X -f-j>' + z = ]p, ^J" + ^z +^'- = ? et x^yz
alors , d'après la composition des équations , x, ^-, z, seront les racines de l'équation
ri
( 8s 3 et il reste à déterminer py q^ r, en élevant les deux membres de la première équation auxiliaire, successivement aux puissances a*, 3*, 4*) P^^ ^^ substituant dans les équations proposées.
On résoudrait de même les deux systèmes d^équations :
(x+y +z) (x+y+z) = a (xy+xz+yz)(x«+y'+z>) - h
xyz(x'+y'+z') = c
»y^(*y+«+yz) = i> (x+y+0 (»y+«+yz) = c.
1 19. Considérons actuellement les deux groupes :
uxy(u + x+y) = axyz(x+y + z) = b P»i(y+z+u) = c zux (z-f-u + x)=rd
uxyz(u + x+y)z=a uxyz(x-f-y4-z)=:b
uxyz(z + u + x) = d.
Pour résoudre ces deux systèmes, on posera dans chacun
M + x -^jr -f- z = ^ et uxjrz = m.
Remarquons bien que les deux méthodes précédentes s^'applîquent à n équations de même forme que les équations des systc< mes que ces mélliodes résolvent.
lao. Soient encore à résoudre les trois équations J^jr^ (^*+r'+ O = — i^
On posera d^abord ar' + j-*+ ;5*=: V, xjrz-zzu et x^ -j- ^^ + ^^ z= /.
Elevant au carré la première de ces équations, ainsi que Tcquation résultante , et ayant égard aux deux autres équations auxiliaires, on aura les valeurs de x^y^-^-x^z^^j-'^z* et x^j^ -{-x^z^-^-jr^z^. Ces valeurs étant substituées dans le carré de la troisième équation auxiliaire , donneront
Ainsi les équations proposées deviennent
Mv z=— 1 2, m'/ = 72 et wV— u^y^-f- awV/ + ^u% =, 8256 ^
d^où Ton tire, en néghgeant les valeurs imaginaires,
M=: — 2, t; = 6 et £ = 18.
Ces valeurs donnent aisément
x^»+j»+^«=:6, xy + xV+^-»z* = 9 et a;>V=:4.
De sorte que x*, y^^ z" sont les racines de réqaation
et qu^on a par conséquent x* = 4i J"' = i et 2* =n ; d'où l'on tire les 8 systèmes de valeurs :
Mais quatre seulement de ces systèmes saUsfbnt aux équations proposées.
Voici encore deux systèmes d'équations a résoudre :- .
x* + y'=i3 et x'4-y^ = 35 5
x + y + 2 = 6, x^+y' + 2^=i4etx' + y' + z'=36.
1 a I . En faisant un usage convenable d'inconnues auxiliaires, il ne sera pas difiQcile de résoudre les divers systèmes d'équations que voici :
xy«(x+y+0=a
xyz(x>+y'+z») = b xyi(x*+/+z*) = c
(xy+xz+yi)(x+y+i)=a (xy+x«+yzXx'+y'+z»)=b
(xy+X2+y*Xx'+y'-h!')=c
xyz (xy + xz -f- jz) = a xyz(x'y'+xV+y'z«) = b xyz(xV*+xV+yV) = c
(x-Hy + z) (xy + xz + yr) = « (x'+y'+z'Xxy+xV+y*z')=b
(x'+y'-H'Xxy+xV+yV)=c
Laa. Voici plusieurs équations, où les exposans sont des nombres quelconques , positifs ou négatifs :
x''+y" = K"'+ay x"+y» = bx'"— by*
(xyz)'»(x''+y") = a (xyz)'"(x" + z")=:b
(xpr (y" +«")=?:<:
(x"» + y»)x'»=ay" (x'»^y")y»=bx"
(xyz)'»(xV+x"z») = a (xyz)" (x"y"+ y"z'') = b (xyz)™(x"z''+yV) = c
. x'Y + xrz''^-^y"z'' = 9jy=:hj'^ = ci'' = à'y xn + y« + zn+u'* = ax^=by^=:cz^ = du^ = ^.
123. U n^est pas nécessaire de faire usdge des logarithmes pour résoudre les équations exponentielles que voici :
«x—io r
g^5.&r=:7 et 2. 9^ + 8^=58
:y et j-* = x'
Dans la dernière équation de la première colonne, on donne, pour condition , que x et j- soient des nombres entiers. Et la même condition a lieu dans (x*-|-^*) . 2^"^= i''-|-.6r*« Enfin , si Ton a les trois équations
x'-'=jf, xr+'=:r'^^ et x'r-=yr,
les inconnues seront déterminées ^ mais elles ne le seraient pas si Ton ne prenait que deux quelconques de ces équations : il faudrait alors ajouter la condition que xeijr fussent des nombres entiers.
De quelques séries numériques finies.
124* On appelle série une suite de quautités qui croissent ou décroissent d'^aprcs une certaine loi. Le terme général d'une série est celui qui fournit tous les autres par ses valeurs particulières. Une série est numérique ^ lorsque tous ses termes sont exprimés en chiffres. Sommer une série , c'^est trouver une formule propre à calculer aisément sa valeur.
125. Voyons d'abord comment on trouve la série au moyen de la partie variable qui entre dans la somme de tous ses \jer-
C 85 ) mes. Soil par.cxemplc ( — i )^. v(v+i ). celte partie variable ; changeons-j v en v — i , puis retranchons-la du résultat et réunissons les multiplicateurs d^ ( — \y^\v'^ nous aurons
Faisant dans cette identité , successivement v = i ^ 3 , 3 , 4 1 5 , . . . , n , il viendra
Ajoutant ces n identités entre elles, puis observant que Ie« termes des seconds membres se détrui«ent deux â deux, excepta . ± w (« -f" *)i *' viendra, en divisant par 2 ,
Le premier membre est la série clierdice, et le second, la somme de cette série. On voit d'^aiileurs que le signe -{- n^a lieu que pour n impair.
126. Il résulte de cet exemple, que pour trouver la série numérique dont on connaît la partie variable de la somme des V premiers termes ^ .il faut indiquer la différence entre cette partie et ce qiC elle fournit quand on y change v en v — i ou en v-J- 1,' décomposer cette différence en /acteurs fonctions de Y ^ puis faire successivement^ dans V identité résultante^ v= 1, 2, 3, 4i 5, ..., n/ ajouter entre elles les n nouvelles équations^ et réduire dans le second membre seulement : le premier sera la série cherchée*
127. Diaprés cette règle, si Ton veut avoir la série que fournit le produit de t; -f- * facteurs (/ï -}- 1 ) (^ "1" ^) (** "1" ^) ••• (fl+v+i), il faudra changer v en ?♦ — 1, retrancher le résultat de Texpressiôn qui Ta donné et décomposer la diflërencc ca facteurs. Or, en opérant ainsi, on trouvera
Faisant successivement 1;=: i , a, 3, 4i *•• l '^ ) ajoutant les n identitës résultantes et réduisant dans le second membre seulement , il viendra la formule
