct^^— 3^ = o.
Il est clair que ces deux équations peuvent s''écnre comme il
suit : (x — 3) (*' — 3a: + 9) = o,
La première équation a trois raciiTes, dont deux imaginaires ; la seconde a les trois mêmes radnes, plus trois autres, dont deux imaginaires.
1 1 4- Lorsque Féquation à résoudre contient des radicaux, il faut d^abord les faire disparaître. Or, pour chasser un' radical d'aune équation , il sufïît de le laisser seu] dans un membre et d^élever de part et d^autre à la puissance marquée par Tindice de ce radical. Par exemple, si on a
j/J+^-^ï^3jr— 5=1,
on chassera successivement le radical cube et le radical carré ; ce qui donnera x^ —^x^+ i\x + ^6z=lo'^
d"*©!! a; m 2 , 28 , — 1 . La dernière racine satisfait à réquation que donne la proposée en y prenant (/.r+2 avec le signe — .
1 1 5L Si d^abord on avait fait disparaître le radical carré , il aurait été impossible de cliasser ensuite le radical cubique. En général , il n'est pas toujours possible de faire disparaître les radicaux d'une équation, d'*après la méthode précédente. Mais on évite toutes les dilHcultés en représentant cliaque radical par une inconnue auxiliaire. Par exemple, qu'on ait
on fera seulement x = ^ , et la transformée sera
z^ — z^ — 75^-f-x + 6iz: o;
d'où ^z=i,3, ^^1,2 et X3=i, 729, 1 , 64. La valeur xz=: G4 ne satisfait pas à Téquation proposée \ mais bien à celle qu'on trouve en y changeant les signes des radicaux de degré pair.
1 16. Considérons encore l'équation
( 8r )^, l/x'9— 794 i/x»' + 47449 1/^^— 46656 no: si Ton pose x^:zz z^^ la transformée sera
Celte transformée donne ^ z= i , 64, 729 ^ d'holà à cause de x^-=. z ou de 0^ — zznQ^ on tire les ti^oi§. équations
x^—imo, x^— 32^=0 et a-^— 243^=0.
Ces équations font aisément connaître les i8<valeurs de x qui satisfont à Téquation proposée en mettant dans celle-ci les cinq valeurs dont chaque radical du 5* degré est susceptible.
1*17. Lorsqu'on prend zzzlx et i'^^y*^ il est aisé de résoudre
les deux équations :
\/z^—i\/zl/l + t—i=o et \/z^ + 6]/t — t — g=zo.
En représentant chaque radical par une inconnue auxiliaire , on résout facilement les équatioils que voici :
x+j—y^zzia et [/x + \/jr=zb',
xr = a et J/x'" + J/V *" r= 6 5
■ x+jr+}/'x^ — \/y = i5Ji et \^x + ^j'='j.
118. Nous avons déjà vu plusieurs fois cpie les inconnues auxiliaires peuvent simplifier la résolution des équations. C'est ce que nous allçns voir encore. Considérons d*abord les deux groupes ou systèmes d'équations :
xyz(i4-y + z) = 2i6 x'yV (x' + y* + z') = 1 6704 xV z' (x' + y' + z') = 1 368576
p désignant x+r+iî. Pour résoudre chacun de ces systèmes, on prendra •
